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高三数学专项训练:概率解答题(理科)


高三数学专项训练:概率解答题(理科)
1.某校高三 2 班有 48 名学生进行了一场投篮测试,其中男生 28 人,女生 20 人.为了 了解其投篮成绩,甲、乙两人分别对全班的学生进行编号(1~48 号) ,并以不同的方法 进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的 成绩大于或等于 80 分视为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的 样本数据:

(Ⅰ)从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩,记“抽到投篮成绩优秀”的人 . 数为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列 2×2 列联表,判断是否有 95%以上的把握 . 认为投篮成绩和性别有关?

(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说 明理由. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K ?

n(ad ? bc ) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

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2. 某数学老师对本校 2013 届高三学生的高考数学成绩按 1:200 进行分层抽样抽取了 20 名学生的成绩,并用茎叶图记录分数如图所示,但部分数据不小心丢失,同时得到 如下所示的频率分布表: 分 数 段 [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150) 总计 (分) 频数 b 频率 a 0.25

(1)求表中 a,b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生 数学成绩的及格率(分数在[90,150)内为及格) : (2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选 4 人, 设其中成绩在[100,110)内的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

3. (本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任 取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件 作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否 为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

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4.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行 5
测试,答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,得分最低为 0 分,至少 得 15 分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

5.一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的. (Ⅰ)从袋子中摸出 3 个球,求摸出的球为 2 个红球和 1 个白球的概率; (Ⅱ)从袋子中摸出两个球,其中白球的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

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6.某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以 下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字 为叶) :

(1)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福” ,求从这 16 人随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“极幸福”的人数,求 X 的分布列及数学期望.

7. 已知 A,B,C,D 四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为 A,b,C,D,把 A,B,C,D 和 A,b,C,D 分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用 4 条线把城市与旅游点全 部连接起来, 构成“一一对应”.规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”,否则称 为“连错”,连对一条得 2 分,连错一条得 0 分. (Ⅰ)求该旅游爱好者得 2 分的概率. (Ⅱ)求所得分数 ? 的分布列和数学期望.

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8.某旅游公司提供甲、乙、丙三处旅游景点,游客选择游玩哪个景点互不影响,已知 某游客选择游甲地而不选择游乙地和丙地的概率为 0.08,选择游甲地和乙地而不选择 游丙地的概率为 0.12,在甲、乙、丙三处旅游景点中至少选择游一个景点 0.88,用 ? 表 示游客在甲、 丙三处旅游景点中选择游玩的景点数和没有选择游玩的景点数的乘积. 乙、 (Ⅰ)记“函数 f ( x) ? x2 ? ? x 是 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (Ⅱ)求 ? 的概率分布列及数学期望.

9.某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广泛动员 三个月后,统计部 门在一个小区随机抽取了 100 户家庭, 分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均 用水量(单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示)
频率/组距
0.160
0.200

频率/组距

0.120 0.090 0.070 0.030 0.015

0.120 0.105

0.030 0.015

O

2

4

6

8

10

12

14

16用水量(吨)

O

2

4

6

8

10

12

14

用水量(吨)

动员前 动员后 (Ⅰ)已知该小区共有居民 10000 户,在政府进行节水动员前平均每月用水量是

8.96 ?104 吨,请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨;
(Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员前月均用 水量在 [12, 16)范围内的家庭中选出 5 户作为采访对象,其中在 [14, 16) 内的抽到 X 户,求 X 的分布列和期望

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10.我校社团联即将举行一届象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得1 分, 负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲与选手乙

2 ,且各局比赛胜负互不影响. 3 (Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率;
比赛时,甲每局获胜的概率皆为 (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

11.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别 为 ,

1 1 , p, 3 4 1 . 6

且他们是否破译出密码互不影响,若三人中只有甲破译出密码的概率为 (1)求 p 的值,

(2) 设在甲、 乙、 丙三人中破译出密码的总人数为 X, X 的分布列和数学期望 E 求 (X) .

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12.某高校在 2011 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所示.

(1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试. ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的 概率; ② 学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官的面试,设第 4 组中有 X 名学 生被考官面试,求 X 的分布列和数学期望.

13.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者 获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的分布列.

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14.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

15.小明参加完高考后,某日路过一家电子游戏室,注意到一台电子游戏机的规则是: 你可在 1,2,3,4,5,6 点中选一个,押上赌注 a 元。掷 3 枚骰子,如果所押的点数 出现 1 次、2 次、3 次,那么原来的赌注仍还给你,并且你还分别可以收到赌注的 1 倍、 2 倍、3 倍的奖励。如果所押的点数不出现,那么赌注就被庄家没收。 (1)求掷 3 枚骰子,至少出现 1 枚为 1 点的概率; (2)如果小明准备尝试一次,请你计算一下他获利的期望值,并给小明一个正确的建 议。

16.其市有小型超市 72 个,中型超市 24 个,大型超市 12 个,现采用分层抽样方法抽 取 9 个超市对其销售商品质量进行调查. (I)求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数; (II)若从抽取的 9 个超市中随机抽取 3 个做进一步跟踪分析,记随机变量 X 为抽取的 小型超市的个数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X) .

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17.在一次数学考试中,第 22,23,24 题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选 做一题,设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响. (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率; (2)设选做第 23 题的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

1 ,每位学生对每题的选择是 3

18.为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取各 10 件样品, 测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量数据的茎叶图:

规定:当产品中的此种元素含量不小于 18 毫克时,该产品为优等品. (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (2)从乙厂抽出的上述 10 件样品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件样品中优等品数 ? 的分布列及其数学期望 E (? ) ; (3)从甲厂的 10 件样品中有放回的随机抽取 3 件,也从乙厂的 10 件样品中有放回的 随机抽取 3 件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率.

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19.从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成绩得到频率分 布直方图如下:

(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分; (Ⅱ)以上述样本的频率作为概率,从该校高三学生中有放回地抽取 3 人,记抽取的学 生成绩不低于 90 分的人数为 X ,求 X 的分布列和期望.

20.有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规 则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位,第二排取 的字符放在第二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同 的次序排列组成. 第一排 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 M 1 B 12 F 22 N 2 C 13 G 23 P 3 D 14 H 24 Q 4

设随机变量 ξ 表示密码中不同数字的个数. (1)求 P(?=2) ; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

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21.为了了解某班的男女生学习体育的情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女生作为样本, 他们期末体育成绩的茎叶图如图所示, 其中茎为十位数, 叶为个位数。 女生 2 8 4 4 男生 6 0 7 9 8 x 9 0

2 8 1

4

7

2

8

(Ⅰ)若该班男女生平均分数相等,求 x 的值; (Ⅱ)若规定 85 分以上为优秀,在该 10 名男生中随机抽取 2 名,优秀的人数记为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望.

22.甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

1 ,乙,丙做对的概率分 2

别为 m , n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题 的人数,其分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

a

b

1 24

(Ⅰ)求至少有一位学生做对该题的概率; (Ⅱ)求 m , n 的值; (Ⅲ)求 ? 的数学期望.

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23.现有 A,B 两球队进行友谊比赛,设 A 队在每局比赛中获胜的概率都是 (Ⅰ)若比赛 6 局,求 A 队至多获胜 4 局的概率; (Ⅱ)若采用“五局三胜”制,求比赛局数 ξ 的分布列和数学期望.

2 . 3

24.某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行 了测试,用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩(单位:cm,且均为整 数) ,同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图.跳高成绩在 185cm 以上(包括 185cm)定义为“优秀” ,由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运 动员中成绩在 190cm 以上(包括 190cm)的只有两个人,且均在甲队.

(Ⅰ)求甲、乙两队运动员的总人数 a 及乙队中成绩在[160,170) (单位:cm)内的运 动员人数 b; (Ⅱ)在甲、乙两队所有成绩在 180cm 以上的运动员中随机选取 2 人,已知至少有 1 人 成绩为“优秀” , 求两人成绩均“优秀”的概率; (Ⅲ)在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 2 人参加省中学生运 动会正式比赛, 求所选取运动员中来自甲队的人数 X 的分布列及期望.

试卷第 12 页,总 26 页

25. 一个袋子里装有 7 个球, 其中有红球 4 个, 编号分别为 1, 3, 2, 4; 白球 3 个, 编 号分别为 2,3,4. 从袋子中任取 4 个球 (假设取到任何一个球的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 个球中, 含有编号为 3 的球的概率; (Ⅱ) 在取出的 4 个球中, 红球编号的最大值设为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期 望.

26.某市统计局就本地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在 (单位:元) . [1000,1500) ,

(Ⅰ)估计居民月收入在 [1500, 2000) 的概率; (Ⅱ)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数; (Ⅲ)若将频率视为概率,从本地随机抽取 3 位居民(看做有放回的抽样) ,求月收入 在 [1500, 2000) 的居民数 X 的分布列和数学期望.

试卷第 13 页,总 26 页

27.在两个不同的口袋中,各装有大小、形状完全相同的 1 个红球、2 个黄球.现分别 从每一个口袋中各任取 2 个球,设随机变量 ? 为取得红球的个数. (Ⅰ)求 ? 的分布列; (Ⅱ)求 ? 的数学期望 E? .

28.某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有 A、B、C 三种软 件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽 取的样本人数如下表 班级 人数 一 3 二 2 三 3 四 4

(1)从这 12 人中随机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率. (2)从这 12 名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择 A、B 两个软件学习的概率每个都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互独立 6

的.设这三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

试卷第 14 页,总 26 页

29.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市 购物的 50 位顾客的相关数据,如下表所示: 一次购物量 n (件) 1≤n≤3 顾客数(人) 4≤n≤6 20 1 7≤n≤9 10 1.5 10≤n≤12 5 2 n≥13

x

y
2.5

结算时间 (分钟/人) 0.5

已知这 50 位顾客中一次购物量少于 10 件的顾客占 80%. (1)确定 x 与 y 的值; (2)若将频率视为概率,求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (3)在(2)的条件下,若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的 结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过 2 分钟的概率. ...

30.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可 入肺颗粒物。我 国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空 即 ~ 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/ 气质量为一级;在 35 微克/立方米 立方米以上空气质量为超标. 某试点城市环保局从该市市区 2011 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的 数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)

(I)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一 级的概率; (II)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数, 求 ? 的分布列; (III) 以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况, 则一年 (按 360 天计算) 中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.
试卷第 15 页,总 26 页

31.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四 门课程, 要求初等代数、 初等几何都要合格, 且初等数论和微积分初步至少有一门合格, 则能取得参加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训, 每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同, (见下表) ,且 每一门课程是否合格相互独立, 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步

合格的概率

3 4

2 3

2 3

1 2

(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (2)记 ? 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ? 的分布列及期望

E? .

32. (12 分)一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1、2、 3、4,现从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次从中随机抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于或等于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次随机抽取 1 张卡片,放回后再随机抽取 1 张卡片,求两次抽取的卡片中至 ... 少一次抽到数字 2 的概率.

试卷第 16 页,总 26 页

33.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分 别抽取 12 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 76 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共 84 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175 且 y≥75,该产品为优等品, ①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; ②从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分 布列及其期望.

34.某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究,对该校高二年 级 800 名学生上学期期末语文和外语成绩,按优秀和不优秀分类得结果:语文和外语都 优秀的有 60 人,语文成绩优秀但外语不优秀的有 140 人,外语成绩优秀但语文不优秀 的有 100 人. (Ⅰ) 能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关 系? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校高二年级学生成绩中,有放回地随机 抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中语文,外语两科成绩至少有一科优秀的个 数为 X ,求 X 的分布列和期望 E(x).

p( K 2 ? k0 )

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

K2 ?
附:

n(ad ? bc ) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )

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35. 2013 年 2 月 20 日, 针对房价过高, 国务院常务会议确定五条措施(简称 “国五条” 为 ). 此, 记者对某城市的工薪阶层关于 “国五条” 态度进行了调查, 随机抽取了 60 人, 作出了 他们的月收入的频率分布直方图(如图), 同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞 成人数统计表(如下表):

月收入(百元) 赞成人数 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 8 7 10 6 2 1

(I)试根据频率分布直方图估计这 60 人的平均月收入; (Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取 3 人进 行追踪调查, 记选中的 6 人中不赞成 “国五条” 的人数为 X, 求随机变量 X 的分布列及数 学期望.

