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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 1.1 集合的概念与运算


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§ 1.1

集合的概念与运算

1. 集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或? 表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2. 集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A B(或 B A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即? ?A,? (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3. 集合的运算 集合的并集 图形 符号 A∪B={x|x∈A 或 x∈B} A∩B={x|x∈A 且 x∈B} ? UA={x|x∈U,且 x? A} 集合的交集 集合的补集 B(B≠? ). 自然数集 N 正整数集 N+ (或 N*) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

4. 集合的运算性质 并集的性质: A∪? =A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 第 1 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 交集的性质: A∩? =? ;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(? UA)=U;A∩(? UA)=? ;? U(? UA)=A.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)A={x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. (2){1,2,3}={3,2,1}. (3)? ={0}. (4)若 A∩B=A∩C,则 B=C. (5)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3},则 M∩N=N. (6)若全集 U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则? UP={2}. 2. (2013· 北京)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B 等于 A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 答案 B 解析 ∵-1,0∈B,1? B,∴A∩B={-1,0}. 3. (2013· 山东)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 C.5 答案 C 解析 x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 4. (2013· 课标全国Ⅱ)已知集合 M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N 等于 ( A.{0,1,2} C.{-1,0,2,3} 答案 A 解析 化简集合 M 得 M={x|-1<x<3,x∈R},则 M∩N={0,1,2}. 5. 设集合 A={x|x2+2x-3>0},集合 B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个整数,则实数 a 的取值范围是________. 3 4? 答案 ? ?4,3? 解析 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3}, 因为函数 y=f(x)=x2-2ax-1 的对称轴为 x=a>0,f(0)=-1<0, 根据对称性可知要使 A∩B 中恰含有一个整数, 第 2 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn B.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,3} ) B.3 D.9 ) ( × ) ( √ ) ( × ) ( × ) ( √ ) ( √ ) ( )

淮河两岸网www.552a.cn 则这个整数为 2, 所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0,
?4-4a-1≤0, ? 即? 所以 ? ?9-6a-1>0,

?a≥4, ? 4 ?a<3.

3

3 4 即 ≤a< . 4 3

题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 ( A.3 B.6 C.8
?

)

D.10
?

b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________. 思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义,明确元素的特征,抓住集合的“三性”. 答案 (1)D (2)2 解析 (1)由 x-y∈A,及 A={1,2,3,4,5}得 x>y, 当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,有 4 个; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,有 3 个; 当 y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个; 当 y=4 时,x 可取 5,有 1 个. 故共有 1+2+3+4=10(个),选 D. b ? ? (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,
? ?

b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白 集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要 特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)已知集合 A={(x,y)|x,y∈R,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

(2)若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 第 3 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 9 答案 (1)C (2)0 或 8 解析 (1)集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B 表示的是直线 y=x,据此画出图像,可得图 像有两个交点,即 A∩B 的元素个数为 2. (2)∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 当 a≠0 时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8 题型二 集合间的基本关系 例2 (1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的 个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,则实数 m 的取值范围是________. 思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集, 可按含元素的个数依次写出; B?A 不要忽略 B=? 的 情形. 答案 (1)D (2)(-∞,4] 解析 (1)用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数. 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)当 B=? 时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠? 时,若 B?A,如图.

m+1≥-2 ? ? 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1

,解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况, 否则会造成漏解;(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间 端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题. (1)设 M 为非空的数集,M?{1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这样的集合 M 共有 A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 ( )

(2)已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c, +∞), 其中 c=________. 第 4 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 答案 (1)A (2)4 解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有 23=8(个),集合{2}的所有子集共有 2 个,故满足要求的集合 M 共有 8-2=6(个). (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4}, 而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. 题型三 集合的基本运算 例3
? 1x ? 2 (1)(2013· 湖北)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩(? RB)等于 ? ?

( A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

)

(2)(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n), 则 m=________,n=________. 思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简,然后结合数轴或 Venn 图计算. 答案 (1)C (2)-1 1 解析 (1)A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4} ∴A∩(? RB)={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. (2)先求出集合 A,再根据集合的交集的特点求解. A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实 数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使 用这些关系,会使运算简化.
? ?x+1≥0,? ? ? ? ? ,B={x∈Z|x-2>0},则 A∩B=( (1)设集合 A=?x∈R|? ? ? ? ?x-3≤0 ? ?

