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2016-2017学年山东省济南外国语学校高二(上)期末数学试卷(理科)


2016-2017 学年山东省济南外国语学校高二(上)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)下列各点中,不在 x+y﹣1≤0 表示的平面区域内的点是( A. (0,0) B. (﹣1,1) C. (﹣1,3) D. (2,﹣3) 2. (5 分) 若△ABC 的三个内角满足 sinA: sinB: sinC=5: 11: 13, 则△ABC ( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 3. (5 分)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( A.5 B.6 C.8 D.10 ) ) . ) )

4. (5 分)在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的( A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) 若实数 k 满足 0<k<9, 则曲线 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 ﹣ =1 与曲线 ﹣ =1 的 ( )

C.实半轴长相等

D.焦距相等 ) <b< D.

6. (5 分)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( A.a<b< <a< <b < B.a< < <b C.a<

7. (5 分)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不 必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.¬p∧¬q )

C.¬p∧q D.p∧¬q ) )

8. (5 分)抛物线 y=ax2(a≠0)的焦点坐标为( A. (0, )或(0,﹣ ) B. (0, )或(0,﹣

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C.

D. (x>2) ,在 x=a 处取最小值,则 a=( D.4 +1<0,且该数列的前 n 项和 Sn 有最大 ) )

9. (5 分)若函数 f(x)=x+ A.1+ B.1+ C.3

10. (5 分)已知等差数列{an}中,有 值,则使得 Sn>0 成立的 n 的最大值为( A.11 B.19 C.20 D.21

二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)双曲线 的焦点是 ;离心率为 ;渐近线为 , b= .

12. (5 分) △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 c= 则 a= .

, B=120°,

13. (5 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30, 则其公差为 . 的最小值为 .

14. (5 分)已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1.则 15. (5 分)设双曲线 b)两点,已知原点到直线 l 的距离为

的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) , (0, ,则双曲线的离心率为 .

三、解答题: (共 75 分) 16. (12 分) 写出命题: “若 x+y=5 则 x=3 且 y=2”的逆命题、 否命题、 逆否命题, 并判断它们的真假. 17. (12 分) 已知等差数列{an}满足: a1+a4=4, a2?a3=3 且{an}的前 n 项和为 Sn. 求 an 及 Sn. 18. (12 分)在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的三条边分别是 a,b,c,且 . (1)求角 B 的大小;
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(2)若

,求△ABC 的面积.

19. (12 分) 求满足下列条件的抛物线的标准方程, 并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(﹣3,2) ; (2)焦点在直线 x﹣2y﹣4=0 上. 20. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a= ,an=﹣2Sn?Sn﹣1, (n≥2) . (1)数列{ }是否为等差数列,证明你的结论;

(2)求 Sn,an; (3)求证:S +S +S +…S < ﹣ . ,短轴一个端点

21. (14 分)已知椭圆 C: 到右焦点的距离为 .

(a>b>0)的离心率为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 面积的最大值. ,求

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2016-2017 学年山东省济南外国语学校高二(上)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2016 秋?市中区校级期末)下列各点中,不在 x+y﹣1≤0 表示的平面 区域内的点是( )

A. (0,0) B. (﹣1,1) C. (﹣1,3) D. (2,﹣3) 【分析】分别把 A,B,C,D 四个点的坐标代入不等式 x+y﹣1≤06 进行判断, 能够求出结果. 【解答】解:把(0,0)代入不等式 x+y﹣1≤0,得 0﹣1≤0,成立, ∴点 A 在不等式 x+y﹣1≤0 表示的平面区域内; 把(﹣1,1)代入不等式 x+y﹣1≤0,得﹣1+1﹣1≤0,成立, ∴点 B 在不等式 x+y﹣1≤0 表示的平面区域内; 把(﹣1,3)代入不等式 x+y﹣1≤0,得﹣1+3﹣1≤0,不成立, ∴点 C 不在不等式 x+y﹣1≤0 表示的平面区域内; 把(2,﹣3)代入不等式 x+y﹣1≤0,得 2﹣3﹣1≤0,成立, ∴点 D 在不等式 x+y﹣1≤0 表示的平面区域内. 故选 C. 【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用,是基础题.解题时 要认真审题,仔细解答.

