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22.2.3 降次—解一元二次方程--因式分解法


九年级数学(上)

回顾与复习 1

我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:

(x+h)2=k (k≥0)
2

? b ? b ? 4ac 2 (3)公式法: x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a

?

?



? 考

问题1. 根据物理学规律,如果把一个物体从
地面以10m/s秒的速度竖直上抛,那么经过 2 X秒物体离地高度10X-4.9X (单位:米)你 能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地 面吗?(精确到0.01S)

10X-4.9X =0

2



方程①的右边为0,左边可因式分解,得

x ?10 ? 4.9 x ? ? 0.
于是得

如果a· b=0 那么a=0或 b=0.

x ? 0 或   ? 4.9 x ? 0, 10
100 x1 ? 0,  x2 ? ? 2.04. 49

上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面,面 x1=0表示物体被上抛时离地面的时刻,即在0s时物体 被抛出,此刻物体的高度是0m.

10 ? 4.9 x ? ? 0 以上解方程 x? 的方法是如何使二次方程降 为一次的?

x? 10 ? 4.9 x ? ? 0

① ②

x ? 0 或   ? 4.9 x ? 0, 10

可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开 方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而 实现降次,这种解法叫做因式分解法.

问题2
? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3x.
小颖是这样解的 : 解 : x 2 ? 3x ? 0.
(?3) 2 ? 4 ?1? 0 ? 9.
3? 9 . 2 ? 这个数是0或3. ?x ?

小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 ? 3x两 边都同时约去x, 得. ?x ? 3.

? 这个数是3.

小颖做得对吗?

小明做得对吗?

你能解决这个问题吗
? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3x.
小亮是这样想的 :
如果a ?b ? 0,
那么a ? 0或b ? 0 或a ? b ? 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.

小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 ? 3x, 得 x 2 ? 3x ? 0. ? x?x ? 3? ? 0. ? x ? 0, 或x ? 3 ? 0. ? x1 ? 0, x2 ? 3. ? 这个数是0或3.

小亮做得对吗?

分解因式法
? 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法. ?1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:

? 方程左边易于分解,而右边等于零; ?2.理论依据是.

“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零”

? 你能用分解因式法解下列方程吗?
1. x2-4=0; 解: (x+2)(x-2)=0, 2. (x+1) 2-25=0.

解: [(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-6, x2=4.

∴x+2=0,或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.

这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?

学习是件很愉快的事

因式分解法解题框架图
解:原方程可变形为: =0

( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A

=0或 一次因式B =0

∴ x1= A解 , x2= B解
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简记歌诀: 右化零
两因式

左分解
各求解

例3 解下列方程:

解:x( x ? 2) ? ?x ? 2? ? 0,

(1)x(x-2)+x-2=0;

1 3 2 (2)5 x ? 2 x ? ? x ? 2 x ? , 4 4
2

解 : 移项, 合并同类项, 得:

?x ? 2??x ?1? ? 0.

? x ? 2 ? 0, 或x ? 1 ? 0.

(2x ? 1)?2x ?1? ? 0.

4 x ? 1 ? 0,
2

? 2x ? 1 ? 0, 或2x ?1 ? 0. ? x1 ? 2, x2 ? ?1. 1 1 ? x1 ? ? ; x2 ? . 2 2 ?分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.

下面的解法正确吗?如果不正确, 错误在哪?

解方程
解方程

(x ? 5)(x ? 2) ? 18
( x ? 5)( x ? 2) ? 18

解: 原方程化为 ( x ? 5)( x ? 2) ? 3 ? 6 由x ? 5 ? 3,得x ? 8; 由x ? 2 ? 6,得x ? 4.

(

?

)

? 原方程的解为x1 ? 8或x2 ? 4.

用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;

(1)解 : 5 x ? 4 x ? 0,
2

x?5x ? 4? ? 0.

? x ? 0, 或5x ? 4 ? 0.
4 ? x1 ? 0; x2 ? . 5
(3)利用十字相乘法: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

?2?解:x ? 2 ? x?x ? 2? ? 0, ?x ? 2??1 ? x? ? 0.
? x ? 2 ? 0, 或1 ? x ? 0. ? x1 ? 2; x2 ? 1.
(3)x +6x-7=0
2

(2)x-2=x(x-2);

解: ?1)( x ? 7) ? 0 (x

1 1

?1 ?7

x ? 1 ? 0或x ? 7 ? 0

? x1 ? 1, x2 ? ?7

1.解下列方程 (1) x(2x ? 1) ? 4x ? 2 3

解 : (2 x ? 1)(3x ? 2) ? 0.
1 2 x1 ? ? , x2 ? . 2 3

2 2 (2)(x ? 4) ? (5 ? 2x )

解 : x ? 4 ? ?(5 ? 2x). x1 ? 3, x2 ? 1.

2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.

解:设小圆形场地的半径为r.

? (r ? 5) ? 2?r
2 2

2

r?

10 ? 2

200

.

r ? 10r ? 25 ? 0

负值舍去 ,?r ? 5 ? 5 2.

4.用分解因式法解下列方程
1.x2 ? (5 ? 2 ) x ? 5 2 ? 0
x2 ? ( 3 ? 5) x ? 15 ? 0 ; 2.

3.x 2 ? (3 ? 2 ) x ? 18 ? 0;

?1?.x1 ? ?5; x2 ? 2. ?2?.x1 ? 5; x2 ? ? 3. ?3?.x1 ? 3; x2 ? 2.
1 4 ?4?.x1 ? ? ; x2 ? ? . 2 7 5 ?5?.x1 ? ?2; x2 ? . 3

(4x ? 2)2 ? x(2x ? 1) ; 4.

5.3x( x ? 2) ? 5( x ? 2);

我最棒

用分解因式法解下列方程
2

6.(3x ? 1) ? 5 ? 0; 7.2( x ? 3) ? x?x ? 3?;
2

? 6 ? .x1 ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ; x2 ? 3 3

?7?.x1 ? ?3, x2 ? ?6.

8.(x ? 1) ? 3?x ? 1? ? 2 ? 0;
2

?8?.x1 ? 0; x2 ? 1.
?9?.x1 ? ?3, x2 ? ?9. ?10? .x1 ? ?3, x2 ? ?9.

9.x ? 12x ? 27 ? 0;
2

10.2( x ? 3) ? x ? 9.
2 2

下课了!

结束寄语

? 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解.

争先赛
1.解下列方程: ?1??x ? 2??x - 4? ? 0

? 2? 4x ? 2x ? 1? ? 3 ? 2x ? 1?.

解 :?1?.x ? 2 ? 0, x ? 4 ? 0. 或 ?x1 ? ?2; x2 ? 4.

?2?.4x?2x ? 1? ? 3?2x ? 1? ? 0,
?2x ? 1??4x - 3? ? 0,
? 2 x ? 1 ? 0, 或4 x ? 3 ? 0. 1 3 ? x1 ? ? , x2 ? . 2 4

动脑筋
x 2 ? 3 x(3 ? 2 x) x(3x ? 1) (3). ? ? 3 2 3

解:去分母,得 2( x 2 ? 3) ? 3x(3 ? 2 x) ? 2 x(3x ? 1),

去括号,移项,合并同类项,得 2 x ? 7 x ? 6 ? 0,
2

( x ? 2)( 2 x ? 3) ? 0

x ? 2 ? 0或2 x ? 3 ? 0
3 ? x1 ? 2, x2 ? . 2

2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解:设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.

7 ? x1 ? 0, x2 ? . 2


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