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第三章 立体几何初步(续)


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20 05年第 6 期 

中学数学月 刊 

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的一些现象 , 采取理性的态度对待这些现象,  
这正是我们学习概率论和统计学的目的. 在 

的不公 , 振作起来 , 迎接明天的挑战! 这才是 

/>我们要从生 日问题中得到的启示.  
参考文献 

日常生活中, 我们有时会遇到双喜临门的好 
事, 也会碰到祸不单行的意外. 如果一年 35 6 

1 汪仁官 .   概率论 引论 . 北京 : 北京大学出版社,  
1 9  94

天平均每周你有一件比较开心的事, 那至少 
有两件好事在同一天发生的概率有多大呢?   答案是 : 5 ) 098双喜临门的概率这  P (2 = . 7, 么大 ! 同样, 如果一年中你有 5 2件不顺心的  事, 真的碰到了祸不单行, 即同一天有两件不  顺心的事发生了, 也是正常的, 不必感叹生活 

2 勤 学 .生 日在 同 一 天 .数 理 统 计 与 管 理 ,    
1 8 ( ) 5  9 7 5 :4

3 王健吾 .   从生 日在同一天谈起 . 数理统计与管 
理 ,9 5 3 :0~ 5   19 ()5 2

4 吴文俊 .   世界著名数学家传记 . 北京 : 科学出版 
社 ,9 5 1 9 

高中数学课程标准实验教材分析 

第三章 立体几何初步(     续)
于 明  ( 江苏省宿迁市教 育局教研 室 2 3 0 )   2 8 0 

仇炳生  ( 京 师 范 大 学 附 属 中 学  20 0) 南 103 

4 本章教材分析   
章头图、 引言 

步 感 受 了空 间两个平 面互相平行 , 教学 中 但   不必给出“ 两个 平面互相平行 ”的严格定义.   棱锥 的概念 , 是通过 与棱柱 比较 , 图 并用  

章头图为天坛. 天坛始建于 12 年, 4 6 是  我 国现存的精美的古建筑群之一. 通过观察  可 以发现, 如此雄伟 的 筑是由一些基本的  空 间图形组合而成. 它和引言提供了本章的  主背景, 唤起了学生生活中的经验, 让他们注  意到现实世界中空间图形与我们的生活息息  相关的联系, 是本章的知识与方法的生长点.   引言进一步从整体到局部提出统领本章 

形放缩的方法引出, 即将棱锥看作是棱柱的 


个 底面收 缩为一 点时得到 的图形. 再通过 

棱 锥 去定义棱 台, 这样 有利 于学 生用运动 变  化 的 观点认识棱 柱 、 棱锥 、 台 的辩 证关系. 棱   对于棱 台要 注意引导学生认识棱 台的重要特 

点 —— 侧棱延长后交于一点.  
通过对棱 柱 、 锥 、 台 的认 识 , 棱 棱 教材 又 

的 中心问题 :1 空间几何体是 由哪些基本 ()   几何体组成 的? 2 如何描述和刻画这些基  () 本几何体的形状和大小?() 3 梅  这些几何  体 的基本元素之间具有怎样的位置关系?   揭
示 了本章研究问题的基本思路 , 为学生的学  习活动提供了研究的课题, 指明了方向.  
§ .  空间几何体  31 () 1 棱柱 、 锥和棱 台  棱

给 出了多面体的概念. 教学时可结合生活中  
的实物 , 让学生进一步了解、 认识多面体.  
() 2 圆柱 、 圆锥、 圆台和球  教材先让 学 生思 考 圆柱、 圆锥 、 台、 圆 球 

的生成规律 , 然后给出它们的定义, 意在让学 

生初步理解“ 旋转体” 的概念. 教学中也可以  
按 照棱柱 、 棱锥 、 台的生成过程进一步认识  棱 圆柱 、 圆锥、 台、 面 的结构特征 . 圆 球 例如 ,   圆

教材给出一组几何体, 用图形平移的方  法 引出棱柱的概念, 这样有利于学生感知棱  柱的结构特征. 平移”的过程中, 在“ 学生初 

柱可以看作圆面沿着圆面的铅垂方向平移形 

成 的空间几何体; 圆锥可以看作圆柱的一个 
底 面缩为它的圆心时形成的空间几何体 ; 圆 

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台可以看作圆锥被平行 于底面的平面所截  后, 截面与底面之间的空间几何体. 对于球面 
可 以类比圆的定义给出, 即空间中和一个定  点距离为定长的点的集合是一个球面.  
()中心投影 和平行投 影  3

条直线将平面分成两个部分 , 那么一个平 

面可以将空间分成几个部分? , ”来理解平面 
的无 限延展 这一本 质属 性.  



