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高中数学主元思想在含参问题中的应用学法指导


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高中数学主元思想在含参问题中的应用
余红丹 含参数问题通常含有两个或两个以上变元, 我们在解题中可视其中一个为主元, 其余视 为参数,化多元问题为一元问题,常可降低思维难度。 1. 主元与次元互换 一般地,可把已知范围的那个量看作自变量,另一个看作常量。

例 1. 对于 0?p?4 的一切实数, 不等式 x ? x 4 ? ? 恒成立, x 的取值范围。 求 p? x p 3
2

分析:习惯上把 x 当作自变量,记函数 y= x ?p 4 ?? ,于是问题转化为当 ( ?) 3 p x
2

p?0 4 时, y ? 0 恒成立,求 x 的范围。解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程 [ ,]
实根分布原理,这是比较复杂的。若把 x 与 p 两个量互换一下角色,即将 p 视为变量,x 为 常量,则上述问题可转化为关于 p 的一次函数在[0,4]内大于 0 恒成立的问题。 解:设 f p (? ? ? ? () x1 ? ) px 4 3 x 。
2

显然 x?1 时不满足题意, 由题设知当 0?p?4 时, f (p ?0恒成立, ) 所以只要 f (0 ?0,且 f (4 ?0 ) ) 即 x ?x 3 0 x ? ? 4?? 且 1 0 解得 x?3 x ? 或 ?1
2 2

例 2. 设方程 x ? ?b ( ? , ? ?a R , ? a 2, x b 0? ( )?2 在 [ ? ? 2) ) ? 上有实根,求
2 2

a2 ?b2 的取值范围。
分析:本题若直接由条件出发,利用实根分布条件求出 a,b 满足的条件,视 a ?b 为 区域内点与原点距离的平方,以此数形结合,亦可获解,但过程繁琐。考虑到变量 a,b 是
2 2

? ? ? 为 aob 坐标 平面上的 一条直线 l : xb 20 ? 主 变量, 反客为 主,视方 程 x a
2 2
2 2 2 ,P(a,b)为直线上的点,则 a ?b 即为|PO| ,设 d 为点 O 到直线 x? 2 20 abx?? ?

l 的距离,由几何条件知

| 2 22 (2 13 x? | x? ) ?2 2 | O d? P ?2 ( | )? 2 2 x? 1 x? 1 9 ? x ? )? 2 ? (2 1 6 x? 1 2 因为 x( , [ ? ,令 t ?x ? , ? ?? ? ? 2 2 ? ) , ) 1 则 t? , ?, [ ? ) 5 9 , ) 且易知函数 t ? 在 [5 ?? 上为增函数。 t 9 2 O (2 1 ) ? 6 所以 |P| ?x ? ? 2 x? 1 9 9 4 ?? ? ? ? ? ? t 65 6 t 5 5 4 2 2 即a ?b ? 。 5

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2. 常元与变元互换 在一个含有变元的式子中,有时将常数视为变元,也即将主要变元视为常数,可产生出 乎意料的解题效果。 已 知 9 ? ?? s A o a ? 求 证 c tC, c 3 t o s a 0 i ?s n 0 s i BA n n , n 4B C t CcB a ?o。 n 9s 例 3.
2

证明: 3?x, 令 于是得到关于 x 的方程 x s xA C 若 cosB≠0 , c? ? ? o s Bi nt a 0 n ①。
2

由已知 s A o a ? ,知方程①的判别式 ??0。所以方程①有两个相等的实 i ?s n 0 n 4B c tC 根,
2

sin A cosB 所以 s A 6s i ? cB n ? o 所以 9 ? o tC c 3 s a? o (c) n0 s ?B B6 ? 即 t CcB a ?o n 9 s 若c B0 o ? ,则由题设两式易知 s A 0 tn ? ,可见 t CcB s a ?o也成立。 n 9 s i ? , aC 0 n
所以 3?3?? 点评:本题若用三角公式证明,不仅代换复杂,而且很难找出 A、B、C 之间的关系。这 里注意观察条件,发现 x?3 是方程 xc Bxn + tn ? 的两个相等实数根,从 o ?s A aC 0 s i 而利用判别式和韦达定理的知识使本题获解。
2

例 4. 已知二次方程 a ? 2 1 ? ? x 2a ) 4 7 中的 a 为正整数,问 a 取何值时,此 ( ?x a =0
2

方程至少有一个非负整数根。 分析:按常规,先求出方程的根 x ?

