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数学必修5试题及答案(六)


高中数学必修五综合测试题(六)
一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a5+a8+a11 的值为 ( ) B.27 C.9 D.15 )

A.30

2.在△ABC 中,B=45° ,C=60° ,c=1,则最短边的边长等于( 6 A. 3 6 B. 2 1 C.2 3 D. 2



3.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图 象为( )

1 1 4.已知数列{an},满足 an+1= ,若 a1=2,则 a2012=( 1-an 1 A.2 B.2 C.-1 D.1

)

5.已知△ABC 中,b=30,c=15,∠C=29° ,则此三角形解的情况是( A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定

)

6.用钢管制作一个面积为 1m2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种 长度的钢管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是( )

A.4.6m

B.4.8m

C.5m

D.5.2m

7.公差不为零的等差数列的第 1 项、第 6 项、第 21 项恰好构成等比数列, 则它的公比为( 1 A.3 1 B.-3 ) C.3 D.-3

8.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x- 2y≥0},若向区域 Ω 内随机投一点 P,则点 P 落在区域 A 内的概率为( 1 A.3 2 B.3 1 C.9 2 D.9 ) )

9.设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是( A.-2 2 5 3 B.- 3 C.-3

7 D.-2 )

10.钝角△ABC 的三边长为连续自然数,则这三边长为( A.1,2,3 B.2,3, C.3,4,5 D.4,5,6

nπ 11.(2012· 福建文,11)数列{an}的通项公式 an=ncos 2 ,其前 n 项和为 Sn, 则 S2012 等于( A.1006 ) B.2012 C.503 D.0

12.在 R 上定义运算⊕:x⊕y=x(1-y),若不等式(x-a)⊕(x+a)<1 对任意 实数 x 成立,则( A.-1<a<1 二、填空题 13 .等比数列 {an} 和等差数列 {bn} 中, a5 = b5,2a5 - a2a8 = 0 ,则 b3 + b7 = ________. π 14.(2011· 四川资阳模拟)在△ABC 中,∠A= ,BC=3,AB= 6,则∠C 3 =________. ) 1 3 C.-2<a<2 3 1 D.-2<a<2

B.0<a<2

?x+2y-3≤0 15. 已知变量 x, y 满足约束条件?x+3y-3≥0 ?y-1≤0

, 若目标函数 z=ax+y(其

中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为_____. 16.已知点(1,t)在直线 2x-y+1=0 的上方,且不等式 x2+(2t-4)x+4>0

恒成立,则 t 的取值集合为________. 三、解答题 17.和为 114 的三个数是一个公比不为 1 的等比数列的连续三项,也是一个 等差数列的第 1 项,第 4 项,第 25 项,求这三个数.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, π C=3.(1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

19.为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,去年冬天,某水利工程队 在河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农 田改造成面积为 10 000m2 的矩形鱼塘, 其四周都留有宽 2m 的路面, 问所选的农 田的长和宽各为多少时,才能使占有农田的面积最小.

20.(1)如图,从相距 165m 的 A、B 两观察站测 C、D 两个目标的视角都是 30° ,同时知道 A 在 C 的正南、B 在 D 的正东,求 C、D 两个目标间的距离.

(2)台湾是祖国不可分割的一部分,祖国的统一是两岸人民共同的愿望,在 台湾海峡各自的海域内, 当大陆船只与台湾船只相距最近时,两船均相互鸣笛问 好,一天,海面上离台湾船只 A 的正北方向 100 海里处有一大陆船只 B 正以每 小时 20 海里的速度沿北偏西 60 度角的方向行驶,而台湾船只 A 以每小时 15 海 里的速度向正北方向行驶,若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?

21.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x, (1)求 g(x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.

22.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单 位铁质,售价 2 元,若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问: 应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养需求,又使费用最省?

高中数学必修五综合测试题(六)
详解答案 1D 2A 3C 4B 5B

6C

7C

8D

1 ×4×2 S△OBE 2 4 2 由几何概型知,所求概率 P= =1 =18=9. S△OCD 2×6×6 9C 10B 11A 12C 134 π 144

?1 ? 15?2,+∞? ? ? 17[解析]

16{t|3<t<4}

a a 由题意,设这三个数分别是q,a,aq,且 q≠1,则q+a+aq=114 ①

a 令这个等差数列的公差为 d,则 a=q+(4-1)· d. 1 a 则 d=3(a-q), a 1 ? a? 又有 aq=q+24×3×?a-q? ? ? ②

由②得(q-1)(q-7)=0,∵q≠1,∴q=7 代入①得 a=14,则所求三数为 2,14,98. 18[解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ABC 的

2 2 ?a +b -ab=4, 1 面积等于 3,所以2absinC= 3,得 ab=4.联立方程组? 解得 a ?ab=4,

=2,b=2. (2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA, π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A=2,B=6,a= 3 ,b= 3 , 当 cosA≠0 时,得 sinB = 2sinA ,由 正弦 定理得 b = 2a ,联 立 方程组
2 2 ?a +b -ab=4, ? ?b=2a,

2 3 4 3 解得 a= 3 ,b= 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S=2absinC= 3 . 19[解析] 设鱼塘的长为 xm, 宽为 ym, 则农田长为(x+4)m, 宽为(y+4)m,

设农田面积为 S.则 xy=10 000, S=(x+4)(y+4)=xy+4(x+y)+16=10 000+16+4(x+y)≥10 016+8 xy =10 016+800=10 816. 当且仅当 x=y=100 时取等号. 所以当 x=y=100 时,Smin=10 816m2. 此时农田长为 104m,宽为 104m. 20[解析] (1)由∠DAC=∠DBC=30° ,得 A、B、C、D 共圆,

∴∠ACD=∠ABD. 又 CD AD AD AB = , = . sin∠DAC sin∠ACD sin∠ABD sin∠ADB

由已知可求得∠ADB=60° , 165· sin30° ∴CD= sin60° =55 3(m). (2)设 x 小时后,B 船至 D 处,A 船至 C 处,BD=20x,BC=100-15x,∵

20 x>0,100-15x>0,∴0<x< 3 , 由余弦定理: DC2=(20x)2+(100-15x)2-2· 20x· (100-15x)· cos120 ° =325x2-1 000x+10 000 20? 20? 10 000 ? ? =325?x-13?2+10 000- 13 .?0<x< 3 ? ? ? ? ? 20 ∴x=13小时后,两船最近,可鸣笛问好. 21[解析] P(x,y), x0+x ? ? 2 =0 则? y0+y ? ? 2 =0 ?x0=-x ,即? ?y0=-y (1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为



∵点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|可得 2x2-|x-1|≤0, 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0, 此时不等式无解, 当 x<1 时,2x2+x-1≤0, 1 ∴-1≤x≤2, 1 因此,原不等式的解集为[-1,2]. 22[解析] +2y 元. 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质,可表示为 5x+7y≥35,同理,对铁质的 要求可以表示为 10x+4y≥40,即 5x+2y≥20, 设甲、乙两种原料分别用 10 x g 和 10y g,需要的费用为 z=3x

?5x+7y≥35, 问题成为:在约束条件?5x+2y≥20, ?x≥0,y≥0,
下,求目标函数 z=3x+2y 的最小值,作出可行域,如图所示:

令 z=0,作直线 l0:3x+2y=0. 由图形可知,把直线 l0 平移至经过点 A 时,z 取得最小值. ?5x+7y=35 ?14 ? 由? 得 A? 5 ,3?. ? ? ?5x+2y=20 14 所以用甲种原料 5 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g),费用最省.


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