试卷第 18 页,总 26 页

36.南昌市为增强市民的交通安全意识,面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路 口协助交警维持交通,把符合条件的 1000 名志愿者按年龄分组:第 1 组 ?20,25 ? 、第 2 组 ?25,30 ? 、第 3 组 ?30 ,35 ? 、第 4 组 ?35,40 ? 、第 5 组 ?40,45 ? ,得到的频率分布直方图 如图所示:

(1)若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者在五一节这天到广场协助 交警维持交通,应从第 3、4、5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,南昌市决定在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者到学校宣 讲交通安全知识,若 ? 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求 ? 的分布列和数学期 望.

试卷第 19 页,总 26 页

37.某班同学在“十八大”期间进行社会实践活动,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行 了一次当前投资生活方式----“房地产投资”的调查, 得到如下统计和各年龄段人数频率分 ....... 布直方图: (Ⅰ)求 n,a,p 的值; (Ⅱ)从年龄在[40,50)岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取 9 人参加投资管理 学习活动,其中选取 3 人作为代表发言,记选取的 3 名代表中年龄在[40,45)岁的人数为 X ,求 X 的分布列和期望 EX .
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
年龄(岁) 频率/组距

25 30 35 40 45 50 55

试卷第 20 页,总 26 页

38.甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数都稳定在 7、8、9、10 环, 且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如下:

若将频率视为概率,回答下列问题: (1)求表中 x,y,z 的值及甲运动员击中 10 环的概率; (2)求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (3)若甲运动员射击 2 次,乙运动员射击 1 次,? 表示这 3 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数,求 ? 的分布列及 E? .

试卷第 21 页,总 26 页

39.2012 年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用 电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间在 (0,170] ,第二类在 (170, 260] ,第三类 在 (260, ??) (单位:千瓦时). 某小区共有 1000 户居民,现对他们的用电情况进行 调查,得到频率分布直方图如图所示.
频率/组距
0.020

0.015

0.005 0.003 0.002 0

110

130

150

170

190

210

230

月用电量

⑴ 求该小区居民用电量的中位数与平均数; ⑵ 利用分层抽样的方法从该小区内选出 10 位居民代表,若从该 10 户居民代表中任选 两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率; ⑶ 若该小区长期保持着这一用电消耗水平, 电力部门为鼓励其节约用电, 连续 10 个月, 每个月从该小区居民中随机抽取 1 户, 若取到的是第一类居民, 则发放礼品一份, X 设 为获奖户数,求 X 的数学期望 E ( X ) 与方差 D( X ) .

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40.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民 的态度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据:

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯 的概率的差是多少? (Ⅱ) 若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚, 在两个路口进行试验. 求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望.

41.某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞 赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进 行统计. 请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图所示) 解决下列问题: 频率分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频率分布直方图 频数 8 a 20 ▓ 2 ▓ 频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

、 (Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同 学到广场参加环保知识的志愿宣传活动, ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人 设

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数,求 ? 的分布列及其数学期望. 42.今年我国部分省市出现了人感染 H7N9 禽流感确诊病例,各地家禽市场受其影响生 意冷清. 市虽未发现 H7N9 疑似病例, A 但经抽样有 20%的市民表示还会购买本地家禽. 现 将频率视为概率,解决下列问题: (Ⅰ)从该市市民中随机抽取 3 位,求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率; (Ⅱ)从该市市民中随机抽取 X 位,若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民,或 ....... 抽取的人数达到 4 位,则停止抽取,求 X 的分布列及数学期望. 43.一次高中数学期末考试,选择题共有 12 个,每个选择题给出了四个选项,在给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 评分标准规定:对于每个选择题,不选或 多选或错选得 0 分, 选对得 5 分. 在这次考试的选择题部分, 某考生比较熟悉其中的 8 个 题,该考生做对了这 8 个题.其余 4 个题,有一个题,因全然不理解题意,该考生在给 出的四个选项中,随机选了一个;有一个题给出的四个选项,可判断有一个选项不符合 题目要求,该考生在剩下的三个选项中,随机选了一个;还有两个题,每个题给出的四 个选项,可判断有两个选项不符合题目要求,对于这两个题,该考生都是在剩下的两个 选项中,随机选了一个选项.请你根据上述信息,解决下列问题: (Ⅰ)在这次考试中,求该考生选择题部分得 60 分的概率; (Ⅱ)在这次考试中,设该考生选择题部分的得分为 X ,求 X 的数学期望. 44.一个口袋中装有 2 个白球和 n 个红球( n ? 2 且 n ? N ? ) ,每次从袋中摸出两个球 (每次摸球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (Ⅰ) 摸球一次,若中奖概率为

1 ,求 n 的值; 3

(Ⅱ) 若 n ? 3 ,摸球三次,记中奖的次数为 ? ,试写出 ? 的分布列并求其期望. 45.某经销商试销 A、B 两种商品一个月(30 天)的记录如下: 0 1 2 3 日销售量(件) 商品 A 的频数 商品 B 的频数 3 4 5 4 7 6 7 8

4 5 5

5 3 3

若售出每种商品 1 件均获利 40 元, X , Y 表示售出 A、 商品的日利润值 用 B (单位: . 元)将 频率视为概率. (Ⅰ)设两种商品的销售量互不影响,求两种商品日获利值均超过 100 元的概率; (Ⅱ)由于某种原因,该商家决定只选择经销 A、B 商品的一种,你认为应选择哪种商 品,说明理由. 46.为了调査某大学学生在某天上网的时间,随机对 lOO 名男生和 100 名女生进行了不 记名的问卷调查.得到了如下的统计结果: 表 l:男生上网时间与频数分布表

表 2:女生上网时间与频数分布表

(I)从这 100 名男生中任意选出 3 人,其中恰有 1 人上网时间少于 60 分钟的概率;
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(II)完成下面的 2X2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有 关”? 表 3:

? 附:

47.某种报纸,进货商当天以每份进价 1 元从报社购进,以每份售价 2 元售出。若当天 卖不完,剩余报纸报社以每份 0.5 元的价格回收。根据市场统计,得到这个季节的日销 售量 X (单位:份)的频率分布直方图(如图所示) ,将频率视为概率。

(Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)若进货量为 n (单位:份) ,当 n ? X 时,求利润 Y 的表达式; (Ⅲ)若当天进货量 n ? 400 ,求利润 Y 的分布列和数学期望 E (Y ) (统计方法中,同 一组数据常用该组区间的中点值作为代表) . 48.一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球 (n ? 2, 且 n ? N ) ,每次从袋中摸出两个球(每 次摸球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (Ⅰ)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 p ; (Ⅱ)若 n ? 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (Ⅲ)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ( p) ,当 n 为何值时, f ( p) 取最大值. 49.某校 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数 统计结果见下表: 答对题目个数 人数 0 5 1 10 2 20 3 15
?

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率;
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(Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求 随机变量 X 的分布列及数学期望 EX. 50.已知正方形 ABCD 的边长为 2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的 中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ?

2 的概率;

(2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之 间的距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

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高三数学专项训练:概率解答题(理科)
参考答案 1. (Ⅰ) X 的分布列为 0 X
P
5 33

1
35 66

2
7 22

E( X ) ? 0 ?

5 35 7 7 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6

(Ⅱ) 2 ? 2 列联表: 优秀 男[来源: 学+科+网 Z+X+X+K] 女 合计 6 1 7 非优秀 1 4 5 合计 7 5 12

有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. (Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样.投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看 出投篮成绩与性别有明显差异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由“抽到投篮成绩优秀”的人数为 X,其所有可能取值为 0,1, 2 . 计算可得相应概率,得到 X 的分布列为 0 1 X
P
5 33 35 66

2
7 22

计算得到数学期望 E ( X ) ? 0 ?

5 35 7 7 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6

(Ⅱ)由乙抽取的样本数据,得到 2 ? 2 列联表,应用“卡方公式”计算“卡方”并与临界 值表对照,得出结论. (Ⅲ)对照系统抽样、分层抽样的定义.确定抽样方法,由(Ⅱ)的结论,并且从样本数据 能看出投篮成绩与性别有明显差异,得到结论. 试题解析: (Ⅰ)由甲抽取的样本数据可知,投篮成绩优秀的有 7 人,投篮成绩不优秀的有 5 人. X 的所有可能取值为 0,1, 2 . 所以 P( X ? 0) ? 1分

2 C5 C1 C1 35 C2 21 7 5 ? ? , P( X ? 1) ? 7 2 5 ? , P( X ? 2) ? 27 ? . 4分 2 C12 33 C12 66 C12 66 22

故 X 的分布列为 0 X

1

2

答案第 1 页,总 37 页

P

5 33

35 66

7 22

5分 ∴ E( X ) ? 0 ?
5 35 7 7 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6

6分

(Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2 ? 2 列联表如下: 优秀 男[来源: 学+科+网 Z+X+X+K] 女 合计 7分 6 1 7 非优秀 1 4 5 合计 7 5 12

K 2 的观测值 k ?

12(6 ? 4 ? 1 ? 1)2 ? 5.182 ? 3.841, 7 ?5?5?7

9分

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. 10 分 (Ⅲ)甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. 11 分 由(Ⅱ)的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差 异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. 13 分 考点:1、随机变量的分布列及数学期望,2、抽样方法, 3、 “卡方公式”的应用. 2. (1)a=0.1,b=3;4;65%. (2)分布列为 X 1 2 3 4 4 18 12 1 P

35

35

35

35

E(X)=2.2 【解析】 试题分析: (1)由[50,70)范围的频数,计算出该范围内的频率 a,首先计算出[70,90)范围 内的频数,然后得出[80,90),即可求出[90,100)范围内的学生人数,计算出[90,100)范围 内的学生人数,然后除以 20 就是及格率.(2)写出随机变量 X 的所有可能取值,然后计算 出相应的概率,列表即可的分布列,最后根据期望值公式计算期望值即可. 试题解析: (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130) 范围内的有 3 人, ∴a=

2 ? 0.1, b=3;分数在[70,90)内的人数 20×0.25=5,结合茎叶图可得分数在[70,80) 20 13 ×100%=65%. 20
1 C4C33 4 = ; C74 35

内的人数为 2,所以分数在[90,100)范围内的学生人数为 4,故数学成绩及格的学生为 13 人,所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为

(2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有 7 人,分数在[100,110)范围内的有 4 人, 则 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1,2,3,4. 相 应 的 概 率 为 : P(X=1)=

答案第 2 页,总 37 页

P(X=2)=

2 C 3C 1 12 C4 C32 18 C 4C 0 1 = ;P(X=3)= 4 4 3 = ;P(X=4)= 4 4 3 = . C7 C74 C7 35 35 35

随机变量 X 的分布列为 X 1 P 4

2

3

4

35 4 18 12 1 E(X)=1× +2× +3× +4× =2.2 35 35 35 35
1 2

18 35

12 35

1 35

考点:1.茎叶图的含义以及频率和频数的计算;2.随机变量的分布列和数学期望.
3 3. (1)记该批产品通过检验为事件 A;则 P ( A) ? C4 ( ) 4 ? ?

?1? ?1? ? ?? ? ?2? ?2?

