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等差数列1-2


2.2 等差数列? 2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式? 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念, 接着用不完全归纳法归纳出等差数 列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观 察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动观 察——分析概括——师生互动, 形成概念——启发引导, 演绎结论——拓展开放, 巩固提高. 在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.? 在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识 的形成和发展过程, 激发他们的学习兴趣, 发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体 地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般的认 知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学 问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化.? 教学重点 理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单 的问题.? 教学难点 (1)等差数列的性质,等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;? (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备 多媒体课件,投影仪 三维目标 一、知识与技能? 1.了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是 等差数列;? 2.正确认识使用等差数列的各种表示法, 能灵活运用通项公式求等差数列的首项、 公差、 项数、指定的项.? ? 二、过程与方法? 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力;? 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.? ? 三、情感态度与价值观? 通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新 知的创新意识.? ? 教学过程 导入新课? 师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项 公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列 的例子:(课本 P41 页的 4 个例子)? (1)0,5,10,15,20,25,…;? (2)48,53,58,63,…;? (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…;? (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,….? 请你们来写出上述四个数列的第 7 项.? 生 第一个数列的第 7 项为 30,第二个数列的第 7 项为 78,第三个数列的第 7 项为 3,第四 个数列的第 7 项为 10 510.? 师 我来问一下,你依据什么写出了这四个数列的第 7 项呢?以第二个数列为例来说一说.? 生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多 5,依据这个规律性我得到了这个数列的第 7

项为 78.? 师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下, 看看以上四个数列有什么共同特征?我说的 是共同特征.? 生 1 每相邻两项的差相等,都等于同一个常数.? 师 作差是否有顺序,谁与谁相减?? 生 1 作差的顺序是后项减前项,不能颠倒.? 师 以上四个数列的共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等 差);我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.? 这就是我们这节课要研究的内容.? ? 推进新课 等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).? (1)公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;? (2)对于数列{an},若 an-a n-1=d(与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N*,则此数列是等差数 列,d 叫做公差.? 师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念,能否抓住定义中的关键字, 是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念,以培养学生分析问题、认识问题的能力)? 生 从“第二项起”和“同一个常数”.? 师 很好!? 师 请同学们思考:数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 生 数列(1)通项公式为 5n-5,数列(2)通项公式为 5n+43,数列(3)通项公式为 2.5n-15.5,…. 师 好,这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式,实质上这几个通项公 式有共同的特点,无论是在求解方法上,还是在所求的结果方面都存在许多共性,下面我们 来共同思考.? [合作探究]? 等差数列的通项公式? 师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的, 若一个等差数列{an}的首项是 a1, 公差是 d,则据其定义可得什么?? 生 a2-a1=d,即 a2=a1+d.? 师 对,继续说下去!? 生 a3-a2=d,即 a3=a2+d=a1+2d;? a4-a3=d,即 a4=a3+d=a1+3d;? ……? 师 好!规律性的东西让你找出来了,你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?? 生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d.? 师 很好!这样说来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通 项 an 了.需要说明的是:此公式只是等差数列通项公式的猜想,你能证明它吗?? 生 前面已学过一种方法叫迭加法,我认为可以用.证明过程是这样的:? 因为 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到:an=a1+(n-1)d.? 师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.? [教师精讲]? 由上述关系还可得:am=a1+(m-1)d,? 即 a1=am-(m-1)d.?

则 an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,? 即等差数列的第二通项公式 an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)? 由此我们还可以得到 d ?

am ? an .? m?n

[例题剖析]? 【例 1】 (1)求等差数列 8,5,2,…的第 20 项;? (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?? 分析(1)? 师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第 20 项吗?? 生 1 这题太简单了!首项和公差分别是 a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为 n=20,所以由等差数列的 通项公式,得 a20=8+(20-1)× (-3)=-49.? 师 好!下面我们来看看第(2)小题怎么做.? 分析(2)? 生 2 由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4 得数列通项公式为 an=-5-4(n-1).? 由题意可知, 本题是要回答是否存在正整数 n, 使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得 n=100, 即-401 是这个数列的第 100 项.? 师 刚才两个同学将问题解决得很好,我们做本例的目的是为了熟悉公式,实质上通项公式 就是 an,a1,d,n 组成的方程(独立的量有三个).? 说明:(1)强调当数列{an}的项数 n 已知时,下标应是确切的数字;(2)实际上是求一个方程 的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少,可向学生着重点出本问题的实质:要判断 -401 是不是数列的项, 关键是求出数列的通项公式 an, 判断是否存在正整数 n, 使得 an=-401 成立.? 【例 2】 已知数列{an}的通项公式 an=pn+q,其中 p、q 是常数,那么这个数列是否一定是 等差数列?若是,首项与公差分别是什么?? 例题分析:? 师 由等差数列的定义,要判定{an}是不是等差数列,只要根据什么?? 生 只要看差 an-an-1(n≥2)是不是一个与 n 无关的常数.? 师 说得对,请你来求解.? 生 当 n≥2 时, 〔取数列{an}中的任意相邻两项 an-1 与 an(n≥2)〕? an-an-1=(pn+1)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p 为常数,? 所以我们说{an}是等差数列,首项 a1=p+q,公差为 p.? 师 这里要重点说明的是:? (1)若 p=0,则{an}是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,….? (2)若 p≠0, an 是关于 n 的一次式, 则 从图象上看, 表示数列的各点(n,n)均在一次函数 y=px+q a 的图象上,一次项的系数是公差 p,直线在 y 轴上的截距为 q.? (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项 an=pn+q(p、q 是常数),称其为第 3 通项公式. 课堂练习 (1)求等差数列 3,7,11,…的第 4 项与第 10 项.? 分析: 根据所给数列的前 3 项求得首项和公差, 写出该数列的通项公式, 从而求出所?求项. 解:根据题意可知 a1=3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为 an=3+(n-1)× 4,即 an=4n-1(n≥1,n ∈N*).∴a4=4× 4-1=15,a 10=4× 10-1=39.? 评述:关键是求出通项公式.? (2)求等差数列 10,8,6,…的第 20 项.? 解:根据题意可知 a1=10,d=8-10=-2.?

