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2012年全国高中数学联赛试题(四川初赛)及答案(word版)


2012 年全国高中数学联合竞赛 (四川初赛)
一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、设集合 S ? ? x | x
2

? 5 x ? 6 ? 0?

,T ? ? x

| x ? 2 |? 3 ?

,则 S ? T =(

r />)

A、 { x | ? 5 ? x ? ? 1} C、 { x | ? 1 ? x ? 1}

B、 { x | ? 5 ? x ? 5} D 、 { x | 1 ? x ? 5}

2、正方体 A B C D ? A B C D 中 B C 与截面 B B D D 所成的角是(
1 1 1 1
1

1

1



A、 ?

6

B、 ?

4

C、 ?

3

D、 ?

2

3、已知 f ( x ) ? x

2

? 2x ? 3

, g ( x ) ? kx ? 1 , )

则“ | k |? 2 ”是“ f ( x ) ? g ( x ) 在 R 上恒成立”的(

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条 件 D、既不充分也不必要条件

4、设正三角形 ? 的面积为 S ,作 ? 的内切圆,再作内切圆的
1 1 1

内接正三角形,设为 ? ,面积为 S ,如此下去作一系列的正
2 2

三角形 ? 设S
1

3

, ? 4 ,?

,其面积相应为 S
n ? ?? n

3

, S 4 ,?

, )

? 1 Tn ? S 1 ? S 2 ? ? ? S n

,

,则 lim T =(
1

A 、6
5

B 、4
3

C、 3
2

D 、2

5、设抛物线 y
| MF |
3 3

2

? 4x

的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的 ) C、 4
3

动点,则 | M O | 的最大值为( A 、 B 、2
3 3

D 、

3

6、 设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形, 在此容器内 注入水,并放入半径为 r 的一个实心球,此时球与容器壁及 水面恰好都相切,则取出球后水面高为( A、 r B、 2 r C、
3

) D、
3

12 r

15 r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每 分,共 30 分)
A F E B D

小题 5

C

7、如图,正方形 A B C D 的边长为 3, E 为 D C 的 中 点 , 是
AE



BD

相 交 于 .

F

, 则

???? ???? FD ? DE

的 值

8 是



(x ? x ?
2

1 x

)

6



















. (用具体数字作答)
2

9、设等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ,满足 S
n n

n

?

( a n ? 1) 4

2

,则 S 的
20

值为



10 、 不 超 过 2012 的 只 有 三 个 正 因 数 的 正 整 数 个 数 为 .

11 、 已 知 锐 角 是

A, B

满足

tan( A ? B ) ? 2 tan A

,则

tan B

的最大值



12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五 位数 a b cd e , 满足条件“ a ? b ? c ? d
?e

”的概率是



三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x ) ? sin x ?
3 cos x ? 1



(I)求函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的最大值与最小值;
2

(II)若实数 a , b , c 使得 af ( x ) ? bf ( x ? c ) ? 1 对任意 x ? R 恒成立, 求 b cos c 的值.
a

3

14、已知 a , b , c ? R ,满足 a b c ( a ? b ? c ) ? 1 ,
?

(I)求 S ? ( a ? c )( b ? c ) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 线 l 经过点 ( ? 2, 0 ) 和 A B

2

? y ?1
2

的左支交于 A 、 B 两点,直

的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

16、设函数 f

n

( x ) ? x (1 ? x )
n

2

在 [ 1 ,1] 上的最大值为 a ( n ? 1, 2, 3, ? ) .
2
n

(I)求数列 { a } 的通项公式;
n

(II)求证:对任何正整数 n ( n ? 2) ,都有 a
n n

n

?

1 (n ? 2)
2

成立;

(III)设数列 { a } 的前 n 项和为 S ,求证:对任意正整数 n , 都有 S
n

?

7 16

成立.

4

2012 年全国高中数学联合竞赛 (四川初赛)参考解答 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ? 3
2

8、 ? 5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、解: (I)由条件知 f ( x ) ? 2 sin ( x ? ? ) ? 1 ,………(5 分)
3

由 0 ? x ? 知,
2 2

?

?
3

? x?

?
3

?

5? 6

,于是 1 ? sin ( x ? ? ) ? 1
2 3 2

所以 x ? ? 时, f ( x ) 有最小值 2 ? 1 ? 1 ? 2 ; 当 x ? ? 时, f ( x ) 有最大值 2 ? 1 ? 1 ? 3 .
6

(10 分)

(II)由条件可知
2 a sin ( x ?

?
3

) ? 2 b sin ( x ?

?
3

? c) ? a ? b ? 1

对任意的 x ? R 恒成立,
3

∴ 2 a sin ( x ? ? ) ? 2 b sin ( x ? ? ) ? co s c ? 2 b co s( x ? ? ) ? sin c ? ( a ? b ? 1) ? 0
3 3

∴ 2 ( a ? b co s c ) ? sin ( x ? ? ) ? 2 b sin c ? co s( x ? ? ) ? ( a ? b ? 1) ? 0
3 3



? a ? b co s c ? 0 ? ? b sin c ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ?

