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四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二9月月考数学试题


成都七中实验学校 2016-2017 学年上期 9 月月考 高二 数学 试卷满分:150 分 命题人:周俊龙 考试时间:120 分钟 审题人:刘家云

卷I 一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为 ( )


A 、 30? ;

B 、 60? ;

C 、 120? ;

D 、 150?


2、对于直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是 (

A 、在 y 轴上的截距是 6;

B 、在 x 轴上的截距是 6; D 、在 y 轴上的截距是 ?3 。
) D. 5

C 、在 x 轴上的截距是 3;

3、原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A.1 B. 3 C.2

4、已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 得值是 ( A 、 3 ) B、5 C、3 或 5 D、1 或 2 )

5、圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

6、已知直线 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) 与圆 x ? y ? 1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|
2 2

的三角形(

) B.是直角三角形 D.不存在

A.是锐角三角形 C.是钝角三角形

-1-

7、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0



8、入射光线线在直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 上,经过 x 轴反射到直线 l2 上,再经过 y 轴反射到直 线 l3 上,则直线 l3 的方程为( A. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 ) B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

9、若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向右平移一个单位,向下平移一个单位后与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切, 则 c 的值为( A.8 或-2 ) B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 ( )

? 2) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 10、点 P(4,
A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2 2

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ) sin ? ) ,则( a b 1 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 D. 2 ? 2 ≥ 1 a b a b
11、若直线 12、已知 A 、 B 是圆 O : x ? y ? 1 上的两个点, P 是 AB 线段上的动点,当 ?AOB 的面积最大
2 2

时,则 AO ? AP ? AP 的最大值是( A. ?1 B. 0 C.

???? ??? ?

??? ?2



1 8
卷 II

D.

1 2

(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是
2 2



14、圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆: x ? y ? 6x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 所在直线的
2 2

2

2

方程是
-2-

15、以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是

.

16、 在平面直角坐标系中, 设三角形 ABC 的顶点坐标分别 A(0, a), B(b,0), C (c,0) , 点 P (0 , ) p 在线段 OA 上 (异于端点) , 设 a, b, c, p 均为非零实数, 直线 BP, CP 分别交 AC , AB 于点 E, F, 一同学已正确算出 OE 的方程: ? 请你求 OF 的方程:

?1 1? ? 1 1? ? ?x?? ? ? y ? 0, ?b c? ? p a?


三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(满分 10 分)经过点(-2,-3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是

18、(满分 10 分)已知圆 O:x +y =25 和圆 C:x +y -4x-2y-20=0 相交于 A、B 两点,
2 2 2 2

求公共弦 AB 的长.

19、(满分 12 分)已知圆 C 经过 A ? 3, 2 ? 、 B ?1,6 ? 两点,且圆心在直线 y ? 2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 经过点 P ? ?1,3? 且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

-3-

20、(满分 12 分)已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

(1)求

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2

21、(满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b ( x ? R )与两坐
2

标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆 C . (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程(用含 b 的式子表示) ; (Ⅲ)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明你的结论.

-4-

22、(满分 13 分)已知定点 A(0,-3) , M、N 分别为 x 轴. x 轴上的动点( M、N 不重合) , 且 AM ? MN ,点 P 在直线 MN 上, MP ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 Q 是曲线 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 15 ? 0 上任一点,试探究在轨迹 C 上是否存在点 T ,使 得点 T 到点 Q 的距离最小?若存在,求出该最小距离和点 T 的坐标,若不存在,说明理由.

3 NP 2

-5-

成都七中实验学校 2016-2017 学年上期 9 月月考 高二 数学 试卷满分:150 分 命题人:周俊龙 考试时间:120 分钟 审题人:刘家云

卷I 一、选择题(本大题共 2 道小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? 为 ( )

A 、 30? ;

B 、 60? ;

C 、 120? ;

D 、 150? 。


2、对于直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 的截距,下列说法正确的是 (

A 、在 y 轴上的截距是 6;

B 、在 x 轴上的截距是 6; D 、在 y 轴上的截距是 ?3 。
) D. 5

C 、在 x 轴上的截距是 3;

3、原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A.1 B. 3 C.2

【解析】选 D. d ?