4

4

?1? 3 ; ? ?? ? ? 2 ? 64

(2)X 的可能取值为 400、500、800;

P( X ? 400) ? 1 ?
X P

4 1 11 1 1 ? ? , P( X ? 500) ? , P( X ? 800) ? ,则 X 的分布列为 16 16 16 16 4
400 500 800

11 16

1 16

1 4

E ( x) ? 506.25
【解析】 (1)利用相互独立事件模型计算概率; (2)在(1)的基础上,利用对立事件算出 X 为 400、500、800 时的概率,进而列出分布列,求出期望. 【学科网考点定位】本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望, 考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力. 4. (Ⅰ) x 的分布列为

x

0

15

30

P

1 2

5 12

1 12

Ex =

35 103 ; (Ⅱ)甲、乙两人中至少有一人入选的概率 P = . 4 125

【解析】 试题分析: (Ⅰ)此题属于答错扣分问题,得分最低为零分,它包括两种情况,一种是三个 都答错,一种是三个答对一个,若三个答对两个,此时得分为 15 分,若三个答对三个,此 时得分为 30 分,故 x = 0,15,30 ,计算出各个概率,可得分布列,从而求出数学期望; (Ⅱ) 甲、乙两人中至少有一人入选,像这种至少有一问题,常常采用对立事件来解,即甲乙都没 入选,分别求出甲乙没入选的概率,从而求出甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 试题解析: Ⅰ) ( 设乙得分为 x , x = 0,15,30 , (x = 0) = 则 P
0 3 1 C5 C5 C5C52 1 5 1 + = + = , 3 3 C10 C10 12 12 2

答案第 3 页,总 37 页

P (x = 15) =

2 1 C5 C5 5 , C 3C 0 1 = P (x = 30) = 5 3 5 = 3 C10 12 C10 12

x 的分布列为

x

0

15

30

P

1 2

5 12

1 12

Ex = 0?

1 2

15?

5 12

30?

1 12

35 ; 4 54 27 81 , + = 125 125 125

(Ⅱ)设“甲入选”为事件 A, “乙入选”为事件 B,则 P ( A) =

P ( A) = 1-

C 2 C 1 C 3C 0 1 81 44 1 1 , P (B) = 5 3 5 + 5 3 5 = , P ( B) = 1= = ,所求概率 C10 C10 2 125 125 2 2

P = 1- P ( AB ) = 1- P ( A) P (B ) =

103 125

考点:本小题考查独立事件与对立事件的概率,分布列,数学期望,考查学生的分析问题、 解决问题的能力. 5.(Ⅰ) P ?

1 ;(Ⅱ)见解析. 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求出从袋中摸 3 个球的总事件数, 再求出摸到的球是 2 个红球 1 个白球的 事件数,做比值即可;(Ⅱ)先求出 ? 取相应值时对应的概率,再列出分布列求期望.
3 试题解析:解:(Ⅰ)从装有 10 个球的袋子中摸出 3 个球的事件总数为 C10 ? 120 , 2 1 其中摸出的三个球有 2 个红球 1 个白球的事件总数为 C6 C4 ? 60 ,

所以所求的概率为 P ?

60 1 ? ; 120 2

4分

2 (Ⅱ)从 10 个球的袋子里摸出 2 个球的事件总数为 C10 ? 45 ,

2 个球都不是白球的概率为 P ?? ? 0 ? ?

C62 15 1 ? ? , 2 C10 45 3
1 1 C6C4 24 8 ? ? , 2 C10 45 15

1 个白球 1 个红球的概率为 P ?? ? 1? ?

2 个都是白球的概率为 P ?? ? 2 ? ? 所以 ? 的分布列为:

2 C4 6 2 ? ? , 2 C10 45 15

8分

答案第 4 页,总 37 页

?
P

0
1 3 1 3

1
8 15 8 2 4 ? 2? ? 15 15 5

2
2 15
10 分 14 分

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1?

考点:1、等可能事件及其概率;2、随机变量的分布列与期望. 6. (1)

121 ; (2)分布列详见解析, 0.75 . 140

【解析】 试题分析:本题考查茎叶图的读法和期望及分布列问题,考查学生的分析能力和计算能力. 第一问, 至多有 1 人是 “极幸福” 包含 2 种情况: 1 人是 , 有 “极幸福” 有 0 人是 , “极幸福” , 这一问利用公式计算, 较简单; 第二问, 对事件进行分析是本问的关键, 先求出选 1 人为 “极 幸福”的概率

1 1 ,利用 ,利用二项分布计算出每种情况下的概率,这部分是关键,以下 4 4

的分布列和期望都需要用这些数. 试题解析: (1)设 A 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福” ,至多有 1 人是“极幸福”记为 事件 A , 所以 P ( A) ? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4C12 121 ? 3 ? . 3 C16 C16 140

(4 分)

(2) X 的可能取值为 0,1,2,3.

3 27 P( X ? 0) ? ( )3 ? 4 64 27 1 1 3 P( X ? 1) ? C3 ( )2 ? 4 4 64 1 3 9 P( X ? 2) ? C32 ( )2 ( )1 ? 4 4 64 1 1 P( X ? 3) ? ( )3 ? 4 64
分布列为

E( X ) ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 64 64 64 64

令解: X 的可能取值为 0,1,2,3.

1 1 3 X ? B(3, ), P( x ? k ) ? C3k ( ) k ( )3?k 4 4 4
分布列为

答案第 5 页,总 37 页

所以 E ( X ) ? 3 ?

1 ? 0.75 . 4

(12 分)

考点:1.茎叶图;2.分布列;3.二项分布. 7.(Ⅰ)

1 ;(Ⅱ) 2. 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)设答对题的个数为 y, 得分为ξ ,若 4 条线中连对 1 条, 则ξ 的取值为 2;(Ⅱ) 若 4 条线都连错,则ξ 的取值为 0;若 4 条线中连对 1 条,则ξ 的取值为 2;若 4 条线中连 对 2 条,则ξ 的取值为 4;若 4 条线中连对 4 条,则ξ 的取值为 8,然后分别求出ξ =0,2, 4,8 的概率,列出分布列,再利用期望公式代入计算即可. 试题解析:(Ⅰ)设答对题的个数为 y,得分为ξ ,若 4 条线中连对 1 条,则ξ 的取值为 2;

p?

1 C4 ? 2 1 = 4 A4 3

(Ⅱ)若 4 条线都连错,则ξ 的取值为 0;若 4 条线中连对 1 条,则ξ 的取值为 2;若 4 条线 中连对 2 条,则ξ 的取值为 4;若 4 条线中连对 4 条,则ξ 的取值为 8,则分别求出ξ =0,2, 4,8 的概率,列出分布列如下:

?
p 数学期望 E ? =2 .

0

2

4

8

3 8

1 3

1 4

1 24

考点:1、离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列 ;2、离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差 . 8. (Ⅰ)0.24; (Ⅱ) ? 的概率分布列为:

?
P 【解析】

0 0.24

2 0.76

其数学期望是: E(? ) ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52

试题分析: 根据独立事件的概率公式分别求出游客选择游玩甲、 丙景点的概率 P , P2 , P3 , 乙、 1 分别求出求事件 A 的概率和 ? 的概率分布列及数学期望. 试题解析: 解:设该游客选择游玩甲、乙、丙景点的概率依次为 P , P2 , P3 ,由题意知 1
答案第 6 页,总 37 页

? P (1 ? P2 )(1 ? P3 ) ? 0.08, ? P ? 0.4, 1 1 ? ? 解得 ? P2 ? 0.6, ? P P2 (1 ? P3 ) ? 0.12, 1 ? P ? 0.5. ?1 ? (1 ? P )(1 ? P )(1 ? P ) ? 0.88, ? 3 1 2 3 ?

(3 分)

(Ⅰ)依题意, ? 的所有可能取值为 0,2.

? =0 的意义是:该游客游玩的旅游景点数为 3,没游玩的旅游景点数为 0;或游玩的旅游景
点数为 0,没游玩的旅游景点数为 3, 故 P(? ? 0) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.6)(1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.24, 而函数 f ( x) ? x2 ? ? x 是 R 上的偶函数时 ? =0, 所以 P( A) ? P(? ? 0) ? 0.24 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? 0.76, (8 分) (10 分) (6 分)

? 的概率分布列为:

?
P

0 0.24

2 0.76 (12 分)

其数学期望是: E(? ) ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52 . 考点:独立事件的概率 9. (Ⅰ) 2.08 ? 10 4 ; (Ⅱ) EX ?

5 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用频率分布直方图可求; (Ⅱ)按照分布列的取值情况求对应的概率即可 试题解析: (Ⅰ)根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为

(1? 0.015 ? 3 ? 0.030 ? 5 ? 0.105 ? 7 ? 0.200 ? 9 ? 0.120 ? 11? 0.030) ? 2 ? 6.88 (吨)
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水

8.96 ?104 ? 6.88 ?104 ? 2.08 ?104 (吨)

6分

(Ⅱ)由动员前的直方图计算得月平均用水量在 [12,14) 范围内的家庭有 6 户,在 [14,16) 范 围内的有 3 户,因此 X 的可能取值有 0,1, 2,3 ,
5 C6 6 1 P ( X ? 0) ? 5 ? ? , C9 126 21 1 4 C3C6 45 5 P( X ? 1) ? ? ? , 5 C9 126 14

P ( X ? 2) ?

3 C32C6 C 3C 2 15 60 10 5 ? ? , P ( X ? 3) ? 3 5 6 ? ? , 5 C9 126 21 C9 126 42

所以 X 的分布列为

X

0

1

2

3

答案第 7 页,总 37 页

10 5 42 21 1 5 10 5 5 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 21 14 21 42 3

P

1 21

5 14

12 分

考点:组合公式、概率,分布列,期望,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意 识,以及或然与必然的数学思想 10. (Ⅰ)

?
P

4 ; (Ⅱ)随机变量 ? 的分布列为 81 6 2 4
5 9 20 81

16 81

E? ?

266 81

【解析】 试题分析: (Ⅰ)这是一个独立重复试验,比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分,只能是 前两局乙胜一局,3,4 局乙连胜,根据独立重复试验从而求出,值得注意的是,做这一类题, 一定分析清楚, 否则容易出错; (Ⅱ) ? 表示比赛停止时已比赛的局数,? 只能取值 2, 4, 6 , 设 不能为 3,5, 分别求出 ? 的取值为 2, 4, 6 的概率, 列分布列, 从而求出数学期望, 易错点为 ? 的取值不正确,导致分布列错误。

2 1 ? .比赛进行 4 局结束,且乙比 3 3 4 1 1 2 1 1 甲多得 2 分即头两局乙胜一局,3,4 局连胜,则 P2 ? C2 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81 2 1 5 ( Ⅱ ) 由 题 意 知 , ? 的 取 值 为 2, 4, 6 . 则 P(? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 3 3 9 12 2 2 1 2 1 2 20 1 2 2 16 1 1 1 , P(? ? 6) ? (C2 所以随机变量 ? P(? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? ) ? , 33 3 33 3 81 33 81
试题解析: (Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1 ? 的分布列为

?
P

2
5 9

4
20 81

6
16 81

则 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81

考点:本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望,考查学生的逻 辑推理能力以及基本运算能力. 11. (1) p ?

1 11 ; (2)分布列详见解析, E ( X ) ? . 3 12

【解析】 试题分析:本题主要考查概率的计算公式、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与 数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,考查基本运算能力.第
答案第 8 页,总 37 页

一问,是事件的相互独立性,通过独立事件的概率公式列出已知条件中的表达式,解方程解 出 P ;第二问,是求分布列和期望,同样利用独立事件的概率公式,求出每一种情况下的 概率,画出分布列,利用期望的计算公式计算期望. 试题解析:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1、A2、A3 ,依题意有

1 1 P(A1 )= , P( A2 )= , P( A3 ) ? p ,且 A1、A2、A3 相互独立. 3 4 (1)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B , 1 3 1? p 则有 P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? ? ? (1 ? p) ? . 3 4 4 1? p 1 1 所以 6分 ? ,得 p ? . 4 6 3 (2) X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 1 所以 P( X ? 0) ? , 3 P( X ? 1) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ?


