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《数列求和》教学设计


《数列求和》教学设计
高三文科数学第一轮复习(第 1 课时) 邵武一中 杜海光 一、学情分析: 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求 和公式,同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课, 将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前 n 项和,从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的 能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计: 本节课设计的指导思想是:讲究效率,加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点,引导学 生进行探索、讨论,注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点,然后剖析需要解决的问题,在例题及 变式中巩固相应方法,再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解,从而较好地完成知识的建构,更好地 锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法: ①诱导思维法:使学生对知识进行主动建构,有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性; ②分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性; ③讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 三、教学设计: 1、教材的地位与作用: 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一,属于高考命题中常考的内容;另一个面,数学思想 方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法,化归思想就是 把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、 类比等思维过程, 选择恰当的方法进行变换、 转化, 归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上, 最终解决原问题的一种数学思想方法;化归思想是解决数学问题的基本思想,解题的过程实际上就是转化 的过程。因此,研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。 2、教学重点、难点: 教学重点:根据数列通项求数列的前 n 项,本节课重点学习并项分组求和与裂项法求和。 教学难点:解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标: (1)知识与技能: 会根据通项公式选择求和的方法,并能运用并项分组求和与裂项法求数列的前 n 项。 (2)过程与方法: ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力; ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习,提高学生分析问题和解决问题的能力,使不同层次的学生的 能力都能得到提高。 (3)情感、态度与价值观: ①通过对数列的通项公式的分析和探究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神; ②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究,使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好 思维习惯;

③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。 四、教学过程: 教 学 一、复习引入 (一)巩固: 求下列数列的前 n 项和: ①1+3+5+?+(2n-1)= ② 3 ? 3 ??? 3 =
2 n













学生练习,教师提问 对于③提示学生要注意 分类

设计意图 充分发挥学生 学习的能动性 , 以学生为主体 , 展开课堂教学 通过学生对几 种常见的求和 方法的归纳、 总 结 , 简单回忆各方 法的应用背景 . 把遗忘的知识 点形成了一个 完整的知识体 系

③ a ? a ? a ? ? ? a ? ________
2 3 n

(二)引入 1、对一个数列我们应关注它什么? 2、对一个非特殊数列,如何求和? (转化为等差、等比数列) 3、引导学生回忆数列几种常见的求和方法: ①公式法 ②拆并项求和 ③裂项相消法 ④倒序相加法 ⑤错位相减法 4、提出问题:如何对非特殊的数列求和?

教师提问,学生回答

二、例题选讲: 问题1求下列数列的和 (1) 1-3+5-7+9+??+101= . n-1 (2) 设 Sn=1-3+5-7+9+??+(-1) (2n-1), 求 Sn (3) 1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10 10 ? 2 4 8 2

多媒体显示题目 学生先独立思考,后讨 论,最后教师由学生的 回答概括出各种解法。

.

(4)若数列{an}的通项公式为 an ? 2 n ? 2n ? 1, 则数列{an}的前 n 项和 Sn= . 教师讲解: ( 1 ) 分 析 ( 一 ) Sn = (1 - 3) + (5 - 7) + (9-11) + ? ? (97-99)+101= 分 析 ( 二 )Sn = 1+( - 3 + 5)+( - 7 + 9)+(-11 + 13) ? ? +(-99+101)= 分析(三) Sn=(1+5+??+101)-(3+7+??+99) = 分析(四) Sn=1-3+5-7+9+??+101 Sn=101-99+97-95+??+1 (2)分析:当 n=2k (k∈N )时, Sn=S2k=(1-3)+(5-7)+? +[(4k-3)-(4k-1)]=-2k=-n. * 当 n=2k-1 (k∈N )时, Sn=S2k-1=S2k-a2k
*

通过四个小 题, 让学生能分 析和式的特点, 灵活选择合适 的方法——并 项求和、 分组求 和。

教师小结: (1)并项求和法 一个数列的前 n 项和, 可两两结合求解,则称 之为并项求和.形如 an =(-1)nf(n)类型,可采 用两项合并求解. (2)分组求和法 一个数列的通项公式是 由若干个等差数列或等 比数列或可求和的数列 组成,则求和时可用分 组求和法,分别求和后 再相加减.