1?2 ± 1?3 a a ,再由此式讨论方程至少有一个 a
2

非负整数根的条件,这是较为困难的。若把 a 视为主元,解法将变得易行。 解:把 a 视为主元,则方程可改写为关于 a 的一次方程 ( ?x 4 ?x 7 x 4? a 2?,于是 )

a?

2x ? 7 。 ( x ? 2) 2
因为 a 为正整数,所以 即 x ?x 3 0 2?? 解得 ? x 1 3 ??
2

2x ? 7 ?1 ( x ? 2) 2

又 x 是非负整数,所以 x?0 ,或 x?1 ,而当 x=0 时, a ? a=1 时,此方程至少有一个非负整数根。

7 ;x=1 时,a=1。故当 4

3. 多元问题确定主元 含多个参数的问题,可适时确立不同的主元,以达到求解之目的。

2? x a 1 ( ? ),集合 A=[-1,1],设关于 x 的方程 f ( x ) ? 的两 x R 2 x x? 2 2 根为 x1,x2 , 试问是否存在实数 m, 使得不等式 mt ? | 1 x对任意 a ? A及t ? A ? 1x 2 m ? ?| x 例 5. 已知 f( )?
恒成立?若存在求出 m 的取值范围,若不存在请说明理由。 分析:本题含有 3 个参数 a,m,t,可在不同解题阶段确立不同的主元,隐去另两个参 数,从而将问题解决。
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2x ? a 1 ? 得 x2 ? 2 x 2 x ?x 2 0 a? ? 因为 ? a? ? ?2 8 0 所以 x x ax ? ? ? 12 ? , 2 x 1 2
解:由 又 | 1 x?(1 x ? 12 x 2 ?| x 2 4x ?) x
2

? a2 ?8 而 a?? , [1 1 ]
所以 | 1 x a 8 1 ? x 2 ?| ? ? ?? 83
2

由不等式 m ? tm ? 1 ?| x1 ? x 2 |对a ? A及t ? A 恒成立
2

2 所以 m m??|a, ? ?|1 x x t 1x 2 m

即 m t ??恒成立。 ? 13 m
2

记g ()? t? ? , t m m 2
2

则 gt 0 t? 恒成立 ()? 对 A 所以 g ?且1 0 () 0 g ) 1 ( ? ? 得m 2 m ? ? 或? 2 所以存在实数 m 满足题意。

例 6. 已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 1,表面积为

16 ,求长方体的体 27

积的最值。 解:设三条棱长分别为 x,y,z,则长方体的体积 V=xyz。由题设有

1 6 x y z 12y y z ? ??? ( ? ? ) , z x x 2 7 8 8 2 z ( ?) x x xx 所以 y? ? y z ? ?? 2 7 2 7 8 3 2 xz x x 故体积 V(x) ? y ? ? ? x 2 7
下面求 x 的取值范围。

???, z xx 因为 y z 1 x y? ?? ,
2

8 2 7

( x 1 t xx 0 所以 y、z 是方程 t ? ?) ? ? ? ? 的两个实根。
2 2

8 2 7

?, 由 ? 0 得 ?x?
2

1 9

5 9

8 2 7 2 4 ?3 x? )(x? ) ( 9 9 4 16 所以当 x ? 时, V(x)min ? ; 9 729 '( )? x 2 ? 因为 V x 3 ? x

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当x ?

2 20 时, V(x)max ? 。 9 729

评析:解决本题的关键在于确定目标函数时,根据相关条件的特征,构造了二次方程, 并由此得出定义域使问题得解。

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