2分

5分

1 2 1 2 2 3 1 4 ? ? ? ? ? ? ? 6 3 4 3 3 4 3 9

1 1 2 1 3 1 2 1 1 7 P( X ? 2) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 3 3 4 3 3 4 3 36


1 1 1 1 . P( X ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? ? ? ? 3 4 3 36 X 的分布列为

10 分

所以 E ( X ) ? 0 ? ? 1?

1 3

1 7 1 11 ? 2 ? ? 3? ? . 9 36 36 12

12 分

考点:1.独立事件的概率;2.分布列;3.期望. 12. (1)0.3,0.2,0.1; (2)①

1 2 ,②分布列详见解析, E ( x) ? . 145 3

【解析】 试题分析:本题主要考查频率分布直方图的读图能力和计算能力,考查分层抽样、频率、概 率、期望的计算公式.第一问,利用频率=高×组距计算后三组的频率;第二问,①先计算出 第三组的总人数 30 人,第三组需抽取 3 人,再计算概率;②先用分层抽样计算出每组中分 别抽取多少人,分别计算每种情况的概率,再画出分布列求期望. 试题解析:(1) 解: 第三组的频率为 0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为 0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为 0.02 ? 5=0.1 3分 (2)解: ① 设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的事件为 M
答案第 9 页,总 37 页

则 P( M ) ?

1 C 28 1 ? 3 C30 145

6分

②X的可能取 0,1,2 ,抽取的6人中,第 3,4,5 组人数分别为3,2,1人
1 2 C3 ? 1 ? C3 6 ? P( X ? 0) ? 2 C6 15 1 1 1 C 2 ? C3 ? C 2 8 ? 2 C6 15 2 C2 1 ? 2 C6 15

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

10 分

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15
13 分

E?X ? ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3
1 5 ;(2) ;(3)见解析. 8 16

考点:1.频率分步直方图;2.分层抽样;3.分布列;4.期望. 13.(1)

【解析】 试题分析:(1)先记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A,由题意甲乙一共比赛 5 局,则甲前 4 局 比赛中有且只有 3 局获胜,第 5 局比赛一定获胜,易得甲以 4 比 1 获胜的概率为 P(A)= “乙获胜且比赛局数多于 5 局”分两种情况: C3 ( )3·( )4-3· = ;(2)同(1)中道理, 4 一是比赛 6 局,二是比赛 7 局,分别计算出概率再相加即得结论;(3)比赛的局数的可能值 为 4、5、6、7,分别计算取不同值时的概率,列表得分布列. 1 试题解析:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 . 2 1 3 1 4-3 1 1 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 P(A)= C3 ( ) ·( ) · = . 4 2 2 2 8 (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.
5?3

1 2

1 2

1 1 2 8

1分

3分

?1? ?1? 因为乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1= C ? ? · ? ? ?2? ?2?
3 5

3

1 5 · = , 2 32

?1? ?1? 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2= C ? ? · ? ? ?2? ?2?
3 6

3

6 ?3

1 5 · = , 2 32

5 所以 P(B)=P1+P2= . 16

7分

答案第 10 页,总 37 页

(3)设比赛的局数位 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7.

8分

1 1 1 1 4 1 3 1 P( X ? 4) ? 2C4 ( ) 4 ? , P( X ? 5) ? 2C4 ( )3 ? )4?3 ? ? , ( 2 8 2 2 2 4 1 3 1 5 ?3 1 5 1 3 1 6 ?3 1 5 3 3 P( X ? 6) ? 2C5 ( ) ? ) ? ? , P( X ? 7) ? 2C6 ( ) ? ) ? ? , ( ( 2 2 2 16 2 2 2 16
比赛局数的分布列为 X 4 5 P 6 7

11 分

1 8

1 4

5 16

5 16

考点:1、概率;2、概率分布列. 14.(Ⅰ)X 的分布列 X P 0 1 2 3 4 5 6

160 729 32 数学期望 EX ? 4 ;(Ⅱ) . 81

1 729

12 729

60 729

240 729

192 729

64 729

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先定出 X 的所有可能取值, 易知本题是 6 个独立重复试验中成功的次数的离 散概率分布, 即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的 规定,教师甲前四次投球中至少有两次投中,后两次必须投中,即可能的情况有 1.前四次 投中 2 次(六投四中) ;2.前四次投中 3 次(六投五中)3.前四次都投中(六投六中).其中 第 1 种情况有 C 2 种可能,第 2 中情况有 C1 (或 C3 )种可能.将上述三种情况的概率相加即 4 4 4 得到教师甲获胜的概率. 试题解析:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知, X ~ B(6, )

2 3 2 1 k P( X ? k ) ? C6 ? ( )k ? ( )6?k (k ? 0,1, 2,3, 4,5, 6) 3 3
0 1 2 3 4 5 6

3分

X 的分布列为: X P

1 729
6分

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

64 729

1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ?192 ? 6 ? 64) ? ? 4. 729 729 2 2 或因为 X ~ B(6, ) ,所以 EX ? 6 ? ? 4 . 3 3 即 X 的数学期望为 4. 7分 EX ?
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,则

1 2 1 2 2 32 P( A) ? C2 ? ( )2 ? ( )4 ? C1 ? ? ( )5 ? ( )6 ? 4 4 3 3 3 3 3 81 32 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 . 81

11 分

答案第 11 页,总 37 页

考点:1.二项分布;2.离散型随机变量的分布列与期望;3.随机事件的概率. 15

5 5 5 91 P =1 ? ? ? ? 6 6 6 216 75 15 1 125 17 E? ? ?a ? ? 2a ? ? 3a ? ? (?a ) ? ? a. 216 216 216 216 216
. ( 1 )





2



【解析】 试题分析: (1)先求对立事件“掷 3 枚骰子,都不是 1 点”的概率; (2)设小明获利 ? 元, 则 ? 的可能取值为 a , 2a , 3a , ? a ,利用独立重复试验概率公式求各概率,最后求出期望.

5 5 5 91 . ? 6 6 6 216 (2)设小明获利 ? 元,则 ? 的可能取值为 a , 2a , 3a , ? a .
试题解析: (1) P =1 ? ? ?
2 2

4分

1 ?5? 75 1 ? 1 ? 5 15 ?1? ? 5 ? 125 P( = a ) 3 ? ? ? ? ? ? = , P(? ? 2a) ? 3 ? ? ? ? ? , P ?? ? 3a ? ? ? ? ? , P(? ? ?a) ? ? ? ? 6 ?6? 216 6 ? 6 216 6 ? 216 ? ? ? 6 ? 216
所以 E? ?

3

3

75 15 1 125 17 ?a ? ? 2a ? ? 3a ? ? (?a ) ? ? a. 216 216 216 216 216

12 分

考点:1、概率;2、数学期望. 16. (I)1、2、6; (II)E(X)=2. 【解析】 试题分析: (I)采用分层抽样方法易知各类型超市抽取的个数; (II)先得随机变量 X 的取 值,再求随机变量 X 取不同值时的概率,可得随机变量 X 的分布列,再利用数学期望公式的 随机变量 X 的期望 E(X) . 试题解析: (1)抽取大型超市个数: 9 ? 抽取中型超市个数: 9 ?

12 ? 1 (个) 72 ? 24 ? 12

24 ? 2 (个) 72 ? 24 ? 12 72 抽取小型超市个数: 9 ? ? 6 (个) 72 ? 24 ? 12
(2) P ( X ? 0) ?
3 C3 1 C1C 2 3 ? ; P( X ? 1) ? 6 3 3 ? 3 C9 84 C9 14

6分

P ( X ? 2) ?
分布列为 X P

2 1 C6 C3 15 C3 5 ? ; P ( X ? 3) ? 6 ? 3 3 C9 28 C9 21

10 分

0

1

2

3

1 84

3 14

15 28

5 21
11 分

所以 E ( X ) ? 0 ?

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 84 14 28 21

12 分

考点:1、分层抽样法;2、随机变量的分布列及数学期望.

答案第 12 页,总 37 页

17. (1) 【解析】

1 5 ; (2) E ?? ? ? . 3 3

试题分析:(1) 设事件 A1 表示甲选 22 题, A2 表示甲选 23 题, A3 表示甲选 24 题, B1 表示 乙选 22 题, B2 表示乙选 23 题, B3 表示乙选 24 题,则甲、乙两人选做同一题事件为

A1 B1 ? A2 B2 ? A3 B3 ,且 A1与B1,A2与B2,A3与B3 相互独立,根据相互独立事件概率的
求法计算可得; (2) ? 服从二项分布,根据二项分布概率的计算方法可列出分布列. 试题解析:(1)设事件 A1 表示甲选 22 题, A2 表示甲选 23 题, A3 表示甲选 24 题,

B1 表示乙选 22 题, B2 表示乙选 23 题, B3 表示乙选 24 题,
则甲、乙两人选做同一题事件为 A1 B1 ? A2 B2 ? A3 B3 ,且 A1与B1,A2与B2,A3与B3 相互 独立, 所 以

P ? A1B ? A B ? A B ? ? P ? A ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? ? P ? A ? P ? B ? ? 3 ?
4分 (2)设 ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5. ? ~ B? 5, ?

1 1 ? 9 3

1

? 1? ? 3?

?1? ? 2? ? P ?? ? k ? ? C ? ? ? ? ?3? ? 3?
k 5

k

5? k

? C5k

25 ? k , k ? 0,1, 2,3, 4,5 35
2 3 4 5

?分布列为

?
P

0

1

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243
12 分

1 243

1 5 ? E ?? ? ? np ? 5 ? ? 3 3

考点:1.相互独立事件概率的计算;2.二项分布的分布列和数学期望. 18. (1)甲厂抽取的样本中优等品率为 (3)

3 1 3 ,乙厂抽取的样本优等品率为 ; (2) E (? )= ; 5 2 2

27 . 200
答案第 13 页,总 37 页

【解析】 试题分析: (1)由古典概型计算公式可求得甲乙两厂生产的优等品率; (2)首先 ? 的取值为 0,1,2,3,结合超几何分布及排列组合可求得 P(? ? 0) , (? ? 1) , (? ? 2) , (? ? 3) 的 P P P 值,进而可得 ? 的分布列及其数学期望 E (? ) ; (3)首先将所求概率分解为基本事件的和, 即 A=“抽取的优等品数甲厂 2 件,乙厂 0 件” ,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件” , 再利用二项分布求解. 试题解析: (1)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (2) ? 的取值为 0,1,2,3.
3 1 C50 ? C5 C5 ? C52 5 1 P (? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

6 3 ? . 10 5

1分

5 1 ? . 10 2

2分 3分

P(? ? 2) ?

1 3 C52 ? C5 5 C5 1 ? , P(? ? 3) ? 3 ? 3 C10 12 C10 12

5分

? ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12
6分

1 12

?? 的数学期望为

E ?) 0 ? ( ?

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2

8分

(3) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件, A= 即 “抽取的优等品数甲厂 2 件, 乙厂 0 件” ,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件” 9分

3 2 1 27 0 1 P( A) ? C32 ( )2 ( ) ? C3 ( )0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 33 11 1 2 81 3 1 P( B) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ( ) ? 5 2 2 1000

10 分 11 分

抽 取 的 优 等 品 数 甲 厂 恰 比 乙 厂 多 2 件 的 概 率 为 P( A) ? P( B) ? 12 分 考点:1、排列组合;2、茎叶图;3、超几何分布;4、数学期望. 19. (Ⅰ)92 分; (Ⅱ)分布列详见解析, E ( X ) ? 1.8 .