?5 1 ? 22

? 5

4、已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 K 得值是 ( ) (B)5 (C)3 或 5 (D)1 或 2

(A) 3

【解析】选 C。当 k=3 时,两直线平行,当 k≠3 时,由两直线平行,斜率相等,得: =k-3,解得:k=5. 5、圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

3?k 4?k



B. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

2 解法 1(直接法) :设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

-6-

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。 解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆的 方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C。 【答案】A 6、已知直线 ax-by+c=0(ax≠0)与圆 x +y =1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的 三角形( ) B.是直角三角形 D.不存在
2 2

A.是锐角三角形 C.是钝角三角形 【答案】B

7、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 【答案】D B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0



8、入射光线线在直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 上,经过 x 轴反射到直线 l2 上,再经过 y 轴反射到直 线 l3 上,则直线 l3 的方程为( A. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 【答案】B 9、若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向右平移一个单位,向下平移一个单位后与圆 x ? y ? 5 相切,
2 2

) B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

则 c 的值为( A.8 或-2 【答案】A

) B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8

10、点 P(4,-2)与圆 x ? y ? 4 上任一点连线的中点轨迹方程是
2 2

( )

A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

-7-

C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4

D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

4?s ? x? ? ?s ? 2 x ? 4 ? 2 【解析】 设圆上任一点为 Q (s, t) , PQ 的中点为 A (x, y) , 则? , 解得:? , ?t ? 2 y ? 2 ?y ? ? 2 ? t ? 2 ?
代入圆方程,得(2x-4) +(2y+2) =4,整理,得: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 【答案】A
2 2

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ) sin ? ) ,则( a b 1 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ≤1 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 D. 2 ? 2 ≥ 1 a b a b
11、若直线 【解析】D. (两种方法均为构造法 ) ... (方法一) : (利用坐标原点到直线的距离 与圆的半径 的关系) .. .. 由题意知直线

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b

1 1 1 ? 2 2 a b

? 1,

1 1 ? 2 ? 1. 2 a b

(方法二) :设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ?

1 1 a b

cos ? sin ? ? ?1 a b

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? . a b a 2 b2
2 2

12、已知 A 、 B 是圆 O : x ? y ? 1 上的两个点, P 是 AB 线段上的动点,当 ?AOB 的面积最大 时,则 AO ? AP ? AP 的最大值是( A. ?1 【答案】C 【解析】 B. 0 C.

???? ??? ?

??? ?2



1 8

D.

1 2

-8-

卷 II (非选择题 共 90 分)

三、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上) 13、经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是
2 2



【解析】 易知点 C 为 (?1, 0) , 而直线与 x ? y ? 0 垂直, 我们设待求的直线的方程为 y ? x ? b , 将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 答案: x ? y ? 1 ? 0 . 15、圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 所在直线的
2 2

方程是 【答案】 x ? 3 y ? 0 15、以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ? 所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

| 2 ?1 ? 6 | 5 ? , 1?1 2

25 2

【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

, ) p 16、 在平面直角坐标系中, 设三角形 ABC 的顶点坐标分别 A(0, a), B(b,0), C (c,0) , 点 P (0

-9-

在线段 OA 上 (异于端点) , 设 a, b, c, p 均为非零实数, 直线 BP, CP 分别交 AC , AB 于点 E, F, 一同学已正确算出 OE 的方程: ? 程:

?1 1? ? 1 1 ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方 ?b c? ? p a?


【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图,由对称性可猜想 ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 。 p a

事实上,由截距式可得直线 AB :

x y x y ? ? 1 ,直线 CP : ? ? 1 ,两式相减得 a b c p

1 1 1 1 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0 ,显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程, c b p a
故为所求的直线 OF 的方程。 答案: ( ? ) x ? (

1 1 c b

1 1 ? )y ? 0 . p a

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(满分 10 分)经过点(-2,-3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 答:x+y+5=0 或 3x-2y=0

18、(满分 12 分)已知圆 O:x +y =25 和圆 C:x +y -4x-2y-20=0 相交于 A,B 两点, 求公共弦 AB 的长. 解:两圆方程相减得弦 AB 所在的直线方程为 4x+2y-5=0. 圆 x +y =25 的圆心到直线 AB 的距离 d=
2 2

2

2

2

2

|5| 20



5 , 2

∴公共弦 AB 的长为|AB|=2 r -d =2

2

2

5 25- = 95. 4

19、已知圆 C 经过 A ? 3, 2 ? 、 B ?1,6 ? 两点,且圆心在直线 y ? 2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 经过点 P ? ?1,3? 且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.
2 解(1)方法 1:设圆 C 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? , 2 2

1分

- 10 -

?(3 ? a)2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 , ? 依题意得: ?(1 ? a) 2 ? (6 ? b) 2 ? r 2 , ?b ? 2a. ?
解得 a ? 2, b ? 4, r 2 ? 5 . 所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 .
2 2

方法 2:因为 A ? 3, 2 ? 、 B ?1,6 ? ,所以线段 AB 中点 D 的坐标为 ? 2, 4 ? , 直线 AB 的斜率 k AB ?