 

教材以生活中实例为背景, 引出投影、   中 心投影和平行投影的概念. 对于中心投影 , 教 
学 时学 生只需 知道它 的意义 即可 , 不必讨 论 
图1  

其画法. 对于正投影, 教学中也可引导学生通  过思考“ 圆锥顶点在底面上的正投影是什么”   与“ 圆台上底面的圆心在下底面上的正投影 
是什么” 来理解 它的意义.   教材 以平 行投 影 为基础 , 介绍 了三 视 图 

公 理 1实 际上 表 

此也可进行如下解释:  
如果 一 条直 线 上 有 两  点在一个平 面 内, 么  那 的点.  



—_  /
图2  

的画法. 教学时要通过观察( 有条件的要用计 

这条直线上就不会存在如图 2 所示跳出平面 
公 理 2实 际上 表明 , 面是 “ 限延 展  平 无

算机演示) 立体图形的三视图, 让学生理解 
三视图中图形之间“ 长对正 , 高平齐 , 宽相等”  
之 间的 内在 联 系. 有利于学 生空 间想象能  这 力的培养. 画实物 的三视 图时 , 引导学生分  应

的”它是研究两个平面位置关系的基础. , 教  学时应强调对于两个不重合的平面, 只要它 
们有 公共点 , 就是相交 的位 置关 系 , 它们 公共 

析 实物结构 , 观察它是由哪些简单几何体组 
成, 从而准确地画出它的视图.  
() 4 直观 图画法  教 材简单 介绍 了 中心投 影 的有关 性质 ,  

部分是一条直线, 而不是一个点.   公理 3 是确定平面的依据. 确定” “ 通常 
是 指 “ 且 只有 ” 这 里 的“ ”是 说平 面存  有 , 有 在 ,只有一 个 ” “ 是说 平 面惟 一. 引导 学生  要 完 整地 理解 和 运用 它 , 不能 用“ 只有 一个 平  面 ” 替“ 代 有且 只有一 个平 面” 教 学时 还应  .

教学时可结合实际生活经验进行解释 , 对中  心投影的其它性质不必介绍 , 也不必讨论物  体 的中心投影直观图的画法. 教学的重点是  斜投影画平面图形直观图的方法, 即斜二测 
画法 . 画直 观 图时 , 以取 /x0Y = 4。 可     5,  

突出公理 3 中的“ 不在同一条直线上” 这几个  字. 引导学生讨论 : 分别经过三点、 四点能确 
定平 面吗? 为什么?   三个推论都是由公理 3演变而成的, 教 

也可以取 /XOy 一 15.  '  3。教材给出了圆的 
直 观 图画法. 学 时 可 以适 当延 伸 , 教 讨论 圆  

学 时可引导学生猜想结论并进行证明. 推论  1 是学生学习立体几何以来遇到的第一个需  要论证的命题 , 教学时应注重分析证明的思  路及论证的依据, 并指出证明的过程包括存  在性与惟一性两部分. 另外两个推论也可以  

柱、 圆锥、 圆台、 球的直观图画法.  
§ .  点 、 面 之间的位置关 系 32 线、   () 面的基本性质  1平

平面是一个原始的概念 , 教材只对它进 

行描述而不加定义, 教学中可以借助上一节  所研究的柱体表面、 圆柱的底面来描述 ,   如图 1但这种直观教学容易使学生错误地认为平  .
面是有边界的. 为此, 可以将平面和直线进行  类 比, 用直线的无限延伸来帮助学生理解平 
面 的无 限延展性 . 用直线 没有粗 细来 帮助学  生 理 解平 面没有厚 薄. 还可 以引导学生 讨论 

作类似的分析. 在推理的过程中, 应用了符号  语言 , 意在帮助学生尽快熟悉和应用它. 在进  行 三个推论的教学时, 还可以结合生活中的   实际问题说明它们的广泛应用.   () 2 空间两条直线的位置关系  教材首先设置问题情景, 然后借助长方  体的棱所在直线以及机械蜗杆和蜗轮的轴线  的位置关系, 引出异面直线的概念. 教学时可 

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引导学生分析两条直线位置关系的分类标  准, 进而得出两条直线的三种位置关系.  
教材通过提出问题: 平面几何中“ 平行的   传递性”能否推广到空间? 引导学生运用类 