所以该数列的通项公式为 an=10+(n-1)× (-2),即 an=-2n+12,所以 a20=-2× 20+12=-28.? 评述:要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.? (3)100 是不是等差数列 2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.? 分析:要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项,其关键是要看是否存在一个正整数 n 值,使得 an 等于这个数.? 解:根据题意可得 a1=2,d=9-2=7.因而此数列通项公式为 an=2+(n-1)× 7=7n-5.? 令 7n-5=100,解得 n=15.所以 100 是这个数列的第 15 项.? (4)-20 是不是等差数列 0, ? 3 由.?

1 ,-7,…的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理 2

1 7 7 n ? .? 2 2 2 7 7 47 7 7 令 ? n ? ? ?20 ,解得 n ? .因为 ? n ? ? ?20 没有正整数解,所以-20 不是这个数 2 2 7 2 2
解:由题意可知 a1=0, d ? 3 ,因而此数列的通项公式为 an ? ? 列的项.? ? 课堂小结 师(1)本节课你们学了什么?(2)要注意什么?(3)在生活中能否运用?(让学生反思、 归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)? 生 通过本课时的学习,首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式 a n-a n-1=d(n≥2);其 次要会推导等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d(n≥1).? 师 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道 an,a1,d,n 中任意三个,应用方程的思想, 可以求出另外一个.最后,还要注意一重要关系式 an=am+(n-m)d 和 an=pn+q(p、q 是常数)的 理解与应用.? ? 布置作业 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 1 题,B 组第 1 题.? ? 板书设计 等差数列的概念、等差数列的通项公式 1.定义? 2.数学表达式? 3.等差数列的通项公式 例 1.(略)? 例 2.(略)

练习

2.2.2 等差数列通项公式? 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念, 进一步熟练掌握等差数列的通项公式 及其推导的公式, 并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质; 让学生明白一个数列的通 项公式是关于正整数 n 的一次型函数, 那么这个数列必定是一个等差数列, 使学生学会用图 象与通项公式的关系解决某些问题.? 在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.在教学过程中, 遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程, 激发他们的学习兴趣, 发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位, 通过等差数列 概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识.? 通过对等差数列的研究, 使学生明确等差数列与一般数列的内在联系, 从而渗透特殊与 一般的辩证唯物主义观点,通过等差数列的图象的应用,通过等差数列通项公式的运用,渗 透方程思想,进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究,主动学习,提 高学生学习积极性,也提高了课堂的教学效果.? 教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.? 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.? 教具准备 多媒体及课件? ? 三维目标 一、知识与技能? 1.明确等差中项的概念;? 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差数 列的性质;? 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.? ? 二、过程与方法? 1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通 项公式的运用,渗透方程思想;? 2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.? ? 三、情感态度与价值观? 1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点;? 2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣.? ? 教学过程 导入新课 师 同学们,上一节课我们学习了等差数列的定义,等差数列的通项公式,哪位同学能回忆 一下什么样的数列叫等差数列?? 生 我回答,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数, 即 an-a n-1=d(n≥2,n∈N *),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通 常用字母“d”表示).? 师 对,我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么?? 生 1 等差数列{an}的通项公式应是 an=a1+(n-1)d.? 生 2 等差数列{an}还有两种通项公式:an=am+(n-m)d 或 an=pn+q(p、q 是常数).? 师 好!刚才两位同学说得很好,由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差 d 的

an ? a1 a ? am ;③ d ? n .你能理解与记忆它们吗? n ?1 n?m a ? a1 a ? am 生 3 公式② d ? n 与③ d ? n 记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标 n ?1 n?m
公式:①d=an-a n-1;② d ? 之差).? [合作探究]? 探究内容:如果我们在数 a 与数 b 中间插入一个数 A,使三个数 a,A,b 成等差数列,那么 数 A 应满足什么样的条件呢?? 师 本题在这里要求的是什么?? 生 当然是要用 a,b 来表示数 A.? 师 对,但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?? 生 由定义可得 A -a=b-A,即 A ? 反之,若 A ?