6?2 ? ?2 , 1? 3 1 ? x ? 2 ? ,即 x ? 2 y ? 6 ? 0 . 2

因此直线 AB 的垂直平分线 l ? 的方程是 y ? 4 ? 圆心 C 的坐标是方程组 ?

? x ? 2 y ? 6 ? 0, 的解. ? y ? 2x

解此方程组,得 ?

? x ? 2, 即圆心 C 的坐标为 ? 2, 4 ? . ? y ? 4.

圆心为 C 的圆的半径长 r ? AC ?
2

?3 ? 2? ? ? 2 ? 4?
2
2

2

? 5.

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 . (2)由于直线 l 经过点 P ? ?1,3? ,当直线 l 的斜率不存在时, x ? ?1 与圆

C ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 相离.
2 2

kx ? y ? k ? 3 ? 0 . 当直线 l 的斜率存在时, 可设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1? , 即:
0分 因为直线 l 与圆 C 相切,且圆 C 的圆心为 ? 2, 4 ? ,半径为 5 ,所以有



2k ? 4 ? k ? 3 k ?1
2

? 5.

解得 k ? 2 或 k ? ?

1 . 2

13分

所以直线 l 的方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1? 或 y ? 3 ? ?

1 ? x ? 1? , 即: 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2

x ? 2 y ? 5 ? 0 .14分

20、(满分 12 分)已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

- 11 -

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2 y ?1 解: (1)设 ? k ,则 k 表示点 P ( x, y ) 与点(2,1)连线的斜率. x?2 当该直线与圆相切时, k 取得最大值与最小值.
(1)求 由

2k k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

3 , 3



y ?1 3 3 的最大值为 ,最小值为 ? . x?2 3 3

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得最大值与最小值. 由

1? m 5

? 1,解得 m ? 1 ? 5 ,
5 ,最小值为 1 ? 5 .

∴ 2 x ? y 的最大值为 1 ?

21、(满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b ( x ? R )与两坐
2

标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆 C . (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程(用含 b 的式子表示) ; (Ⅲ)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明你的结论. 【解析】 (Ⅰ)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x +2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x + y +Dx+Ey+F=0 令 y=0,得 x +Dx+F=0,这与 x +2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b 令 x=0,得 y + Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x + y +2x -(b+1)y+b=0 (Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1) 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 0 + 1 +2×0-(b+1)×1+b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0,1) ; 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .
- 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22、 (满分 14 分) 已知定点 ( A 0,-3) , N. M 分别为 x 轴. y 轴上的动点 (M. N 不重合) , 且 AM ? MN , 点 P 在直线 MN 上, MP

?

3 NP . 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 Q 是曲线 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 15 ? 0 上任一点,试探究在轨迹 C 上是否存在点 T,使 得点 T 到点 Q 的距离最小?若存在,求出该最小距离和点 T 的坐标,若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)设点 N,M 的坐标分别为 (a, 0), (0, b) , ( a ? 0, b ? 0 )点 P 的坐标为 ( x, y ) , 则 AM ? (a,3), MN ? (?a, b), NP( x, y ? b), MP ? ( x ? a, y)
2 由 AM ? MN 得 ? a ? 3b ? 0



由 MP ? ∴a ? ?

3 3 3 NP 得 x ? x ? a, y ? ( y ? b) 2 2 2

1 b x, y ? 2 3 1 2 代入 ①得 y ? x 4
∵ a ? 0, b ? 0 ∴ x ? 0, y ? 0 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ?

1 2 x 4

(x ? 0)
x Q T y

(Ⅱ)曲线 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 即 ( x ? 4) ? y ? 1 ,是以 B(4,0)
2 2 2 2

为圆心,以 1 为半径的圆,设 T 为轨迹 C 上任意一点,连结 TB, 则 | TQ | ? | QB |?| TB | ? | TQ |?| TB | ?1 ∴当 | TB | 最小时, | TQ | 最小..9 分

B o

- 13 -

∵点 T 在轨迹 C 上,设点 T (

m2 , m) ( m ? 0 ) 4
......10 分

∴ | TB |?

(

1 m2 (m 2 ? 8) 2 ? 12 ? 4) 2 ? m 2 ? 16 4

当 m 2 ? 8 ,即 m ? ?2 2 时, | TB | 有最小值, | TB |min ? 2 3 ,当 m 2 ? 8 时,

m2 ?2 4

- 14 -


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