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向量与三角形内心、外心、重心、垂心


向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3) 内心——角平分线的交点 (内切圆的圆心) : 角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1) O

A ? OB ? OC ? 0 ? O 是 ?ABC 的重心. 证法 1:设 O( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 )

x ? x 2 ? x3 ? x? 1 ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? 0 ? 3 ?? OA ? OB ? OC ? 0 ? ? y ? y 2 ? y3 ?( y1 ? y) ? ( y 2 ? y) ? ( y3 ? y) ? 0 ?y ? 1 ? 3 ? O ? ABC 是 的重心 . ?
证法 2:如图
A

? OA ? OB ? OC ? OA ? 2OD ? 0 ? AO ? 2OD ? A、O、D 三点共线,且 O 分 AD
为 2:1 ? O 是 ?ABC 的重心
B

O

E

D

C

(2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ?ABC 的垂心. 证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.

OA? OB ? OB ? OC ? OB(OA ? OC) ? OB ? CA ? 0
? OB ? AC

A

E O

同理 OA ? BC , OC ? AB

? O 为 ?ABC 的垂心
(3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的内心

B

D

C

aOA ? bOB ? cOC ? 0 ? O 为 ?ABC 的内心.
AB AC 、 分别为 AB 、 AC 方向上的单位向量, c b AB AC 平分 ?BAC , ? ? c b bc AB AC ),令 ? ? ? ? AO ? ? ( a?b?c c b
证明:?

? AO ?

bc AB AC ( ) ? a?b?c c b 化简得 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0

? aOA ? bOB ? cOC ? 0
(4) OA ? OB ? OC ? O 为 ?ABC 的外心。 典型例题: 例 1 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 分析:如图所示 ?ABC , D、E 分别为边 BC、AC 的 中点. D.垂心
A



? AB ? AC ? 2 AD
E

? OP ? OA ? 2? AD
? OP ? OA ? AP ? AP ? 2? AD
? AP // AD
B D C

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,即选 C .
例 2: (03 全国理 4)O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( A.外心 分析:?

AB AB

?

AC AC

则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ( B ) ) ,? ? ?0,??? , C.重心 D.垂心

B.内心

AB

AC 分别为 AB 、 、 AC 方向上的单位向量, AB AC AC AC
平分 ?BAC ,

?

AB AB

?

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心,即选 B .
例 3 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB c o sB

?

AC AC c o s C

) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的



) A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心
A

分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.

(

AB AB cos B AB ? BC AB cos B

?

AC AC cosC AC ?BC

) ? BC
E

=

?

AC cosC
? AC BC cosC AC cosC

B

D

C

? AB BC cos B
=

AB cos B

= ? BC + BC =0

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心,即选 D .
练习: 1.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实 数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B. ) D.6 )

3 2

C.3

B C 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,OA ? OB ? OC ? 0 ,则 OA ? OB ? ( 2. 若 ?A
A.

1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3 . 点 O 在 ?ABC 内 部 且 满 足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 , 则 ?ABC 面 积 与 凹 四 边 形

ABOC 面积之比是(
A.0

) B.

3 2

C.

5 4

D.

4 3


4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ?ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2 2

5. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB

2

? CA ? OC ? AB ,则 O 是 ?ABC 的(
A.外心 B.内心

2

2

2

) D.垂心

C.重心

?ABC 的外接圆的圆心为 O, 6. 两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) ,

则实数 m = → → → → 1 AB AC AB AC → → → 7. (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则 → | |AC →| → | |AC →| 2 |AB |AB △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

8 .已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则

?ABC 为(

) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C


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