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函数的值域及其表示方法



函数的值域求法
具体函数的值域 一:常用函数的值域 一次函数 解析式 二次函数 解析式

定义域 定义域

值域 值域

反比例函数 解析式 定义域 值域 二:常用的求函数的值域的方法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 1 (1) 求函数 y = 的值域 (2) 求函数 y = 3 - x 的值域。 x

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

(1)、求函数 y= x 2 -2x+5,x ? [-1,2]的值域。

3、判别式法

(1)求函数 y =

1? x ? x2 的值域。 1? x2

4、分离系数

(1) 求函数 y=

3x ? 4 值域。 5x ? 6

5、换元法:通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 (1)求函数 y ? 2x ? 3 ? 4 x ? 13 的值域。 (2) 求函数 y = x +
x ? 1 的值域。

抽象函数的值域:需要结合后面的函数性质

函数的表示方法
常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的 解析表达式,简称解析式. 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意 一个自变量的值所对应的函数值 . 中学阶段研究的函数主要是用解析法 表示的函数. ⑵列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得 我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 求函数的解析式的方法 一.换元法:已知 f(g(x)),求 f(x)的解析式,一般的可用换元法,具体为: 令 t=g(x),在求出 f(t)可得 f(x)的解析式。换元后要确定新元 t 的取值范围。 1 x 1.已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x). 2.若 f ( ) ? ,求 f ( x) . x 1? x

3.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

二.配凑法:把形如 f(g(x))内的 g(x)当做整体,在解析式的右端整理成只含有 g(x)的形式,再把 g(x)用 x 代替。 一般的利用完全平方公式 1 1 1.已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) 2.若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) . x x

三.待定系数法:已知函数模型(如:一次函数,二次函数,指数函数等)求解 析式,首先设出函数解析式,根据已知条件代入求系数 1 已知一次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 5 ,图像过点 (?2,1) ,求 f ( x) ;

2 已知二次函数 g ( x) 满足 g (1) ? 1, g (?1) ? 5 ,图像过原点,求 g ( x) ;

3. 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

四.解方程组法:求抽象函数的解析式,往往通过变换变量构造一个方程,组成 方程组,利用消元法求 f(x)的解析式 1 1 f ( x) 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 3 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 4 x , x 求 f ( x) 的解析式.

五:赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有 “任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 1.已知: f (0) ? 1 , 任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 求 f ( x)

2.函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(x)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0.求 f(x)的解析式。

函数图象--------分段函数
做下列函数的图象并写出定义域和值域

?? 1( x ? 0) ? (1) f ( x ) ? ? 0( x ? 0) ? 1( x ? 0) ?

(2)y=|x|= ?

?x ?? x

x ? 0, x ? 0.

?2 x ? 2 x ? [?1, 0]; ? x ? (0, 2); (3) f ( x) ? ? ? 1 2 x ?3 x ? [2, ??); ?

(4)y=|x-2|(x+1)

(5) y ?| x ? 2x ? 3 |
2

? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? (6) f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) ? ? x ? 5 ( x ? 1) ?


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