27 81 27 ? ? . 500 1000 200

答案第 14 页,总 37 页

【解析】 试题分析: 本题主要考查频率分布直方图的读图能力和计算能力, 以及离散型随机变量的分 布列与数学期望.第一问根据频率分布直方图,求该校高三学生本次数学考试的平均分,解 决实际问题, 公式为: 每一个区间的中点×每一个长方形的高×组距, 把所得结果相加即可; 第二问利用频率=高×组距,求出样本中成绩不低于 90 分的频率,通过分析发现人数 X 符
k 合二项分布, 利用二项分布的概率计算公式:P( x ? k ) ? Cn p k (1 ? p)n ?k 来计算每种情况的

概率,列出分布列,由于 EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ,所以利用上面的公式计算期望. 试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050 ? 20 ? 40 ? 0.0075 ? 20 ? 60 ? 0.0075 ? 20 ? 80 ? 0.0150 ? 20 ?100 ? 0.0125 ? 20 ?120 ? 0.0025? 20 ?140 ? 92 5分 (Ⅱ)样本中成绩不低于 90 分的频率为

0.0150 ? 20 ? 0.0125? 20 ? 0.0025? 20 ? 0.6 ,
所以从该校高三学生中随机抽取 1 人,分数不低于 90 分的概率为 0.6 .
k 由题意, X ? B(3,0.6) , P( x ? k ) ? C3 0.6k 0.43? k ( k ? 0,1, 2,3 ) ,

7分

其概率分布列为: X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 10 分

X 的期望为
E ( X ) ? 3 ? 0.6 ? 1.8 .
考点:1.频率分布直方图;2.分布列;3.数学期望. 20.(1) P(? ? 2) ? ξ P 2 3

1 ; (2) 8

4

1 8

19 32
101 . 32

9 32

E (? ) ?

【解析】 试题分析: (1)先求出基本事件总的个数 4 ,再求出满足条件的子事件(只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码)的个数为 2 ,由古典概型概率公式求解;(2) 先写出 ξ 的取值,再 结合 ? ? 2, ? ? 3, ? ? 4 的实际意义,分别求出相应的概率值,注意写出分布列需验证概率 和是否为 1,再由公式求期望值. 试题解析:(1)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码.
答案第 15 页,总 37 页
3 3

∴ P (?=2)=

23 1 = . 43 8

5分

(2)由题意可知 ξ 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ? ? 3 ,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2,则密码中只可能取数字 1,2,3 或 1,2,4. ∴ P(? ? 3)=

2 ? (33 ? 23 ) 19 . 8分 ? 43 32
1 19 9 , 10 分 ? ? 8 32 32

若 ? ? 4 , P(? ? 4)=1 ? ∴ξ 的分布列为: ξ P 2 3 4

19 9 32 32 1 19 9 101 ∴ E (? ) ? 2 ? ? 3 ? . ? 4? ? 8 32 32 32
21. (Ⅰ)6; (Ⅱ) 【解析】

1 8

12 分

考点:1.古典概型;2.离散型随机变量的分布列与期望.

6 . 5

试题分析: (Ⅰ)平均数公式为 x ?

?x
i ?1

n

i

n
n

; (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,求出相应的概率,

得到分布列,应用期望公式 E (? ) ? 试题解析: (Ⅰ)依题意可得,

? ? ? P 求出期望.
i ?1 i i

62 ? 78 ? 84 ? 87 ? 94 60 ? 62 ? 64 ? 79 ? 80 ? x ? 88 ? 90 ? 91 ? 92 ? 98 , ? 5 10
分 ∴ x=6. (Ⅱ)由茎叶图可知,10 名男生中优秀的人数为 6 人。 ∴ P (? ? 0) ?
2 C4 2 ? , 2 C10 15

1

3分 4分 6分

1 C4 ? 6 8 C1 P (? ? 1) ? ? , 2 C10 15

8分

P(? ? 2) ?

C62 1 ? , 2 C10 3
答案第 16 页,总 37 页

10 分

?
P

0

1

2

2 15
3

8 15

1 3

∴ E (? ) ?

? ? ?P ? 0 ? 15 ? 1? 15 ? 2 ? 3 ? 5 .
i ?1 i i

2

8

1

6

答: ? 的数学期望为

6 . 5

12 分.

考点:随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念. 22.(Ⅰ)

13 3 1 1 ; (Ⅱ) m ? , n ? ;(Ⅲ) . 12 4 3 4

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 至少有一位学生做对该题,它的对立事件是一个也没做对,故可利用对立事 件来求; (Ⅱ)根据 P(? ? 0) ?

1 1 与 P(? ? 3) ? 列方程求出 m, n 的值;(Ⅲ)由 m, n 的 4 24

值,可求出 P(? ? 1) , P(? ? 2) 的值,从而求出 ? 的数学期望. 试题解析:设“甲做对”为事件 A ,“乙做对”为事件 B ,“丙做对”为事件 C ,由题意 知, P( A) ?

1 , P( B) ? m, P(C ) ? n . 2

(Ⅰ)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以至少有一位学 生做对该题的概率是 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? ( Ⅱ ) 由 题 意 知

1 3 ? ; 4 4 P(? ? 0) ? P ABC ?

1 1 , (1 ? m)(1 ? n) ? 2 4 1 1 1 7 , 整 理 得 mn ? , m?n ? ,由 m?n ,解得 P(? ? 3) ? P ? ABC ? ? mn ? 2 24 12 12 1 1 m ? ,n ? ; 3 4
Ⅲ ) 由 题 意 知

?

?



1 1 1 11 P(? ? 1) ? P ABC ? P ABC ? P ABC ? (1 ? m)(1 ? n) ? m(1 ? n) ? (1 ? m)n ? 2 2 2 24


?

? ?

? ?

?

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

1 , 4

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) ? 考点:1、独立事件的概率, 2、随机变量的数学期望.

13 . 12

答案第 17 页,总 37 页

23. (Ⅰ)

107 473 ; (Ⅱ)E(ξ )= . 27 729

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用“正难则反”的思路来求; (Ⅱ)按照分布列的取值情况求对应的概率 即可. 试题解析:(Ⅰ) 记“比赛 6 局,A 队至多获胜 4 局”为事件 A,

2 5 2 256 473 6 2 6 ) (1- )+ C6 ( ) ]=1- = . 3 3 3 729 729 473 故 A 队至多获胜 4 局的概率为 . 4分 729
则 P(A)=1-[ C6 (
5

(Ⅱ)由题意可知,ξ 的可能取值为 3,4,5.

2 3 1 3 9 1 ) +( ) = = , 3 3 27 3 2 2 1 2 2 1 10 2 2 1 2 P(ξ =4)= C3 ( ) × × + C3 ( ) × × = , 3 3 3 3 3 3 27 8 2 2 2 1 2 P(ξ =5)= C4 ( ) ( ) = . 3 3 27
P(ξ =3)=( ∴ξ 的分布列为: ξ 3 4 5 P

10 8 27 27 1 10 8 107 ∴E(ξ )=3× +4× +5× = . 3 27 27 27
考点:排列组合,分布列,期望. 24. (Ⅰ)40 人; (Ⅱ)

1 3

12 分

5 4 ; (Ⅲ) . 13 3

X
P

0
1 15

1
8 15

2
2 5

【解析】 试 题 分 析 : Ⅰ ) 由 成 绩 在 190cm 以 上 的 运 动 员 频 数 除 以 频 率 求 得 ; Ⅱ ) 利 用 ( (

P( B | A) ?

P( A ? B) 求解; P( A)

(Ⅲ)随机变量 X 所有可能取值为 0,1, 2 . 超几何分布问题,列出分布列,再求期望. 试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,成绩在 190 cm 以上的运动员频率为 0.05 ,所以全 体与运动员总人数为 a ?

2 ? 40 人, 0.05
(2 分)

乙队中成绩在 [160,170 ) 内的运动员人数 b ? 40 ? 0.3 ? 3 ? 9 (人).
答案第 18 页,总 37 页

(Ⅱ) 由频率分布直方图可知, 乙队成绩在 180 cm 以上的没有丢失, 全体队员成绩在 180 cm 以上的共有 10 人,其中成绩优秀的有 6 人. 设至少有 1 人成绩“优秀”为事件 A ,两人成绩“优秀”为事件 B ,

C62 2 C10 P( A ? B) 5 ? ? . 则 P ( B | A) ? 2 C P ( A) 13 1? 4 2 C10
(Ⅲ)成绩“优秀”的运动员共 6 人,甲队 4 人,乙队 2 人. 随机变量 X 所有可能取值为 0,1, 2 .

(6 分)

P( X ? 0) ?

0 2 C 2C 0 6 2 C4 C2 C1C1 8 1 (9 ? , P( X ? 1) ? 4 2 2 ? , P ( X ? 2) ? 4 2 2 ? ? , 分) 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

? X 的分布列为:

X
P

0
1 15

1
8 15

2
2 5

数学期望 E ( X ) ?

8 12 20 4 ? ? ? . 15 15 15 3

(12 分)

考点:茎叶图、频率分布直方图,条件概率,随机变量的分布列. 25. (Ⅰ)

6 17 ; (Ⅱ) EX ? , 7 5
3 4

X P

1

2

1 35

4 35

2 7

4 7

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用排列组合、古典概率公式可求; (Ⅱ)按照分布列的取值情况求对应的 概率即可. 试题解析:(Ⅰ) 设“取出的 4 个球中,含有编号为 3 的球”为事件 A,则
2 C1 C 3 ? C 2 C 5 6 2 5 2 P ( A) ? ? 4 7 C7

所以,取出的 4 个球中,含有编号为 3 的球的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

6 . 7

5分 6分

P ( X ? 1) ?

C3 1 3 ? , 4 C 7 35

P ( X ? 2) ?

C3 4 4 ? , 4 C 7 35

答案第 19 页,总 37 页

P ( X ? 3) ?

C3 2 5 ? , 4 C7 7
2

P ( X ? 4) ?

C3 4 6 ? , 4 C7 7
4

10 分

所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 3

1 35

4 35

2 7

4 7
14 分

随机变量 X 的数学期望 EX ? 1 ?

1 4 2 4 17 . ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 35 35 7 7 5

考点:概率,分布列,期望. 26. (1)0.2; (2)2400; (3)分布列详见解析,0.9. 【解析】 试题分析: (1)由频率分布直方图求概率; (2)利用频率分布直方图求中位数; (3)利用二 项分布,求每一种情况的概率,列出分布列,求数学期望. 试 题 解 析 :( Ⅰ ) 由 题 意 , 居 民 月 收 入 在 [1500, 2000) 的 概 率 约 为

1? ( 0 . 0 ? 0 2 0
2分

0 . 0 0 0? ? 1

0 . 0? 0 ? 0 3

0 . 0 0 0 50 2? ? ? 1 )

0 . 8 ? 0 ..? . 0 0 1 6 5 0 0 1 2 ? 0

5 0

(Ⅱ)由频率分布直方图知,中位数在 [2000, 2500) , 设中位数为 x ,则 0.0002 ? 500 ? 0.2 ? 0.0005( x ? 2000) ? 0.5 ,解得 x ? 2400 .6 分 (Ⅲ)居民月收入在 [1000, 2000) 的概率为 0.0002 ? 500 ? 0.2 ? 0.3, 由题意知, x ? B(3,0.3) ,
0 1 因此 P( x ? 0) ? C3 ? 0.73 ? 0.343 , P( x ? 1) ? C3 ? 0.7 2 ? 0.3 ? 0.441 , 3 P( x ? 2) ? C32 ? 0.7 ? 0.32 ? 0.189 , P( x ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.027

10 分

故随机变量 X 的分布列为 X 0 P 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027 12

X 的数学期望为 3? 0.3 ? 0.9 .
分 考点:1.频率分步直方图;2.中位数;3.分布列;4.数学期望;5.二项分布. 27. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) E? ? 【解析】

4 . 3

试题分析: (Ⅰ)先确定随机变量 ? 的可能取值,然后利用事件的独立性求出 ? 在每个可能 值下对应的概率,从而可以确定随机 ? 的概率分布列; (Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上根据随机变
答案第 20 页,总 37 页

量的数学期望的定义求 E? 即可. 试题解析: (Ⅰ)由题意 ? 的取值为 0,1,2.
2 2 1 2 1 1 C2 C2 1 C2 C 2 4 C2 C2 4 则 P (? ? 0) ? 2 ? 2 ? ; P(? ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ; P (? ? 2) ? 2 ? 2 ? ; C3 C3 9 C3 C3 9 C3 C3 9

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

4 9 1 4 4 4 (Ⅱ) ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9 3
考点:事件的独立性、离散型随机变量的概率分布列与数学期望 28. (1)

1 9

4 9

?
P

13 ; (2) ? 的分布列如下 66 0 1 2 1 27 2 9

3

4 8 9 27 1 2 4 8 ? 的期望是 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 27 9 9 27
【解析】
2 试题分析: (1)求出基本事件的总数:C12 ,再分别在四个班中取 2 人,构成基本事件即可;

(2)由题知 ? 可取 0、1、2、3,分别求出概率来即可,此题符合二项分布. 试题解析:(1)设“从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级”的事件为 M
2 2 C32 ? C2 ? C32 ? C4 13 ? 则 P( M ) ? . 2 C12 66

答:从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级的概率是 (2) ? ? 0 、、 、 1 2 3 由题设知,每个人选软件 C 概率均为

13 . 66

2 . 3

? P(? ? 0) ? ( )3 ?