)

A.{x|2<x≤3} C.{2,3}

B.{3} D.{x|-1≤x<2}

(2)设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(? UA)∩B=? ,则 m 的值是 ________. 答案 (1)B (2)1 或 2 第 5 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 解析 (1)A={x|-1≤x≤3},B={x∈Z|x>2}, ∴A∩B={x∈Z|2<x≤3}={3}. (2)A={-2,-1},由(? UA)∩B=? ,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠? . ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)· (-2)=2,由这两式得 m= 2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2. 题型四 集合中的新定义问题 例4 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2 014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数 a,b 属于同一‘类’”的充要条 件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

思维启迪 解答本题要充分理解[k]的意义,然后对选项逐一验证. 答案 C 解析 因为 2 014=402×5+4, 又因为[4]={5n+4|n∈Z}, 所以 2 014∈[4],故①正确; 因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确; 因为所有的整数 Z 除以 5 可得的余数为 0,1,2,3,4,所以③正确; 若 a,b 属于同一“类”,则有 a=5n1+k,b=5n2+k, 所以 a-b=5(n1-n2)∈[0], 反过来,如果 a-b∈[0], 也可以得到 a,b 属于同一“类”,故④正确. 故有 3 个结论正确. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点, 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问 题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处用好集合的运算与性质. 第 6 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“ ”,满足 X 合 X,Y,Z,X (Y Z)等于 ( Y=(? UX)∪Y,则对于任意集 )

A.(X∪Y)∪(? UZ) B.(X∩Y)∪(? UZ) C.[(? UX)∪(? UY)]∩Z D.(? UX)∪(? UY)∪Z 答案 D 解析 因为 X 所以 X (Y Y=(? UX)∪Y,所以 Y Z)=(? UX)∪(Y Z=(? UY)∪Z,

Z)=(? UX)∪(? UY)∪Z,故选 D.

遗忘空集致误 典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax +1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合为 __________. 易错分析 从集合的关系看,S?P,则 S=? 或 S≠? ,易遗忘 S=? 的情况. 解析 P={-3,2}.当 a=0 时,S=? ,满足 S?P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a 1 1? 1 1 ? 即 a= 或 a=- .故所求集合为?0,3,-2?. 3 2 ? ? 1 1? ? 答案 ?0,3,-2? ? ? 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容. 解答此类问题的关键是抓住集合间的 关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如 a=0 1 时,S=? ;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 或 2.因此,在解答此类问题时,一定要注意 a 分类讨论,避免漏解.

方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符 号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的 第 7 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现. 失误与防范 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意 端点是实心还是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、? UA?? UB、A∩(? UB)=? 这五个关系式的等价性.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 一、选择题 1. (2013· 重庆)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则? U(A∪B)等于( A.{1,3,4} C.{3} 答案 D 解析 因为 A∪B={1,2,3},全集 U={1,2,3,4},所以? U(A∪B)={4},故选 D. 2. 下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 答案 B 解析 选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合 N 表示由点(2,3)所组成的单点集,故 集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所有点组成的集合,集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有点的纵坐标组成的集合,即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是 同一个集合.选项 D 中的集合 M 有两个元素,而集合 N 只含有一个元素,故集合 M 与 N 不是同一个 集合.对选项 B,由集合元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集合. 3. 已知全集 S={1,2,a2-2a+3},A={1,a},? SA={3},则实数 a 等于 A.0 或 2 C.1 或 2 答案 D 第 8 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn B.0 D.2 ( ) ( ) B.{3,4} D.{4} )

淮河两岸网www.552a.cn 解析
? ?a=2, 由题意,知? 2 则 a=2. ?a -2a+3=3, ?