通过一题多 解 ,开阔学生的 思维. ① 分 析 ( 一 )( 二 ) (三)培养学生 的拆项求和与 并项求和的意 识, ② 比 较 分 析 ( 一)( 二) 思考 应留下哪一项 ③分析(四)复 习倒序相加法 ④为例 1 后面 的习题作铺垫

=-2k-[-(4k-1)]=2k-1=n. n-1 综上所述,有 Sn=(-1) n. (3)

S n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10) + (
1 210
(4) 2
n ?1

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 10 )= 56 - 2 4 8 2

? 2 ? n2
学生独立练习。 巩固所学方法

变式 1 (1)Sn=1002-992+982-972+?+22-12,求 Sn. - - (2) (教材习题改编)(2-3×5 1)+(4-3×5 2)+?+(2n-3×5
-n

)=________.

2n-1 321 (3)已知数列{an}的通项公式是 an= n , 其前 n 项和 Sn= , 2 64 则项数 n 等于( ) A.13 B.10 C.9 D.6 解答: (1) Sn=1002-992+982-972+?+22-12 =(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050. (2) 解析:(2-3×5 1)+(4-3×5 2)+?+(2n-3×5 n)
- - -

学生板书,教师点评

=(2+4+?+2n)-3(5 1+5 2+?+5 n)
- - -

1? - 5 1? ?1-5n? n?2+2n? = -3× 2 1 1- 5 1 3 3 -n 3 1- n?=n2+n+ · =n(n+1)- ? 5 - . 4? 5 ? 4 4 2n-1 1 (3)解析:选 D ∵an= n =1- n, 2 2 1? ? 1? ? 1? ∴Sn=? ?1-2?+?1-22?+?+?1-2n? 1 1 1? =n-? ?2+22+?+2n? 1 1? 1- n? 2? 2 ? 1 1 1- n?=n-1+ n. =n- =n-? 2 ? ? 1 2 1- 2 1 321 1 ∴n-1+ n= =5 ,解得 n=6 2 64 64

问 题 2 (1) =

1 1 1 1 + + +?+ 1×4 4×7 7×10 ?3n-2??3n+1? 。 学生思考,讨论后,教 师重点讲解对通项的处 理,以及消去的项和留

1 1 1 1 = . ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 ? ??? (3) 1+ 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
(2) = (4) 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 a n ?

下的项的处理 教师小结: 1、注意点:使用裂项

1 n ? n ?1

,若

S n ? 10 ,则 n=
解析:

.

前两题主要是 复习裂项法的 相消法求和时,要注意 基本操作, 后两 正负项相消时,消去了 题 的 主 要 是 想 通过对通项的 哪些项, 保留了哪些项, 处理, 达到符合 切不可漏写未被消去的 裂项法的要求 项,未被消去的项有前 后对称的特点. 2、常见的拆项公式 (1) 1 n?n+k? = 1 k

1 1 1 1 (1) ∵ = ?3n-2-3n+1?, 3 ? ?3n-2??3n+1? ? ∴ 1 1 1 1 + + +?+ 1×4 4×7 7×10 ?3n-2??3n+1?

1 ? 1? ?1 1? ?1 1 ? 1- + - + - +?+ = ? 4? ?4 7? ?7 10? 3??

? 1 - 1 ??=1?1- 1 ?= n . ?3n-2 3n+1?? 3? 3n+1? 3n+1
3 2n ? 3 ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 2n (3) n ?1
(2) (4)120 1 变式 2 (1) 数列{an}的通项公式为 an= n,设 bn=log3a1+ 3 ?1? log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n? (2) 已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与
? 1 ? 直线 3x-y+2=0 平行,若数列?f?n??(n∈N*)的前 n 项和为 Sn, ? ?

?1- 1 ?; ?n n+k?
(2) 1 1 = 2 ?2n-1??2n+1?

? 1 - 1 ?; ?2n-1 2n+1?
(3) 1 1 = 2 n?n+1??n+2?

1 ? 1 - ? ?n?n+1? ?n+1??n+2?? (4) 1 1 = k n+ n+k

( n+k- n). 学生练习、讨论,教师 提问、引导 综合应用所学 知识,求出通 项, 能由通项特 点选择方法

则 S2 012 的值为( 2 009 A. 2 010 解析:

) 2 012 D. 2 013

2 010 2 011 B. C. 2 011 2 012

(1) bn = log3a1 + log3a2 + ? + log3an =- (1 + 2 + ? + n) =- n?n+1? . 2 1 1 1 2 故 =- =-2?n-n+1?. bn ? ? n?n+1? 1 1 1 + +?+ b1 b2 bn 1? ?1 1? ?1- 1 ?? =-2?? ?1-2?+?2-3?+?+ n n+1

?