a?b ,则 A-a=b-A,? 2 a?b 由此可以得 A ? ? a,A,b 成等差数列.? ? 2
推进新课? 我们来给出等差中项的概念:若 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.? 根据我们前面的探究不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.? 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5 是 3 与 7 的等差中项,也是 1 和 9 的等差中项.? 9 是 7 和 11 的等差中项,也是 5 和 13 的等差中项.? [方法引导]? 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a,A,b 成等差数列? 2 A=a+b,以促成将等差 数列转化为目标量间的等量关系或直接由 a, b 间的关系证得 a, b 成等差?数列.? ? A, A, [合作探究]? 师 在等差数列{an}中,d 为公差,若 m,n,p,q∈N*且 m+n=p+q,那么这些项与项之间有何种 等量关系呢?? 生 我得到了一种关系 am+an=ap+aq.? 师 能把你的发现过程说一下吗?? 生 受等差中项的启发,我发现 a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.? 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq.? 师 你所得的这关系是归纳出来的,归纳有利于发现,这很好,但归纳不能算是证明!我们 是否可以对这归纳的结论加以证明呢?? 生 我能给出证明,只要运用通项公式加以转化即可.设首项为 a1,则? am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,? ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.? 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等,所以 am+an=ap+aq.? 师 好极了!由此我们的一个重要结论得到了证明:在等差数列{an}的各项中,与首末两项 等距离的两项的和等于首末两项的和.另外,在等差数列中,若 m+n=p+q,则上面两式的右边 相等,所以 am+an=ap+aq.? 同样地,我们还有:若 m+n=2p,则 am+an=2ap.这也是等差中项的内容.? 师 注意:由 am+an=ap+aq 推不出 m+n=p+q,同学们可举例说明吗??

a?b .? 2

生 我举常数列就可以说明了.? 师 举得好!这说明在等差数列中,am+an=ap+aq 是 m+n=p+q 成立的必要不充分条件. [例题剖析]? 【例 1】 在等差数列{an}中,若 a1+a6=9,a4=7,求 a3,a9.? 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项?? 生 1 在通常情况下是先求其通项公式,再根据通项公式来求这一项.? 生 2 而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意 两项(知道任意两项就知道公差,这在前面已研究过了).? 生 3 本题中,只已知一项和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手……? 师 好,我们下面来解,请一个同学来解一解,谁来解?? 生 4 因为{an}是等差数列,所以 a1+a6=a4+a3=9?a3=9-a4=9-7=2,? 所以可得 d=a4-a3=7-2=5.? 又因为 a9=a4+(9-4)d=7+5× 5=32,所以我们求出了 a3=2,a9=32.? 【例 2】 (课本 P44 的例 2) 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初 的 4 千米(不含 4 千米)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地,且一 路畅通,等候时间为 0,需要支付多少元的车费?? 师 本题是一道实际应用题,它所涉及到的是什么知识方面的数学问题?? 生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.? 师 为什么?? 生 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时,每增加 1 km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.? 师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?? 生 分别是 11.2,1.2.? 师 好,大家计算一下本题的结果是多少?? 生 需要支付车费 23.2 元.? (教师按课本例题的解答示范格式)? 评述: 本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用, 做此题的目的是让大家学会从实 际问题中抽象出等差数列的模型,用等差数列知识解决实际问题.? ? 课堂练习 1.在等差数列{an}中,? (1)若 a5=a,a10=b,求 a15.? 解:由等差数列{an}知 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以 a15=2b-a.? (2)若 a3+a8=m,求 a5+a6.? 解:等差数列{an}中,a5+a6=a3+a8=m.? (3)若 a5=6,a8=15,求 a14.? 解:由等差数列{an}得 a8=a5+(8-5)d,即 15=6+3d,所以 d=3.? 从而 a14=a5+(14-5)d=6+9× 3=33.? (4)已知 a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求 a11+a12+…+a15 的值.? 解:等差数列{an}中,因为 6+6=11+1,7+7=12+2,……? 所以 2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……? 从而(a11+a12? +…+ 15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),? a 因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)? =2× 80-30=130.? 2.让学生完成课本 P45 练习 5.?

教师对学生的完成情况作出小结与评价.? [方法引导]? 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质, 因此, 首先要熟练掌握等差数列的 性质,其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.? ? 课堂小结? 师 通过今天的学习,你学到了什么知识?有何体会?? 生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而达 到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)? ? 布置作业? 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 4、5 题.? 预习内容:课本 P48~P52.? 预习提纲:①等差数列的前 n 项和公式;②等差数列前 n 项和的简单应用.? ? 板书设计 等差数列通项公式 等差中项 在等差数列{an}中,? 若 m、n、p、q∈N*且 m+n=p+q,? 则 am+an=ap+aq 例题?


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