2. (5 分) (2010?上海)若△ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13, 则△ABC( )

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 【分析】先根据正弦定理及题设,推断 a:b:c=5:11:13,再通过余弦定理求
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得 cosC 的值小于零,推断 C 为钝角. 【解答】解:∵根据正弦定理, 又 sinA:sinB:sinC=5:11:13 ∴a:b:c=5:11:13, 设 a=5t,b=11t,c=13t(t≠0) ∵c2=a2+b2﹣2abcosC ∴cosC= ∴角 C 为钝角. 故选 C 【点评】本题主要考查余弦定理的应用.注意与正弦定理的巧妙结合. = =﹣ <0

3. (5 分) (2010?重庆)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( A.5 B.6 C.8 D.10

) .

【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用,用 【解答】解:由等差数列的性质得 a1+a9=2a5, ∴a5=5. 故选 A

求出结果.

【点评】给出等差数列的两项,若两项中间有奇数个项,则可求出这两项的等差 中项,等比数列也有这样的性质,等比中项的求解时注意有正负两个结果.

4. (5 分) (2014?陕西一模)在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的( A.充要条件 B.必要不充分条件



C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由正弦定理知 亦然,故可得结论. 【解答】解:由正弦定理知 ∵sinA>sinB, ∴a>b,
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,由 sinA>sinB,知 a>b,所以 A>B,反之

=2R,

∴A>B. 反之,∵A>B,∴a>b, ∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB 故选 A. 【点评】本题以三角形为载体,考查四种条件,解题的关键是正确运用正弦定理 及变形.

5. (5 分) (2016 秋?市中区校级期末)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线



=1 与曲线



=1 的(

) C.实半轴长相等 D.焦距相等

A.离心率相等 B.虚半轴长相等

【分析】根据 k 的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及 a,b,c 的大小关 系即可得到结论. 【解答】解:当 0<k<9,则 0<9﹣k<9,16<25﹣k<25 曲线 ﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,其中 a2=25,b2=9﹣k,c2=34﹣k,

曲线



=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, 其中 a2=25﹣k, b2=9, c2=34﹣k,

即两个双曲线的焦距相等, 故选:D. 【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断 a,b,c 是 解决本题的关键.

6. (5 分) (2016 春?德州期末)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( A.a<b< <a< <b < B.a< < <b C.a< <b< D.



【分析】举特值计算,排除选项可得.

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【解答】解:取 a=1 且 b=4,计算可得 选项 A、B、D 均矛盾,B 符合题意, 故选:B

=2,

= ,

【点评】本题考查特值法比较式子的大小,属基础题.

7. (5 分) (2016?吉林校级模拟)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0;q:“x >1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q )

【分析】由命题 p,找到 x 的范围是 x∈R,判断 p 为真命题.而 q:“x>1”是“x >2”的充分不必要条件是假命题,然后根据复合命题的判断方法解答. 【解答】解:因为命题 p 对任意 x∈R,总有 2x>0,根据指数函数的性质判断是 真命题; 命题 q:“x>1”不能推出“x>2”;但是“x>2”能推出“x>1”所以:“x>1”是“x>2” 的必要不充分条件,故 q 是假命题; 所以 p∧¬q 为真命题; 故选 D; 【点评】判断复合命题的真假,要先判断每一个命题的真假,然后做出判断.

8. (5 分) (2016 秋?市中区校级期末) 抛物线 y=ax2 (a≠0) 的焦点坐标为 ( A. (0, )或(0,﹣ ) B. (0, C. D. )或(0,﹣ )



【分析】 先把抛物线方程整理成标准方程, 进而根据抛物线的性质可得焦点坐标. 【解答】解:当 a>0 时,抛物线方程得 x2= y,抛物线的焦点在 x 轴正半轴, 即 p= ,

由抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为(0, ) , 所求焦点坐标为(0, ) . ) .

当 a<0 时,同理可知:焦点坐标为(0,

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综上可知:焦点坐标为(0, 故选:C.

) .

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质.属基础题.

9. (5 分) (2011?重庆)若函数 f(x)=x+ a=( A.1+ ) B.1+ C.3 D.4

(x>2) ,在 x=a 处取最小值,则

【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式,求得函数的最小值和此时 x 的 取值. 【解答】解:f(x)=x+ =x﹣2+ +2≥4

当 x﹣2=1 时,即 x=3 时等号成立. ∵x=a 处取最小值, ∴a=3 故选 C 【点评】 本题主要考查了基本不等式的应用. 考查了分析问题和解决问题的能力.

10. (5 分) (2014?蓟县校级模拟)已知等差数列{an}中,有 列的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 成立的 n 的最大值为( A.11 B.19 C.20 D.21 【分析】由题意可得 答案. 【解答】解:由 +1<0 可得 <0

+1<0,且该数 )

<0,公差 d<0,进而可得 S19>0,S20<0,可得

又∵数列的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴可得数列的公差 d<0, ∴a10>0,a11+a10<0,a11<0,
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∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0. ∴S19>0,S20<0 ∴使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19, 故选 B 【点评】本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用,属基础题.