4. 设集合 M={m∈Z|m≤-3 或 m≥2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则(? ZM)∩N 等于( A.{0,1} C.{0,1,2} 答案 B 解析 由已知,得? ZM={-2,-1,0,1}, N={-1,0,1,2,3},所以(? ZM)∩N={-1,0,1}. 5. 已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有 A.2 个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 6. 已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 A.A B C.A=B 答案 B 解析 因为 A={x|x2-x-2<0}, 所以 A={x|-1<x<2}. 又 B={x|-1<x<1},画出数轴,可得 B A. 7. (2013· 辽宁)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于 A.(0,1) 答案 D 解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2}. 8.设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|y= 7x-x2-6},B={x∈Z|- 1<x≤3},则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A.3 答案 C 解析 因为 A={x∈N|y= 7x-x2-6}={x∈N|7x-x2-6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, 由题意,知题图中阴影部分表示的集合为 A∩B={1,2,3}, 所以其真子集有:? ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 二、填空题 9. 已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. 答案 -1 或 2 B.4 C.7 D.8 ( ) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] ( ) B.B A D.A∩B=? ( ) B.4 个 C.6 个 D.8 个 ( ) B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

)

解析 由 a2-a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验符合.由 a2-a+1=a,得 a=1,由于集合中不能 第 9 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn 有相同元素,所以舍去.故 a=-1 或 2. 10.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B=__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合,代入验证即 可. 11.(2013· 天津改编)已知集合 A={x||x|≤2},B={x|x≤1},则 A∩B=________. 答案 {x|-2≤x≤1} 解析 易知 A={x|-2≤x≤2},∴A∩B={x|-2≤x≤1}. 12.已知集合 A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若 C∩A=C,则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1] 解析 因为 C∩A=C,所以 C?A. 3 ①当 C=? 时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠? 时,要使 C?A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 3 解得- <a≤-1. 2 B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 4 1.若集合 A={x|x2-9x<0,x∈N+},B={y| ∈N+},则 A∩B 中元素个数为 y A.0 个 C.2 个 答案 D 4 解析 ∵A={x|x2-9x<0,x∈N+}={1,2,3,4,5,6,7,8},B={y| ∈N+}={1,2,4},所以 A∩B={1,2,4}, y 含有 3 个元素,选 D. 2. 已知集合 M={x| A.? C.{x|x>1} 答案 C
? ?x≠1, x 解析 由 ≥0,得? x-1 ?x?x-1?≥0, ?

(

)

B.1 个 D.3 个

x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于( x-1 B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

)

∴x>1 或 x≤0, ∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1}, 第 10 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn

淮河两岸网www.552a.cn M∩N={x|x>1}. 9 ? 6 3. 已知 U={x∈Z|y=ln? ?x-1?},M={x∈Z||x-4|≤1},N={x∈N|x∈Z},则集合{4,5}等于 ( A.M∩N C.N∩(? UM) 答案 B 9 ? 解析 集合 U 为函数 y=ln? ?x-1?的定义域内的整数集, 9-x 9 由 -1>0,即 >0,解得 0<x<9, x x 又 x∈Z,所以 x 可取 1,2,3,4,5,6,7,8, 故 U={1,2,3,4,5,6,7,8}. 集合 M 为满足不等式|x-4|≤1 的整数集, 解|x-4|≤1,得 3≤x≤5, 又 x∈Z, 所以 x 可取 3,4,5,故 M={3,4,5}. 6 集合 N 是使 为整数的自然数集合, x 6 显然当 x=1 时, =6; x 6 当 x=2 时, =3; x 6 当 x=3 时, =2; x 6 当 x=6 时, =1. x 所以 N={1,2,3,6}. 显然 M?U,N?U. 而 4∈M,4∈U,4?N,5∈M,5∈U,5?N, 所以 4∈M,4∈? UN,5∈M,5∈? UN, 即{4,5}=M∩(? UN). 1 4. 已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则? UP=________. x 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, 1 1 P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2 第 11 页 共 12 页 淮河两岸www.552a.cn B.M∩(? UN) D.(? UM)∪(? UN) )

淮河两岸网www.552a.cn 1 1 ,+∞?. ∴? UP={y|y≥ }=? ? 2 ?2 5. 已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若 A?B,则实数 c 的取值范围是________. 答案 [1,+∞) 解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0, c), 因为 A?B,画出数轴,如右图所示,得 c≥1. 6. 已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只有一个真子集,则实 数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=bx 的图像向上平移一个单位长度后得到的函数图像上的所 有点,要使集合 A∩B 只有一个真子集,那么 y=bx+1(b>0,b≠1)与 y=a 的图像只能有一个交点,所 以实数 a 的取值范围是(1,+∞).

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