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2010年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)


2010 年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)
一、 填空题 (每小题 8 分, 共 64 分)
? ? 1. 函数 f (x) = ?x - 5 - ?24 - 3x 的值域是 2. 已知函数 y = ( a cos2x - 3 ) sin x 的最小值为-3. 则实数 a 的取值范围是
2 2

. .

3. 双曲线 x - y = 1 的右半支与直线 x = 100 围成的区域内部 (不含边界) 整点 (横纵坐标均为整数的 点) 的个数是 . . 4. 已知{an}是公差不为 0 的等差数列, {b n}是等比数列,其中 a1 = 3, b 1 = 1, a2 = b 2, 3a5 = b 3,且存在常数 α、 β 使得对每一个正整数 n 都有 an = logαb n + β. 则 α + β =
2x x

5. 函数 f (x) = a + 3a - 2 ( a > 0, a ≠ 1 )在区间 x ∈ [ -1, 1 ]上的最大值为 8. 则它在这个区间上的最 小值是 . . . . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则由另一人投掷 . 则先投掷人的获胜概率是 sinα = 7. 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的 9 条棱长都相等 , P 是边 CC1 的中点 , 二面角 B - A1P - B1 = α. 则 8. 方程 x + y + z = 2010 满足 x ≤ y ≤ z 的正整数解( x, y, z )的个数是

二、 解答题 (共 56 分)
9. ( 16 分)已知函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 ) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, ? f ' (x) ? ≤ 1. 试求 a 的最大值 . 10. ( 20 分)已知抛物线 y2 = 6x 上的两个动点 A ( x1, y1 )、 B ( x2, y2 ) ,其中 x1 ≠ x2 且 x1 + x2 = 4,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C . 求△ ABC 面积的最大值 . 11. ( 20 分)证明:方程 2x3 + 5x - 2 = 0 恰有一个实数根 r,且存在唯一的严格递增正整数数列 {an } ,使 2 得 ? = ra1 + ra2 + ? . 5


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