,

……….………….

(15 分)

由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ? 1 , ,
5

解得 a ? b ?

1 2

, c ? ( 2 k ? 1) ?

,所以, b cos
a
2

c

? ?1



(20 分)
1 ab

14、 (I) 解: 因为 ( a ? c )( b ? c ) ? ab ? ac ? bc ? c 分)
? 2 ab ? 1 ab ? 2

? a b ? (a ? b ? c )c ? a b ?

(5

,等号成立的条件是 a b ? 1 ,
2 ?1

当 a ? b ? 1, c ?

时, S 可取最小值 2.

(10 分)

(II)当 S 取最小值时, a b ? 1 ,从而 c ( a ? b ? c ) ? 1 , 即c
2

? (a ? b )c ? 1 ? 0 ab ? 2
?t ? t ?4
2

,令 t ? a ? b , (15 分) 或者 c ?
2 t ?4 ?t
2

则t ? 2 从而 c ? 故c?

?t ?

t ?4
2

?0

2

2

(舍去)

?t ?

t ?4
2

?

2

在 t ? [ 2, ? ? ) 单减,
2 ?1

所以在 t ? 2 时, c 有最大值

. (20 分)

15 、 解 : 将 直 线
? y ? kx ? 1 ? 2 2 ?x ? y ? 1

y ? kx ? 1

与双曲线 x

2

? y ?1
2

方程联立得

化简得 ( k

2

? 1) x ? 2 kx ? 2 ? 0
2



(5 分)
? ? ? ? 4 k 2 ? 8( k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? ?0 ? x1 ? x 2 ? ? 2 k ?1 ? 2 ? ?0 ? x1 ? x 2 ? 2 k ?1 ?

由题设知方程①有两负根,因此

,解得

1? k ?

2

. 分) (10

6

设 A ( x , y ), B ( x
1 1

2

, y2 )

,则有 x
2k
2 2

1

? x2 ? ?

2k k ?1
2



y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? ?

k ?1
k

?2? ?
1

2 k ?1
2

故 A B 的中点为 ( ?

k ?1
2

,?

所以直线 l 方程为
b ?

y ?

) k ?1 ?1
2
2


( x ? 2)

2k ? k ? 2

,其在 y 轴的截距

?2 2k ? k ? 2
2

, 分) (15
2

当 1? k ?
( ? 1, 2 ? 2)

时,

2k ? k ? 2 ? 2(k ?
2

1 4

) ?
2

17 8

,其取值范围是


(?? , ?2 ?



b

?

?2 2k ? k ? 2
2













2 ) ? (2, ? ? )



(20 分)

16、解: (I) f
2

' n

( x ) ? nx
' n

n ?1

(1 ? x ) ? 2 x (1 ? x ) ? x
2 n

n ?1

(1 ? x )[ n (1 ? x ) ? 2 x ]



当 x ? [ 1 ,1] 时,由 f
x ?1

( x) ? 0

知 (5 分)

或者 x ?

n n?2 n n?2 n n?2 n


? ? 1 3 1 ?[ 1 2 1 ,1]

当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时, ∵ x ?[1 , ∴
an ? ( n n?2
n

,又 f ( 1 ) ? 1 , f
1

? [ ,1] 2 2 1 ? [ ,1] n?2 2

,又 f

2

( )? 2 16

2 1

8 1

n

(1) ? 0 (1) ? 0

,故 a ,故 a

1

? ?

1

,f

8 1

; ;

n

2

16



n

2 n?2

)

时, f
x?

' n

( x) ? 0
n

;x?(

n n?2

,1)

时, f

' n

( x) ? 0



fn ( x)


) ?
2

n?2

处 取 得 最 大 值 , 即

) (

2 n?2

4n

n n?2

(n ? 2)

综上所述,

7

?1 ? , ( n ? 1) ?8 an ? ? n 4n ? , (n ? 2) ? (n ? 2) n?2 ?



(10 分)

(II) n ? 2 时, 当 欲证 ∵ (1 ? 2 )
n
n

4n

n n?2

(n ? 2)

?

1 (n ? 2)
2

, 只需证明 (1 ? 2 )
n

n

? 4

2 1 2 2 2 n 0 1 2 n ? Cn ? Cn ?( ) ? Cn ?( ) ? ? ? Cn ?( ) n n n n ( n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n
? 1 (n ? 2)
2

所以,当 n ? 2 时,都有 a

n

成立. 分) (15

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 S
? 1 8 ? 1 16 ? 1 5
2
n

?

1 8

?

1 16

? a3 ? a4 ? ? ? an

?

1 6
2

?? ?

1 (n ? 2)
2

?
?

1 8 1
8

?
?

1 16 1
16

?(
?

1

?
?

1 5 7

)?(

1 5

?

1 6

)?? ? (

1 n ?1

?

1 n?2

)

4 1
4

16



所以,对任意正整数 n , 都有 S
n

?

7 16

成立.

(20 分)

8


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