1 1 , 3 27 2 2 1 1 P(? ? 1) ? C3 ( ) 2 ? ? , 3 3 9
答案第 21 页,总 37 页

1 2 4 P(? ? 2) ? C32 ? ? ( ) 2 ? , 3 3 9 2 3 8 . P(? ? 3) ? ( ) ? 3 27

? 的分布列如下

?
P

0
1 27

1

2

3

4 8 9 27 1 2 4 8 ? 的期望是 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 . 27 9 9 27
考点:1、古典概型;2、排列组合;3、随机变量的分布列及其数学期望. 29. (1) x ? 10 , y ? 5 ; (2)详见解析; (3) 0.44 . 【解析】 试题分析: (1)先根据“这 50 位顾客中一次购物量少于 10 件的顾客占 80%”这一条件求 出 x 的值,然后再根据余下的人数占总人数的 20% 求出 y 的值; (2)先确定一次购物时间 所对应的顾客数, 并计算出相应的概率, 然后再列出随机变量的分布列并计算数学期望; (3) 先确定 2 位顾客需结算时间总和不超过 2 分钟的不同组合, 并结合独立事件的概率进行计算 即可. 试题解析: 依题意得,x ? 20 ? 10 ? 50 ? 80% ,5 ? y ? 50 ? 20% , (1) 解得 x ? 10 ,y ? 5 . (2) 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所以收集的 50 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量为 50 的随机样本,将频率视为概率得, 10 20 10 P( X ? 0.5) ? ? 0.2 , P( X ? 1) ? ? 0.4 , P( X ? 1.5) ? ? 0.2 , 50 50 50 5 5 P( X ? 2) ? ? 0.1 , P( X ? 2.5) ? ? 0.1 . 50 50 所以 X 的分布列为 0.5 1 1.5 2 2.5 X 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 P X 的数学期望为 EX ? 0.5 ? 0.2 ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 2.5 ? 0.1 ? 1.25 . (3)记“该顾客结算前的等候时间不超过 2 分钟”为事件 A,该顾客前面第 i 位顾客的结算 时间为 X i (i ? 1, 2) , 由于各顾客的结算相互独立, X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同, 且 所以

2 9

P( A) ? P( X1 ? 0.5)? P( X 2 ? 0.5) ? P( X1 ? 0.5)? P( X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 0.5)? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1)? P( X 2 ? 0.5) ? P( X1 ? 1)? P( X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1.5)? P( X 2 ? 0.5)

? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.44 为所求.
考点:离散型随机变量及其分布列、独立事件的概率
答案第 22 页,总 37 页

30. (1) 【解析】

45 ; (2)分别列详见解析; (3)240. 91

试题分析: (1)利用排列组合知识列出概率表达式; (2)依据条件, ? 服从超几何分布,利
3-k C5k C10 (k ? 0,1, 2,3) 列出分布列; 用 P(? ? k ) ? (3)由题意可知? 服从二项分步,利用二 3 C15

项分步的期望公式计算. 试题解析: (Ⅰ)记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量 达到一级”为事件 A , P( A) ?
1 2 C5C10 45 ? . 3 C15 91

4分

(Ⅱ)依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2,3 5分 其分布列为:

P(? ? k ) ?

3-k C5k C10 (k ? 0,1, 2,3) . 3 C15

8分

?
P

0
24 91

1
45 91

2
20 91

3
2 91 10 2 ? , 9分 15 3
10 分 11 分 12 分

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(360, ) ∴ E? ? 360 ?

2 3

2 ? 240 , 3

∴一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级 考点:1.排列组合;2.超几何分步;3.二项分布. 31.(1)

5 ;(2) 见解析. 12

【解析】 试题分析:(1)先将合格事件标记,然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率.(2)直 接根据离散型随机变量的概率计算方法解答. 试题解析: (1) 分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A, B, C, D ,则“甲能修得该课程学 分”的概率为 P( ABCD) ? P( ABC D) ? P( ABCD) ,事件 A, B, C, D 相互独立,

3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 5 P( ABCD) ? P( ABCD) ? P( ABCD) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 3 2 12
答案第 23 页,总 37 页

(2)

0 7 P(? ? 0) ? C3 ( )3 12 5 7 2 5 2 7 1 3 5 P(? ? 1) ? C3 ( )( ) , P(? ? 2) ? C32 ( ) ( ) , P(? ? 3) ? C3 ( )3 12 12 12 12 12

,

因为 ? ~ B ? 3, 所以 E? ? 3 ?

? 5? ? ? 12 ?

5 5 ? . 12 4
(Ⅱ)

考点:1.离散型随机变量的分布列;2.数学期望;3.相互独立事件的概率. 32.(Ⅰ)

3 4

7 16

【解析】 试题分析:(Ⅰ)写出任取三张的所有可能的结果,然后找出数字之和大于或等于 2 的结果, 最后根据随机事件的概率公式求解即可.(Ⅱ)写出每次抽 1 张,连续抽取两张所有可能的结 果,然后找出含有数字 2 的所有结果,最后根据随机事件的概率公式求解即可. 试题解析: (1)设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于或等于 7”, 任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3)(1、2、4)(1、3、4) , , , (2、3、4) ,共 4 种 2分 其中数字之和大于或等于 7 的是(1、2、4)(1、3、4)(2、3、4) , , , 共3种 4分 所以 P(A)=

3 . 4

6分

(2)设 B 表示事件“至少一次抽到 2”, 每次抽 1 张,连续抽取两张全部可能的结果有: (1、1) (1、2) (1、3) (1、4) (2、1) (2、 2) (2、3) (2、4) (3、1) (3、2) (3、3) (3、4) (4、1) (4、2) (4、3) (4、4) , 共 16 个. 8分 事件 B 包含的结果有(1、2) (2、1) (2、2) (2、3) (2、4) (3、2) (4、2) , 共 7 个. 10 分 所以所求事件的概率为 P(B)=

7 . 16

12 分

考点:1.随机事件的概率;2.古典概型. 33. (I)35 ; (II)①21 件; ②所以随机变量 ? 的分布列为

?
p

0

1

2

1 10

3 5

3 10

6 E? ? . 5
【解析】 试题分析: (I)根据分层抽样的特点:每层按比例抽样,即各层样本数与该层总体数的比值 相等,可得到乙厂产品数量. (II)①,根据列表统计优等品的频数,根据频数与容量之比
答案第 24 页,总 37 页

=频率 ?

3 ,易知乙厂优等品数量 21 件。②根据简单随机抽样中随机变量的分布,确定 ? 的 5 12 5 ? ,所以 x ? 35 ; 84 x

可能取值情况,再列出随机变量的分布列易求均值. 试题解析: (I)设乙厂生产的产品数量为 x 件,由题意得

(II)①由题意知乙厂生产的优等品的数量为 ? 15 ? 21 件;②由题意知乙厂抽取的 5 件产 品中共有 3 件优等品,随机抽取两件,易知随机变量 ? ? 0,1, 2 , P(? ? 0) ?
1 1 C2C3 3 C2 3 ? , P(? ? 2) ? 32 ? ,所以随机变量 ? 的分布列为 C52 5 C5 10 2 C2 1 ? , 2 C5 10

3 5

P (? ? 1) ?

?
p

0

1

2

1 10

3 5

3 10

所以随机变量 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? . 10 5 10 5

考点:1、分层抽样的性质和公式 2、简单随机变量的分布列及均值. 34. (Ⅰ)能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语 有关系; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据题意得到列联表,代入公式求解 K 的值进行数据比较得出结论; (Ⅱ) 根据题意可知 X 的分布满足二项分布 X~B (3, 试题解析: (Ⅰ)由题意得列联表: 语文优秀 外语优秀 总计 因为 K =
2

9 . 8
2

3 ),利用二项分布的公式直接求解. 8

语文不优秀 100 500 600
2

总计 160 640 800 ≈16.667>10.828,

60 200

外语不优秀 140

800 ? 60 ? 500 ? 100 ?140 ? 160 ? 640 ? 200 ? 600

所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关 系. 5 分 (Ⅱ)由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 则 X~B (3,
k 3 5 8-k k 3 ),P (X=k)= C8 ( ) ( ) ,k=0,1,2,3. 8 8 8

3 . 8

X 的分布列为
答案第 25 页,总 37 页

X p

0

1

2

3

225 135 512 512 3 9 E (X)=3× = . 8 8

125 512

27 512

考点:1.线性相关;2.二项分布. 35. (?) 43.5(百元) (??) 分布列详见解析,数学期望是 1. ; 【解析】 试题分析: (?) 由频率分布直方图求出各组收入的频率,再根据公式求出平均收入; (??) 由 频率分布直方图求出[15,25)和[25,35)这两组的人数都是 9 人,结合赞成人数的统计表, 通过排列组合求出随机变量 X 分别为 0、1、2、3 时的概率,从而得出随机变量 X 的分布 列以及其数学期望. 试题解析: (Ⅰ)这 60 人的月平均收入为 (20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02

?60 ? 0.015 ? 70 ? 0.01) ?10 ? 43.5 (百元)
(Ⅱ)根据频率分布直方图可知

4分

?15, 25 ? 的人数为10 ? 0.015 ? 60 ? 9 人 ? 25,35 ? 的人数为10 ? 0.015 ? 60 ? 9 人
X 的所有取值可能为 0,1, 2,3
6分

P( X ? 0) ?

3 C83 C7 C 2 C 3 C 3 C1C 2 17 5 ? 3? P( X ? 1) ? 83 ? 7 ? 8 ? 2 3 7 ? 3 3 3 C9 C9 18 C9 C9 C9 C9 36

1 1 C82 C2C72 C83 C2C72 2 P( X ? 2) ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? C9 C9 C9 C9 9 1 2 C82 C7C2 1 ? 3 ? 3 C9 C9 36

P( X ? 3) ?

