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实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

旗杆与底面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

大桥的桥柱与水面垂直

引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么?

A

?

B

实例感受
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影 子.你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位 置关系吗? 随着时间的变化,尽管影子的位置在移动,但是 旗杆所在所在直线AB始终与影子所在直线BC垂直. 也就是说,旗杆AB所在直线与地面内任意一条过 点B的直线垂直. 事实上,旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过 点B的直线B’C’也是垂直的. A

?

C?

C
B? B

引入新课

一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 直线垂直于平面内的任意一条直 线.
A
C?

C
B? B

?

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 直线垂直于平面内的任意一条直 线.

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么? 直线垂直于平面内的任意一条直 线.

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

直线与平面垂直

画直线与平面垂直时,通常把直线画成表 示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.
直线与平面的 一条边垂直

l
P

?

直线与平面垂直

除定义外,如何判断一条直线与平面垂直
呢?

l

?

P

直线与平面垂直
如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:
A
C

A

D

B

D

C

?

B

过 ?ABC 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接 触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面? 垂直.

直线与平面垂直

A
C

A
D

B

D

C

?

B

当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 线与桌面所在平面 ? 垂直.

直线与平面垂直
(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面 ? 上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面 ? ,你 同意他的说法吗? (2)如图,由折痕 AD ? BC ,翻折之后垂直关 系不变,即 AD ? CD , AD ? BD .由此你能得到什 么结论?
A
C

A
D

B

D

C

?

B

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

l

b

?

A

a

作用: 判定直线与平面垂直. 思想: 直线与平面垂直

直线与直线垂直

直线与平面垂直判定定理

能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都 垂直,则该直线与此平面垂直.”
l

? a ?? ? ? l ? ? b ?? ? a // b ? ?

l?a ? l ?b ?

A

?

a

b

典型例题
例1 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证

b ? ?.
b
n

证明:在平面 ? 内作 a 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.

?

m

又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

随堂练习
如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?
A? D?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

B?

C?

A D B
C

典型例题
例2 一旗杆高8 m,在它的顶点处系两条长10 m的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 (与旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点与旗杆 脚距6 m,那么旗杆就与地面垂直.为什么? 解:如图,旗杆PO=8 m,两绳长 P PA=PB=10 m,OA=OB=6 m.

因为 A,O,B 三点不共线, 所以 A,O,B 三点确定平面. 所以 OP ? OA, OP ? OB.

O A B

又因为 PO2 ? OA2 ? PA2 , PO2 ? OB2 ? PB2 又因为: OA ? OB ? O, 所以: OP ? ? . 因此,旗杆OP与地面垂直.

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

小结: 1、入手指南:碰到判断或证明线面垂直的问题, 应转化为证明线线垂直;反之亦然. 2、小心提醒:平面内的这两条直线应该相交; 3、重点总结:证明线线垂直的方法有哪些? ①勾利用线面垂直的定义 ②利用平行移动不改变夹角大小 ③等腰三角形的三线合一 ④股定理的逆定理(已知长度) ⑤正方体(长方体)中的线线垂直、线面垂直 ⑥菱形(正方形)的对角线互相垂直 ⑦相似


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