?

??

2n =- . n+1
?1? 2n 所以数列?b ?的前 n 项和为- . ? n? n+1

(2)解析:选 D 由于 f′(x)=2x+b,据题意则有 f′(1)=2+b 1 1 1 1 =3,故 b=1,即 f(x)=x2+x,从而 = = - , f?n? n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 n 其前 n 项和 Sn=1- + - +?+ - =1- = , 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 2 012 故 S2 012= . 2 013 三、学生反馈练习 学生独立练习,析书, ① 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? 20072 ? 20082 ? 教师点评 1 1 1 1 ② 数 列 : 1 ,3 ,5 , 7 , 的 前 n 项 和

2

4

8

16

为 ; ③数列{an}中,前 n 项之和 Sn=1-5+9-13+17-21+?+(- n-1 1) (4n-3),则 S15+S22-S31= . ④已知数列{an}:

反馈练习的 训练充分发挥 学生的主体地 位 ,营造生动活 泼的课堂教学 气氛 通过学生的评 析 ,激发学生学 习热情 ,发散学 生思维 ,培养学 生的合作 ,探究 意识。 让学生从 具体实例中发 现结论。 符合学 生认识规律 ,并 在结论的发现 过程中培养学 生的思维能力。

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 , ? , ? ? ,?, ? ? ??? , ?, 若 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10

bn ?
(A)

1 , 那么数列{bn}的前 n 项和 Sn 为( a n a n ?1
(B)

)

n n ?1

4n n ?1

(C)

3n 5n (D) n ?1 n ?1

【解析】选 B.

1 ? 2 ? 3 ??? n n ? , n ?1 2 1 4 1 1 ? bn ? ? ? 4( ? ), a n a n ?1 n ? n ? 1? n n ?1 an ? 1 1 1 1 1 ? Sn ? 4[(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 4n ? 4(1 ? )? . n ?1 n ?1
四、小结 1、拆并项求和: 若 an ? bn ? cn ? d n , 其中 {bn },{cn },{d n ) 均为可求和数 列,则可分别求和后再合并; 2、裂项法求和的几个注意点:项数与系数 3、求和思想——转化与化归思想 数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常

教师引导学生小结

启发、 引导学生 归纳总结, 一方 面了解学生对 本堂课的接受 情况 ,另一方面 培养学生的归 纳总结能力。 使 知识系统化 ,条 理化。

数等方法,把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基 本运算求解的形式,达到求和的目的. 五、课后作业 必做题: 《世纪金榜》课时提能演练(三十二) 第 1~11 题 选做题: n 1 、 如 果 数 列 {an} 的 前 n 项 之 和 为 Sn=3 + 2 , 那 么
2 2 2 = a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an

.

2 、设设数列 {an} 是公差 d = 4 的等差数列 , 前 20 项之和为 S20=660. (Ⅰ)求它的首项 a1; (Ⅱ)设
2 2 2 2 2 2 2 2 T= (a2 ? a4 ? a6 ? ?? a16 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a15 ) ,求

通过作业题的 分层变式训练 , 达到引起学生 积极思维的目 的 ,提高分析问 题、 解决问题能 力来满足不同 层次学生需要 , 符合因材施教 原则。 从而达到 培养学生养成 “题后思考” 的 习惯和提高数 学能力的效果。

T 的值. 六、教学评价 自主性:注重发展学生的个性,分层式练习和选择性作业,充分体现学生的主体地位. 实践性:通过学生评析中的变式训练,给学生提供了一个很好的做数学的学习环境和学习机会. 可行性: 所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能 力. 有效性: 通过学生的练习与评析, 给学生提供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获 取知识和提高综合素质创造条件. 五、课后反思: 数列求和的题型多样,求和的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等 比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热 点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目 的是化陌生为熟悉,当然首先是等差、等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变形手段,达到转化 的目的。 因而数列求和问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。 求数列的前 n 项和的方法策略是: 公式法、 并项分组法、裂项法、错位相减法、倒序相加法等。只要仔细辨析数列通项的特征,准确选择恰当的方法, 是迅速求出前 n 项和的关键。


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