也 符合 学生 的认 知规律. 外还应 引导学 生  此 观察 图形 , 直线 与平 面平 行 的性质 定理 ” 对“   用 符号语言表示 .  
直线与平面垂直 

比, 并借助长方体和圆柱模型让学生通过观  察来感受和理解空间中“ 平行的传递性”   即 公理 4第 2 . 5页例 1 是公理 4的一个简单应 
用, 同时也为“ 等角定理”的证明作了铺垫.   证明“ 等角定理”的关键是引导学生构造两  个全等三角形 , 通过分析让学生明白, 将空间   问题化归为平面问题是处理空间问题的基本  策略.  
“ 过平面 内一 点与平面外一点的直线 , 和 

教材通过观察、 探索圆锥的轴与底面任 


半径 之间的关 系 , 出圆锥的轴与底 面任  得



条直线都垂直, 从而引出直线与平面垂直  根据直线与平面垂直的定义, 帮助学生 

的概 念.   进 一步理解 正投影概念.投影方向正对 着投  “ 影 面” 就是 “ 投影方 向垂 直于投影 面” 即“ , 投  影方 向垂 直 于 投 影 面”的平 行 投 影 叫 正 投  影 , 叫斜投影. 否则  

这个平面内不经过该点的直线是异面直线”   可以作为判断两条直线“ 异面” 的依据. 教材 
上是用反 证法证 明的, 教学时应通过分析 ,   引 导学生 理解反 证法 的“ 反设 ” 归谬 ”进而  与“ ,

教材通过生活中的实例, 引入“ 直线与平  面垂直的判定定理”教学时必须让学生初步  , 理解 :折痕” “ 之所 以垂直 于桌 面 , 因为“ 是 折  痕” 垂直于紧靠 桌面的矩形一边所形成 的  “ 折线”“ ;旗杆” 垂直于地面( 水平面) 是因为  “ 旗杆” 垂直于两条相交的“ 水平线” .   关于直线与平面垂直的性质定理 的证  明, 教材采用反证法 , 学生理解会有一定的困 
难 , 时注意引导学生理解反证法 的反设 、 教学   归谬, 进而 得 出正确 的结 论. 明中用 到“ 证 如 

得到正确的结论.   关于两条异面直线所成角的度量问题,   将 在“ 空间向量与立体几何”中作深入的研 
究 , 段教 材 中编写例题 的 目的是为 了巩 固  这 异面直线所 成角 的概念. 在教学 中, 研究异 面 

直线所成角的问题时不必拓宽加深.   () 3 直线与平面的位置关系 

果两条平行直线 中的一条垂直于一个平面,   那么另一条也垂直于这个平面”和“ 过一点  有且 只有一条直线与 已知平面垂直”的事 
实.  

教材借助长方体模型, 观察长方体的棱、   对 角线和长方体的面的位置关系, 讨论直线  与 平面位置关系的分类标准, 进而得出直线 
与平 面的三种位 置关系. 学生对“ 直线在平面  外”这 一关 系理 解 上容 易 出错 , 教学 中要 特  别提 醒学生注意.  
直 线与平面 平行 

垂直是直线与平面相交的特例, 为了使 

教材借助长方体模型, 让学生感受:如 “  果平面外一条直线与这个平面内的一条直线  平行, 那么这条直线 和这个平面没有公共  点. 教学时要使学生理解, ” 平面可以看作一  条直线沿着另一条直线平移而得, 有条件的 
可以观看电脑动画演示 , 并给出“ 直线与平面  平行判定定理”的符号表示.   教材通过设问, 引导学生讨论: 直线与平  面平行时, 直线与平面内任一条直线的位置  关系, 然后通过 区分“ 异面与平行”引出“ 直 
线 与平面 平行 的性 质定 理”这 样 比较 自然 , ,  

学生了解直线与平面“ 斜交” 程度”教材  的“ , 引入直线与平面所成的角 , 同时也从“ 逻辑”   上给学生“ 直线与平面位置关系”一个完整  体 系. 教学时只须让学生明白引入直线 与平  面 所成的角的概念即可, 关于它的度量问题  将在“ 空间向量与立体几何” 中作深入研究.   第3 6页例 3 是直线与平面垂直判定定 
理 的 一个 应用 , 也称 “ 三垂 线定 理” 是证 明 ,  

线、 线垂直的一个典型范例. 教学时要引导学 
生 归纳 , 明线 、 垂直有 哪些方法 ? 证 线 让学生 

初步体会到, 证明线、 线垂直可以转化为证明   线、 面垂直 , 证明线、 面垂直也可以转化为证 
明线 、 线垂直 .   ( 未完待 续)  


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