10 分

∴ X 的分布列为

3 1 2 2 17 1 P 9 36 36 5 17 2 1 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1 18 36 9 36
X

0 5 18

12 分

考点:1.随机抽样;2.随机变量的分布列与期望;3.排列和组合. 36. (1)第 3 组 6 人,第 4 组 4 人,第 5 组 2 人; (2)分布列详见解析, E? ? 1.5 . 【解析】
答案第 26 页,总 37 页

试题分析:(1)先通过频率分步直方图求出每一组中的总人数,再用分层抽样求出每组中所需 抽取的人数;(2)先分别求出每种情况的概率,再列分布列,利用分布列求期望. 试题解析: (1)由题意可知,第 3 组的人数为 0.06 ? 5 ?1000 ? 300 ,第 4 组的人数为 3分 0.04 ? 5 ?1000 ? 200 ,第 5 组的人数为 0.02 ? 5 ?1000 ? 100 。 所以利用分层抽样在 600 名志愿者中抽取 12 名志愿者,每组抽取的人数为: 第3组

12 12 12 ? 300 ? 6 ,第 4 组 ? 200 ? 4 ,第 5 组 ?100 ? 2 600 600 600

6分

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,

P(? ? 0) ?

0 3 C6 C6 1 ? 3 C12 11 3 C6 1 ? , 3 C12 11



P(? ? 1) ?

1 C6C62 9 ? 3 C12 22



P (? ? 2) ?

1 C62C6 9 ? 3 C12 22



P (? ? 3) ?

10 分

所以, ? 的分布列为:

所以 ? 的数学期望 E? ? 1.5 考点:1.分层抽样;2.分布列;3.数学期望. 37. (Ⅰ) n ? 650, a ? 60, p ? 0.065 ; (Ⅱ) EX ? 2 .

12 分

【解析】 试题分析: 由频率分布直方图及统计图表计算相关值, 根据条件得到随机变量的所有可能取 值及其相应的概率值,得到随机变量的分布列,根据分布列计算期望值. 试题解析: (Ⅰ)年龄在[25,30)的总人数为 根据频率分布直方图,总人数为

120 ? 200 , 0.6
2分

1分

200 ? 1000 人 5 ? 0.04 年龄在[40,45)的人数为 1000 ? 5 ? 0.03 ? 150 人 所以 n ? 650 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60

4分

因为年龄在[30,35)的人数的频率为 1 ? 5 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 0.3 . 所以年龄在[30,35)的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 人 所以 p ?

195 ? 0.065 , 300

6分

(Ⅱ)依题抽取年龄在[40,45) 之间 6 人, 抽取年龄在[45,50)之间 3 人, 7分
答案第 27 页,总 37 页

X ? 0,1, 2,3

8分
3 C3 C1C 2 18 1 ? , P( X ? 1) ? 6 3 3 ? , 3 C9 84 C9 84

P ( X ? 0) ?

3 3 C62C3 45 C6 20 P ( X ? 2) ? ? , P ( X ? 3) ? 3 ? 3 C9 84 C9 84

11 分

所以 EX ? 0 ?

1 18 45 20 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 84 84 84 84

12 分

考点:频率分布直方图,随机变量的分布列、期望. 38. (1)0.35;(2)0.992;(3)2.35,分布列如下: ξ P 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0. 48

【解析】 试题分析: (1) 结合频率分布表、 频率之和为 1 的性质和频率的计算公式去求; (2) 利用 “至 少有一次击中 9 环以上(含 9 环) ”的对立事件是“三次都没有击中 9 环以上(含 9 环), ” 而且三次射击的事件都是彼此相互独立的,所以“三次都没有击中 9 环以上(含 9 环) ”的 3 概率是 0.2 ,再用间接法求.(3)先根据独立事件的乘法公式求出随机变量各取值的概率, 再写出其分布列和数学期望. 试题解析:(1)由题意可得 x=100(10+10+35)=45,y=1(0.1+0.1+0.45)=0.35, 因为乙运动员的射击环数为 9 时的频率为 1(0.1+0.15+0.35)=0.4,所以 z=0.4×80=32, 由上可得表中 x 处填 45,y 处填 0.35,z 处填 32. 3分 设“甲运动员击中 10 环”为事件 A,则 P(A)=0.35, 即甲运动员击中 10 环的概率为 0.35. 4分 (2)设甲运动员击中 9 环为事件 A1,击中 10 环为事件 A2,则甲运动员在一次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的概率为 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.45+0.35=0.8, 故甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率 3 3 P=1[1P(A1+A2)] =10.2 =0.992 7分 2 (3)ζ 的可能取值是 0,1,2,3,则 P(ζ =0)=0.2 ×0.25=0.01
2 P ?0. 000 0 ( 12 . 0. ? . ? ? 1 2? . ? . ) ? 8 C ? 2575 2 11 1 P ? 0 2 . 075 ( 2 2 .? 8 00 ?.? C . .? )8 0 25 2 ? ? . 0 ? 4

?

?
0

P 30? ? (?? 0 0 ?) . . . 82 75 48
所以ξ 的分布列是 ξ P 1 0.11 2 0.4 3 0. 48 0.01

10 分

E 0 ? 2? ? ? ? ? 3 2 0 1 ? 0 ?? . . 01 0 0 35 . 11 . 4 . 48

?

12 分

考点:1、随机变量概率分布列和数学期望的计算,2、互斥事件的概率,3、相互独立事件 的概率.

答案第 28 页,总 37 页

39.(1) 中位数为 155.,平均数 156.8;(2)

16 (3)8,1.6. ; 45

【解析】 试题分析:(1)读懂频率分布直方图,借助平均数和中位数的定义直接求解; (2)利用分层 抽样的比例关系确定户数,然后利用随机事件的概率进行求解;(3)利用二项分布求解 X 的 数学期望 E ( X ) 与方差 D( X ) . 试题解析:(1) 因为在频率分布直方图上,中位数的两边面积相等,可得中位数为 155. (2 分) 平均数为 120 ? 0.005 ? 20 ? 140 ? 0.075? 20 ? 160 ? 0.020 ? 20 ? 180 ? 0.005? 20 (4 分) ?200 ? 0.003? 20 ? 220 ? 0.002 ? 20 ? 156.8 . (2) 由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取 10 户居民,其中 8 户为第一类用户,2 户 为第二类用户,则从该 10 户居民中抽取 2 户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的 概率为
1 1 C8C2 16 ? . (8 分) 2 C10 45

(3) 由题可知,该小区内第一类用电户占 80%,则每月从该小区内随机抽取 1 户居民,是第 一 类 居 民 的 概 率 为 0.8 , 则 连 续 10 个 月 抽 取 , 获 奖 人 数 X 的 数 学 期 望

EX ? np ? 10 ? 0.8 ? 8 ,方差 DX ? np(1 ? p) ? 10 ? 0.8 ? 0.2 ? 1.6 .

(12 分)

考点: 1.括中位数与平均数的求法;2.基本概率的应用;3.离散型随机变量的二项分布的数学 期望与方差. 40. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)直接由两种闯红灯的概率相减得 概型公式即可得 P( A) ?

3 3 ; (Ⅱ)① ,② EX ? 20 . 20 5 40 10 3 ;(Ⅱ)①直接由古典 ? ? 200 200 20

6 3 ? ,②先将 X 的可能取值表示出来,再依次求概率即可得到 X 10 5

的分布列和数学期望. 试题解析:(Ⅰ)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差 是:

40 10 3 . ? ? 200 200 20

(4 分)

(Ⅱ)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A ,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽
2 选方法共有 C5 ? 10 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种,故所求概率为 P( A) ?

6 3 ? . 10 5

(8 分) 根据条件, X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为:

X

5

10

15

20

25

30

35

P? X ?

1 1 1 1 1 10 5 5 5 10 1 1 1 1 1 1 1 EX ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? = 20 . 10 10 5 5 5 10 10
答案第 29 页,总 37 页

1 10

1 10
(12 分)

考点:1.古典概型;2.分布列及数学期望. 41. (Ⅰ) a ? 16 , b ? 0.04 , x ? 0.032 , y ? 0.04 ;

?
P

0
2 5

1
8 15

2
1 15

(Ⅱ) ? 的分布列为

?
P

0
2 5

1
8 15

2
1 15

2 8 1 2 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由频率计算公式易得 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)可以利用古典概型来计算相应概 率,从而得 ? 的分布列,最后利用公式求数学期望. 试题解析: (Ⅰ)由题意可知,样本总数为: 8 ? 0.16 ? 50 2?

a ? 50 ? (8 ? 20 ? 2 ? 50 ? 0.08) ? 16

3?

b?

2 ? 0.04 4? 50 a x? ? 10 ? 0.032 5? 50 b y? ? 0.004 6? 10

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1, 2 , 7? 则

P (? ? 0) ?

2 C4 6 2 ? ? , 2 C6 15 5

8?

1 1 C4 C2 8 P (? ? 1) ? ? , C62 15 2 C2 1 ? . 2 C6 15

9?

P(? ? 2) ?

10?

所以, ? 的分布列为

答案第 30 页,总 37 页

?
P

0
2 5

1
8 15

2
1 15

所以, E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3

12?

考点:1、概率与统计;2、离散型随机变量分布列;3、离散型随机变量数学期望. 42. (Ⅰ)

61 ; (Ⅱ)详见解析. 125

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用事件“该市市民中随机抽取 3 位,至少有一位市民还会购买本地家禽” 的对立事件“该市市民中随机抽取 3 位,没有一位市民会购买本地家禽” ,对立事件只有一 种情况,而事件本身有 3 种基本情况,这样就方便了计算,算出对立事件的概率后,再根据 对立事件与原事件的概率之和为 1 即可求出原事件的概率; (Ⅱ)先把随机变量 X 的可能值 列出来,然后按照相应的 X 值利用排列组合的相关知识求对应的概率,列出相应的概率分 布列进行计算即可. 试题解析: (Ⅰ)依题意可得,任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为 从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为

1 , 5

4 . 5 4 5 64 61 , ? 125 125

设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件 A ,则 P( A) ? 1 ? ( )3 ? 1 ? 故至少有一位市民会购买本地家禽的概率 (Ⅱ) X 的所有可能取值为:2,3,4.

61 . 125

6分

1 1 1 4 1 1 4 1 4 116 , P( X ? 3) ? ? ? ? , P( X ? 4) ? 1 ? , P( X ? 2) ? ? ? ? ? 5 5 25 5 5 5 125 25 125 125 所以 X 的分布列为: 2 3 4 X 4 116 1 P 125 125 25 1 4 116 486 . 13 分 E( X ) ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 25 125 125 125
考点:二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望 43. (Ⅰ)

575 1 . ;(Ⅱ) 12 48

【解析】 试题分析:1.本题以学生熟悉的背景设题,将得分与选择对、选错联系起来,感受随机事件 与概率.因此,解题首先是要读懂题意.善于在熟悉的情境中理解题意,这是解概率题的关 键.2.概率问题往往涉及到分类计算,这是由于分布列的特点需要分类进行计算.另由于选 择各题时相对独立,独立事件也需要分类计算.3.概率题要求计算要准确,全功尽弃. 试题解析:设选对“全然不理解题意”的试题的选项为事件 A ,选对“可判断有一个选项 不符合题目要求”
答案第 31 页,总 37 页

试题的选项为事件 B ,选对“可判断有两个选项不符合题目要求”试题的选项为事件 C , 根据题意

P( A) ?

1 1 1 , P( B ) ? , P(C ) ? . 4 3 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ; 4 3 2 2 48

(Ⅰ)在这次考试中,该考生选择题得 60 分的概率 P ?

(Ⅱ)随机变量 X 可能的取值为 40 , 45 , 50 , 55 , 60 ,根据题意得

P( X ? 40) ?

3 2 1 1 1 ? ? ? ? , 4 3 2 2 8 1 2 1 1 3 1 1 1 3 2 1 1 17 1 ? ? ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? , 4 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2 2 48 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 3 2 1 1 1 1 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2 2

P( X ? 45) ?

P( X ? 50) ? 17 , 48

?

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 7 1 P( X ? 55) ? C2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2 2 48 P( X ? 60) ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? . 4 3 2 2 48 1 17 17 7 1 575 ? 45 ? ? 50 ? ? 55 ? ? 60 ? ? . 8 48 48 48 48 12
6 . 5

∴ X 的数学期望 EX ? 40 ?