二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2016 秋?市中区校级期末)双曲线 (0,﹣5) ;离心率为 ;渐近线为 y= x . 的焦点是 (0,5) ,

【分析】 利用双曲线方程直接求解双曲线的焦点坐标,离心率以及局限性方程即 可. 【解答】解:双曲线 5) , (0,﹣5) ; 离心率为:e= ; 渐近线方程为:y= x; x. ,可得 a=4,b=3,c=5,则双曲线的焦点是(0,

故答案为: (0,5) , (0,﹣5) ; ;y=

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基础题.

12. (5 分) (2008?陕西) △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 c= b= ,B=120°,则 a= .



【分析】由正弦定理求得 sinC 的值,进而求得 C,进而求得 A 推断 a=c,答案可 得. 【解答】解:由正弦定理 ∴ 故答案为
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【点评】本题主要考查了正弦定理得应用.属基础题.

13. (5 分) (2007?广州模拟)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30,则其公差为 3 .

【分析】由等差数列有 10 项,得到奇数项有 5 个,偶数项有 5 个,然后利用偶 数项减去奇数项,即第 2 项减第 1 项,第 4 项减去第三项,依此类推,因为第 2 项减第 1 项等于公差 d,所以偶数项减去奇数项等于 5d,由奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30,列出关于 d 的方程,求出方程的解即可得到 d 的值. 【解答】解:因为 30﹣15=(a2﹣a1)+(a4﹣a3)+…+(a10﹣a9)=5d, 所以 d=3. 故答案为:3 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道基础题.学生 做题时注意到奇数项、偶数项的重新组合.

14. (5 分) (2016 秋?市中区校级期末)已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1.则 的最小值为 9 .

【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】 解: ∵a>0, b>0,c>0,且 a+b+c=1.则 ×3× 故答案为:9. 【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. =9,当且仅当 a=b=c= 时取等号. =(a+b+c)

15. (5 分) (2010?抚顺模拟)设双曲线 l 过(a,0) , (0,b)两点,已知原点到直线 l 的距离为 率为 2 .

的半焦距为 c,直线 ,则双曲线的离心

【分析】 先求出直线 l 的方程, 利用原点到直线 l 的距离为
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,及又 c2=a2+b2,

求出离心率. 【解答】解:∵直线 l 过(a,0) , (0,b)两点,∴直线 l 的方程为: + =1, 即 bx+ay﹣ab=0, ∵原点到直线 l 的距离为 又 c2=a2+b2,∴a2+b2﹣ ∴a= ∴a= b 或 a= ,∴ ab=0,即(a﹣ = . b) (a﹣ b)=0;

b;又因为 b>a>0,

b,c=2a;

故离心率为 e= =2; 故答案为 2. 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.

三、解答题: (共 75 分) 16. (12 分) (2016 秋?市中区校级期末)写出命题:“若 x+y=5 则 x=3 且 y=2” 的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 【分析】首先根据逆命题、否命题、逆否命题的基本概念,分别写出原命题的逆 命题、否命题、逆否命题;然后根据等价命题的原理和规律,判断命题的真假即 可. 【解答】解:原命题是:若 x+y=5 则 x=3 且 y=2, 逆命题是:若 x=3 且 y=2 则 x+y=5 (真) ,

否命题是:若 x+y≠5 则 x≠3 或 y≠2(真) 逆否命题是:若 x≠3 或 y≠2 则 x+y≠5(假) 【点评】本题主要考查了四种命题的含义及其运用,属于基础题,解答此题的关 键是等价命题的原理和规律的运用.

17. (12 分) (2016 秋?市中区校级期末) 已知等差数列{an}满足: a1+a4=4, a2?a3=3 且{an}的前 n 项和为 Sn.求 an 及 Sn. 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项与公差,由此能求出
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an 及 Sn. 【解答】解:∵等差数列{an}满足:a1+a4=4,a2?a3=3 且{an}的前 n 项和为 Sn. ∴ ,

解得 a1=﹣1,d=2 或 a1=5,d=﹣2, 当 a1=﹣1,d=2 时,an=﹣1+(n﹣1)×2=2n﹣3,Sn= 当 a1=5,d=﹣2 时,an=5+(n﹣1)×(﹣2)=7﹣2n, =n2﹣2n; .

【点评】本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式的求法,是基础题,解题 时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.

18. (12 分) (2012 秋?宜春期末)在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的三条边 分别是 a,b,c,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ABC 的面积. .

