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2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题(word版有详细答案)


2006 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第一试
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、a,b 为实数,集合 M ? { ,1}, P ? {a, 0}, f : x ? x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于( A. -1 B. 0 C. 1 D. ?1 ) )

b a

2、若函数 f ( x ) 满足 f (

2 ) ? log 2 x | x | ,则 f ( x) 的解析式是( x? | x |
C. 2
?x

A. log2 x

B. ? log2 x

Dx

?2

3、若关于 x 的方程 ( ) ?
x

3 2

A. (??, ? ) ? (5, ?? )

2 3

2 ? 3a 有负数根,则实数 a 的取值范围为( ) 5?a 3 2 2 3 B. (??, ? ) ? (5, ??) C. (? ,5) D. ( ? , ) 4 3 3 4

4、已知数列 {an }、 n } 的前 n 项和分别为 An , Bn 记 Cn ? an ? Bn ? bn ? An ? an ? bn (n ? 1) {b 则数列{ Cn }的前 10 项和为( ) A . A10 ? B10 B.

A10 ? B10 2

C. A ? B10 10

D.

A10 ? B10

5、如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AP ? 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A.

??? ?

? 2 ??? 1 ???? AB ? AC , 5 5

( )

1 5
3

B.

2 5

C.

1 4

D.

1 3

6、若 sin

? ? cos3 ? ? cos? ? sin ? ,0 ? ? ? 2?
) C. [

则角 ? 的取值范围是( A. [0,

?
4

]

B. [

?
4

,? ]

? 5?
4 , 4

]

D. [

? 3?
4 , 2

)

7、袋中装有 m 个红球和 n 个白球,m>n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n≤40 的数组(m,n)的个数为 ( ) A .3 B. 4 C .5 D.6 8 、 已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的 两 个 实 根 为 x1 , x2 且
2

b ) 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 则 的取值范围是 ( a 1 1 1 1 A . ( ?1, ? ] B ( ?1, ? ) C ( ?2, ? ] D ( ?2, ? ) 2 2 2 2
9、如图 2,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,P 为棱 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 1

l 与平面 ABCD 和平面 AB C1D1 均成 30 角,则这样的直线 l 的条数为 ( A. 1 B .2 C. 3 D .4

0

)

10、如图 3,从双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点 2 a b

为 T. 延长 FT 交双曲线右支于 P 点若 M 为线段 FP 的中点, 为坐标原点, | MO | ? | MT | O 则 与 b ? a 的大小关系为 ( ) D.不确定

A. | MO | ? | MT |? b ? a B. | MO | ? | MT |? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a 二、填空题(每十题 6 分,共 30 分) 11、已知 ? 为锐角,且

cos 3? 1 sin 3? ? ,则 ? cos ? 3 sin ?

12、 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架, 用 铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架 能容纳得下的最大球的半径为 R1 ,能包容此框架的最小球的半径为 R2 ,则

R1 等于 R2

13、设 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,且 f ( ? ) ? 3 ,若 sin ? ?

2 5

5 则 f (4cos 2? ) 的值 5

x2 y 2 ? ? 1 截得线段的中点的轨迹 14、若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 2 8
方程为 15、设 x ? 1, y ? 1, S ? {log x 2,log2 y,log y (8x )} 则 S 的最大值为
2

第二试
一、(20 分)设 P( x ? a, y1 )、Q( x, y2 )、r (2 ? a, y3 ) 是函数 f ( x) ? 2 ? a 的反函数图象上
x

三个不同点,且满足 y1 ? y3 ? 2 y2 的实数 x 有且只有一个,试求实数 a 的取值范围. 二、(20 分)已知 x、y、z 均为正数 (1)求证:

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? ; yz zx xy x y z

(2)若 x ? y ? z ? xyz ,求 u ?

x y z ? ? 的最小值 yz zx xy

三、(20 分)已知 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,设 tan ? ? x, tan ? ? y ,记 y ? f ( x) (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)定义正数数列 {an }; a1 ?

1 2 , an ?1 ? 2an ? f (an )(n ? N * ) 。试求数列 {an } 的通项公式。 2

四、 (30 分)如图 4,△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,设 D、E 分 别为内切圆 I 与边 BC、CA 的切点,求证:D、H、E 三点共线

五、(30 分)如图 5,已知抛物线 C: y 2 ? 4 px( p ? 0) ,F 为 C 的焦点,l 为准线,且 l 交 x 轴于 E 点,过点 F 任意作一条直线交抛物线 C 于 A、B 两点。 (1)若 AF ? ? FB(? ? 0) ,求证: EF ? ( EA ? ? EB) ; (2)设 M 为线段 AB 的中点,P 为奇素数,且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线 l 的距离 均为非零整数,求证:点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?


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