考点:概率,随机变量分布列、数学期望的计算. 44.(Ⅰ) n ? 2 ;(Ⅱ )

E? ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由古典概率的求法, 可求出 n ; (Ⅱ ) 摸球三次, 中奖情况可能为;0,1,2,3 次,分别求出概率,得分布列从而求出期望.

n(n ? 1) 1 C ?C n2 ? n ? 2 2 试题解析: (1) p ? ? ? ? ? n ? 2; 2 (n ? 2)(n ? 1) n 2 ? 3n ? 2 3 Cn ? 2 2
2 2 2 n

1?

(2)若 n ? 3 ,则每次摸球中奖的概率 p ?

2 C2 ? C32 1 ? 3 2 ? ? C52 10 5

答案第 32 页,总 37 页

因此, ? ? B(3, ) ,分布列如下:

2 5

?
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125

? E? ?

6 . 5
4 15
(Ⅱ)应选择经销商品 A

考点:1、古典概率的求法,2、分布列与期望的求法. 45. (Ⅰ)

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据题意求出 X、Y 的分布列,再求出两种商品日获利值均超过 100 元的概 率; (Ⅱ)先比较 X、Y 的期望大小,选期望较大者,若相同再比较方差,选方差较小者. 试题解析: (Ⅰ)根据题意,X、Y 的分布列如下 X 0 40 80 120 160 20 0 Y 0 40 80 120 160 20 0

P

3 30

5 30

7 30

7 30

5 30

3 30

P

4 30

4 30

6 30

8 30

5 30

3 30

4 7 5 3 8 5 3 + + )( + + )= . 15 30 30 30 30 30 30 3 5 7 7 5 3 (Ⅱ)E (X)=0× +40× +80× +120× +160× +200× =100, 30 30 30 30 30 30 4 4 6 8 5 3 E (Y)=0× +40× +80× +120× +160× +200× =100, 30 30 30 30 30 30
P (X>100,Y>100)=( 所以两种商品的日获利值均值都是 100 元.

3 5 7 7 5 3 10160 +602× +202× +202× +602× +1002× = , 3 30 30 30 30 30 30 4 4 6 8 5 3 10800 D (Y)=1002× +602× +202× +202× +602× +1002× = , 3 30 30 30 30 30 30
D (X)=1002× 因为 D (X)<D (Y),所以应选择经销商品 A. 考点:1、计算随机变量的分布列、期望、方差;2、求两事件同时发生的概率.

156 46. (Ⅰ) 539 ; (Ⅱ)没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由男生上网时间频数分布表求出上网时间少于 60 分钟的人数和不少于 60 分钟的人数,任意选 3 人,恰有 1 人上网时间少于 60 分钟的选法有
1 2 C60C40

种,则易得概率

1 2 C60C40 C3 恰有 1 人上网时间少于 60 分钟的 100 ; (Ⅱ)根据男生、女生的上网时间频数分布表易

答案第 33 页,总 37 页

得 2×2 列联表,并由 K 公式得出 K 值,即得结论. 试题解析: (Ⅰ)由男生上网时间频数分布表可知 100 名男生中,上网时间少于 60 分钟的有 60 人,不少于 60 分钟的有 40 人, 2分
1 2 C60C40 C3 故从其中任选 3 人,恰有 1 人上网的时间少于 60 分钟的概率为 100

2

2

4分

?

156 539

6分 上网时间少于 60 分 上网时间不少于 60 分 40 30 70 合计 100 100 200

(Ⅱ) 男生 女生 合计 8分
K2 ? 200 ? (1800 ? 2800)2 200 ? ? 2.20 , 100 ? 100 ? 130 ? 70 91

60 70 130

10 分 12 分

∵ K 2 ? 2.20 ? 2.706 ,∴没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”. 考点:1、概率;2、独立性检验. 47.①. a ? 0.0015 . ②. y ? 1.5 X ? 0.5n .③. E ? Y ? ? 287.5 .

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 利用直方图中矩形面积和为 1,列出方程即可. (Ⅱ) 利润 ? 销售份数 ? (销 售价 ? 进价) ? 剩余份数 ? (进价 ? 回收价). (Ⅲ)注意直方图中区间中点作为统计 销售量,故有当天销售量可能为 200,300, 400 三种情况,进一步计算利润,写出分布列即可 求期望. 试题解析: (Ⅰ)由图可得: 100a ? 0.002 ?100 ? 0.003 ?100 ? 0.0035 ?100 ? 1 , 解得 . 分 .2 a ? 0.0015 (Ⅱ)? n ? X ,?Y ? (2 ? 1) X ? (n ? X )0.5 ? 1.5 X ? 0.5n . 分 .7

(Ⅲ)若当天进货量 n ? 400 ,依题意销售量 X 可能值为 200 , 300 , 400 ;对应的 Y 分 别为:100,250,400. 利润 Y 的分布列为:

Y P

100 0.20

250 0.35

400 0.45 12 分

所以, E (Y ) ? 0.20 ?100 ? 250 ? 0.35 ? 0.45 ? 400 ? 287.5 (元) 考点: 1.频率分布直方图;2.统计方法;3.期望. 48. (Ⅰ) P ?
2 2 54 Cn ? C2 n2 ? n ? 2 ; (Ⅱ) ; (Ⅲ) n ? 2 . ? 2 2 Cn ? 2 n ? 3n ? 2 125

答案第 34 页,总 37 页

【解析】
2 2 2 试题分析: (Ⅰ)先求出总事件为 Cn ? 2 ,两球颜色相同的事件有 Cn ? C2 ,然后得到结果;

(Ⅱ)先求出一次模球中奖的概率,又三次是独立重复试验,故可求得三次摸球中恰有一次 中奖的概率; (Ⅲ)先表示出三次摸球中恰有一次中奖的概率,再根据单调性就可求得 f ( p) 的最大值.
2 试题解析: (Ⅰ)一次摸球从 n ? 2 个球中任选两个,有 Cn ? 2 种选法,其中两球颜色相同有

2 2 Cn ? C2 种选法;

一次摸球中奖的概率 P ?

2 2 Cn ? C2 n2 ? n ? 2 , ? 2 2 Cn ? 2 n ? 3n ? 2

4分
2 ,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰 5

(Ⅱ)若 n ? 3 ,则一次摸球中奖的概率是 P ?
1 有一次中奖的概率是 P3 (1) ? C3 ? P ? (1 ? P)2 ?

54 . 125

8分

(Ⅲ)设一次摸球中奖的概率是 p ,则三次摸球中恰有一次中奖的概率
1 是 f ( p) ? C3 ? p ? (1 ? p)2 ? 3 p3 ? 6 p 2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 ,

? f '( p) ? 9 p 2 ? 12 p ? 3 ? 3 ? p ? 1?? 3 p ? 1? ,

? 1? ?1 ? ? f ( p) 在 ? 0, ? 是增函数,在 ? ,1? 是减函数, ? 3? ?3 ?

?当 p ?
?p?

1 时, f ( p) 取最大值 , 3

10 分

n2 ? n ? 2 1 ? (n ? 2, n ? N ?) , n2 ? 3n ? 2 3

?n ? 2 ,故 n ? 2 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.

12 分

考点:1.古典概型; 2.独立重复试验. 49. (Ⅰ) (Ⅱ) X P 0 1 2 3

128 245

2 7 51 49

22 49

10 49

3 49

EX ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先利用排列组合知识求出答对题目个数之和为 4 或 5 的人数,再利用古典 概型知识求解; (Ⅱ)先写出 X 的可能取值,再求相应的概率,写成分布列,最后利用公式 求期望值. 试题解析: (Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则

答案第 35 页,总 37 页

P( A) ?

2 1 1 1 1 C20 ? C10C15 ? C20C15 2 C50

(3 分)

?

190 ? 150 ? 300 128 , ? 25 ? 49 245

(5 分)

即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为

128 245

(6 分)

(Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 则 P( X ? 0) ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 350 2 ? ? , 2 C50 1225 7

(7 分)

P( X ? 1) ?

1 1 1 1 1 1 C5C10 ? C10C20 ? C20C15 550 22 ? ? , 2 C50 1225 49

(8 分)

1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 250 10 P( X ? 2) ? ? ? , 2 C50 1225 49 1 1 C5C15 75 3 ? ? . 2 C50 1225 49

(9 分)

P( X ? 3) ?

(10 分)

从而 X 的分布列为: X P 0 1 2 3 (11 分) 10 3 49 49 2 22 10 3 51 X 的数学期望 EX ? 0 ? ? 1? (12 分) ? 2 ? ? 3? ? . 7 49 49 49 49

2 7

22 49

考点:1.离散型随机变量的分布列及期望;2.古典概型;3.排列组合. 50. (1)

?
8

?

1 ; (2)详见解析 4

【解析】 试题分析: (1)首先判断这是一个几何概型,然后找出符合条件的区域与总区域的面积,利 用面积之比即可算出相应的古典概型的概率; (2)先确定这八个点连线距离的几种情况,然 后就不同的 ? 的值进行计算,利用离散型随机变量的计算方法列表并计算相应的数学期望。 试题解析: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其 面积是 2 ? 2 ? 4 . 1分 满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方形

? ABCD 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、圆心角为 的扇 2 形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部构成. 2分

答案第 36 页,总 37 页

D

G

C

H

F

A 其面积是

E

B

1 ? 2 ? ?1?1 ? 2 ? ?1 2 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 ? 4
2

1 ? ?? 4

? 2?

? ? 1. 2

3分

? 1 ? . 8 4

4分

(2) A、 、 、 E F G、 、 从 B C D 、 、 H 不同的线段.

2 这八个点中, 任意选取两个点, 共可构成 C8 ? 28 条

5分 其中长度为 1 的线段有 8 条, 长度为 2 的线段有 4 条, 长度为 2 的线段有 6 条, 长度为 5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条. 所以 ? 所有可能的取值为 1 , 2,2, 5,2 2 . 且 P ?? ? 1? ? 7分

8 2 ? , 28 7 8 2 P ?? 5 ? ? , 28 7

P ?? 2 ? P ? ?2

?

?

?

?

4 ? 28 ? 1 , 7 2 1 2? ? ? . 28 14

P ?? ? 2 ? ?

6 3 ? , 28 14

9分

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P
10 分

1

2
1 7

2

5

2 2
1 14

2 7

3 14

2 7

随机变量 ? 的数学期望为

2 1 3 2 1 5? 2 2 ? 2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? . 7 7 7 14 7 14
考点:几何概型、古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列与数学期望

12 分

答案第 37 页,总 37 页


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高三数学专项训练:概率与统计(理科)
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高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
高考理科数学概率题型归纳与练习(答案)_数学_高中...高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中...7. 解:(I)由题意知,本题是一个等可能事件的...
广东省2017届高三理科数学总复习专题突破训练:统计与概率
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2016届高三理科数学六大专题训练题(含详解)_图文
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2011.2.28高三数学理科中档题专项训练概率与统计
K = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 2 k0 2.706 高三数学理科中档题专项训练答案 高三数学理科中档题专项训练答案 ——概率与统计 概率与统计 ...
2014高三理科数学专项训练(二)——概率统计
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2013届高三理科数学高考专题训练15 计数原理、概率 Word版含答案]_高中教育_教育...答案:2 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 ...
...北大附中高考数学二轮专题训练:统计与概率(理科)
2014年北京市北大附中高考数学二轮专题训练:统计与概率(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年高考数学专题训练:统计与概率(理科)一、选择题(本大题共 ...
高中理科数学概率大题专项习题
高中理科数学概率题专项习题_数学_高中教育_教育专区。1、 如图,A、B 两点之间...6、一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率 p 与运动员离...
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