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湖北省武汉市新洲区一中2012-2013学年高二3月月考数学(文)试题


湖北省武汉市新洲区一中 2012-2013 学年高 二 3 月月考数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 编辑人:丁济亮 祝考试顺利!

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知函数 y=f(x)=x2+1, 则在 x=2,Δ

x=0.1 时,Δy 的值为( A.0.40 B.0.41 C.0.43 1 2.函数 y=4x2+ 的单调增区间为 ( ) x A.(0,+∞) 1 B.?2,+∞? ? ? ) D.0.44

1 C.(-∞,-1) D.?-∞,-2? ? ? ( ) B. 函数的极小值就是函数的最小值 D. 在闭区间上的连续函数一定存在最

3.下列说法正确的是 A. 函数的极大值就是函数的最大值 C. 函数的最值一定是极值 值

4.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是

5.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( A. -e B. -1 C. 1 D. e

)

6.已知函数 f(x)的定义域为[-1,1] ,图象过点(0,-5),它的导函数 f′(x)=4x3-4x,则当 f(x)取得最大值-5 时,x 的值应为( A. -1 7.设函数 f(x)= B. 0 ) C. 1 ) D. ± 1

1 x-lnx(x>0),则 y=f(x)( 3 1 A. 在区间( ,1),(1 ,e)内均有零点 e

1 ,1),(1,e )内均无零点 e 1 C. 在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 e 1 D. 在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 e
B. 在区间( 8.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4
[来源:Zxxk.Com]

)

9. 设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则 f2 013(x)等于( A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x ).
[来 K]

).

10.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f( 1) C.f(0)+f(2)≥2f(1)

B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)
11.一物体做直线运动的方程为 s ? 1 ? t ? t , s 的单位是 m, t 的单位是 s ,该物体在 3 秒
2

末的瞬时速度是



12.设生产 x 个单位产品的总成本函数是 C ( x) ? 8 ?

x2 ,则生产 8 个单位产品时,边际成 8


本是 。 13.过点(0,-4)与曲线 y=x3+x-2 相切的直线方程是
2

14 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x ) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为 f '(0)



a b c 15.设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a、b、c 是两两不等的常数),则 + + =________. f′?a? f′?b? f′?c?

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 并把解答写在答卷纸的相应位置上)
16. 设函数f(x)= 2 x ? 3(a ? 1) x ? 1, 其中a ? 1.
3 2

(1)求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)的极值。

17. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f (x) 上的点 P(1, f (1) ) 的切线方 程为 y ? 3x ? 1 (1)若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x)的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f (x) 在 [?3 , 1] 上最大值; (3)若函数 y ? f (x) 在区间 [?2, 1] 上单调递增,求 b 的取值范围
K]

18.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45° ,对于任意的 t∈[1,2], m 函数 g(x)=x3+x2?f′?x?+ 2 ?在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围. ? ?

19.如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x , 梯形面积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值.

D

C

4r A

2r

B

20.设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三 个不同实根,求实数 a 的取值范围; (3)已 知当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.已知 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A(s,f(s)), B(t,f(t)) (1)若 a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2) 若函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: 当|x|≤1 时, f ?( x) |≤ 有| 的解析表达式; (3)若 0<a<b, 函数 f ( x) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 ,证明: OA 与

3 恒成立, 求函数 f ( x) 2

OB 不可能垂直.

当 a ? 1 时, f ' ( x ) ? 6 x ? x ? ? a ? 1? ? , f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: ? ?

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,0)
+

0 0 极大值

(0, a ? 1)
?

a ?1
0 极小值

(a ?1, ??)

?
?

?

?

? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f ?(?2) ? 0 ? ?4a ? b ? ?12??(3) 由(1)( 2)(3)相联立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 (2) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4 x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2)

x
f ?(x) f (x)

[?3,?2)
[来 XXK]

-2 0 极大
3 2

+

2 (?2, ) 3 -

2 3 0

2 ( ,1] 3 +

极小

f ( x) 极大 ? f (?2) ? (?2) ? 2(?2) ? 4(?2) ? 5 ? 13

? ?g′?1<0, ? ∴?g′?2<0, ?g′?3>0, ?

37 ∴- 3 <m<-9.

19. 解: (I)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy (如图) ,

当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2.

(2)由(1)的分析知 y=f(x)的图像的大致形状及走向如图 所示,当 5-4 2<a<5+4 2 时,直线 y=a 与 y=f(x)的图像有三个不同交点,即方程 f(x)=a 有三个不同的解. (3)f(x)≥k(x-1),即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1). 因为 x>1,所以 k≤x2+x-5 在(1,+∞)上恒成立.


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