【分析】 (1)利用正弦定理化简已知的表达式,结合两角和的正弦函数以及三角 形的内角,求出 B 的值即可. (2)通过余弦定理,以及 B 的值,a+c=4,求出 ac 的值,然后求出三角形的面 积. 【解答】解: (1)因为 所以 ∴2sinAcosB+sinA=0, ∵A∈(0,π) ,∴sinA≠0, 则 cosB=﹣ .B∈(0,π) ,∴B= . , 得:2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0

(2)由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB, ∵ ∴13=a2+c2+ac ∴(a+c)2﹣ac=13
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,B=



∴ac=3 ∴ .

【点评】本题是中档题,考查正弦定理、余弦定理,两角和的正弦函数,三角形 的面积公式的应用,考查计算能力.

19. (12 分) (2016 秋?市中区校级期末)求满足下列条件的抛物线的标准方程, 并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(﹣3,2) ; (2)焦点在直线 x﹣2y﹣4=0 上. 【分析】 (1)设所求的抛物线方程为 y2=﹣2px 或 x2=2py,把点(﹣3,2)代入 即可求得 p,则抛物线方程可得,根据抛物线的性质求得准线方程. (2)令 x=0,y=0 代入直线方程分别求得抛物线的焦点,进而分别求得 p,则抛 物线的方程可得.根据抛物线的性质求得准线方程. 【解答】解: (1)设所求的抛物线方程为 y2=﹣2px 或 x2=2py(p>0) , ∵过点(﹣3,2) , ∴4=﹣2p(﹣3)或 9=2p?2. ∴p= 或 p= . ∴所求的抛物线方程为 y2=﹣ x 或 x2= y,前者的准线方程是 x= ,后者的准线 方程是 y=﹣ . (2)令 x=0 得 y=﹣2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,﹣2) . 当焦点为(4,0)时, =4, ∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; 焦点为(0,﹣2)时, =2, ∴p=4,此时抛物线方程为 x2=﹣8y. ∴所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=﹣8y, 对应的准线方程分别是 x=﹣4,y=2.
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【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.从方程形式看,求抛物线的标准方 程仅需确定一个待定系数 p;从实际分析,一般需确定 p 和确定开口方向两个条 件,否则,应展开相应的讨论.

20. (13 分) (2016 秋?市中区校级期末)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a= , an=﹣2Sn?Sn﹣1, (n≥2) . (1)数列{ }是否为等差数列,证明你的结论;

(2)求 Sn,an; (3)求证:S +S +S +…S < ﹣ .

【分析】 (1)由已知数列递推式求出数列首项,得到当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ 2SnSn﹣1,可得 ,即数列{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列.

(2)求出(1)中的等差数列得通项公式,得到 Sn,再由已知数列递推式得 an; (3)求出 ,放缩后利用裂项相消法即可证得结论. }是公差为 2 的等差数列. , ;

【解答】 (1)解:数列{ 证明:由已知有

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2SnSn﹣1, ∴ ,即数列{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. , . , .

(2)解:由(1)得: 当 n≥2 时, 当 n=1 时,





(3)证明:当 n=1 时, 当 n≥2 时,

成立.

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= = 综上有 .





【点评】本题考查数列递推式,考查等差关系的确定,训练了利用放缩法及裂项 相消法证明数列不等式,属中档题.

21. (14 分) (2007?陕西)已知椭圆 C: 短轴一个端点到右焦点的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; .

(a>b>0)的离心率为



(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 面积的最大值.

,求

【分析】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,依题意求出 a,b 的值,从而得到所求椭圆 的方程. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由已知 , 得 . 把 y=kx+m 代入椭圆方程, 整理得 (3k2+1) . (2)当 AB

x2+6kmx+3m2﹣3=0,然后由根与系数的关系进行求解. 【解答】解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,依题意 程为 . ∴b=1,∴所求椭圆方

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, .

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由已知 ,得 .

把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
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∴|AB|2=(1+k2) (x2﹣x1)2 =

=

=

= = .

当且仅当

,即

时等号成立.当 k=0 时,



综 上 所 述 |AB|max=2 . ∴ 当 |AB| 最 大 时 , △ AOB 面 积 取 最 大 值 . 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,认真 审题,仔细解答.

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参与本试卷答题和审题的老师有: minqi5; zhwsd; 涨停; 刘长柏; lcb001; lincy; changq;铭灏 2016;qiss;sllwyn;沂蒙松;caoqz;刘老师;zlzhan;sxs123(排 名不分先后) 菁优网 2017 年 2 月 28 日

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