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山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试数学(文)试题
2015.03 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分, 共 5 页。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在 答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 集合 A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x x 2 ? x ? 0 ,则A ? B ? A.R B.

?

?

?

?

0? ? ?1 , 2? ? ??,

, 2 C. ? D. ?1

?

2. 已知 t ? R, i 为虚数单位,复数 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? t ? i,且z1 ? z2 是实数,则 t 等于 A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4
2

3. 设 a , b 为实数,命题甲: a ? b ? 0 ,命题乙: ab ? b ,则命题甲是命题乙的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知某几何体的三视图如右图,则该几何体的表面积是 A.24 C.36 B. 36 ? 6 2 D. 36 ? 12 2

?y ? x ? 5. 已知 x,y 满足 ? x ? y ? 2,且z ? 2 x ? y 的最大值是最 ?x ? a ?
小值的 4 倍,则 a 的值是 A. 4 B.

3 4

C.

2 11

D.
o

1 4

6. 如右图,在 ?ABC中,AB ? BC ? 4, ?ABC ? 30 , AD 是边

-1-

BC 上的高,则 AD ? AC 的值等于 A.0 C.8 B.4 D. ?4

uuu r uuu r

7. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

8. 函 数 f

? x? ?

?? ? As i n?? x ? ?? ? 其中 A ? 0 , ?? , 0 ?? ? 的 图 象 如 图 所 示 , 为 了 得 到 2? ?

g ? x ? ? sin 2x 的图象,则只需将 f ? x ? 的图象
? 个长度单位 6 ? B. 向右平移 个长度单位 3 ? C. 向右平移 个长度单位 6 ? D. 向左平移 个长度单位 3
A. 向左平移 9. 已 知 抛 物 线 y ? 2 px ? p ? 0? 上 一 点 M ?1, m?? m? 0 ? 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 ,双 曲 线
2

x2 ? y 2 ? 1的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是 a
A.

1 9

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 3

10. 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f? ? x ? ,当 x?0 时,

f ?? x? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1 ? f ? ? ,b ? ? 2 f ?? 2 ?, c ? ?2?
C. a ? c ? b

? 1 ? ? 1? ?ln ? f ?ln ? ,则 a, b, c 的大小关 ? 2 ? ? 2?
D. c ? a ? b

系正确的是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 3, ?C ?

2? ,则a ? ________. 3

-2-

12. 在某市“创建文明城市”活动中,对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直 方图(左下图) ,但是年龄组为 25,30? 的数据不慎丢失,据此 估计这 800 名志愿者年龄在 25,30? 的人数为______.

?

?

13. 运行如右上图所示的程序框图,则输出的结果 S 为________.

?2?2 x , x ? ?1, 14. 已知函数 f ? x ? ? ? 则满足 f ? a ? ? 2 的实数 a 的取值范围是________. ?2 x ? 2, x ? ?1,
15. 已知数集 A ? ?a1, a2 , a3 , a4 , a5?? 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 具有性质 p: 对任意 i, j ? Z,其中 1 ? i ? j ? 5 ,均有 a j ? ai ? A.若a5 ? 60,则a3 ? _________.

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名, 女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估, 学校按性别采用分层抽样的方法抽取 5 人 进行考核. (I )求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (II )考核前,评估小组打算从抽取的 5 人中随机选出 2 名同学进行访谈,求选出的两名同学 中恰有一名女同学的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2a sin ? x cos ? x ? 2 3 cos 正周期为 ? . (I )求函数 f ? x ? 的解析式及其对称轴方程; (II )若 f
2

? x ? 3 ? a ? 0,? ? 0? 的最大值为 2,且最小

?? ? ?

4 ?? ? , 求 sin ? 4? ? ? 的值. 3 6? ?

-3-

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四边形 ABCD 是正方形, PD ? 平面 ABCD ,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H 分别为 PB,BE,PC 的中点. (I )求证:GH//平面 PDAE; (II )求证:平面 FGH ? 平面 PCD.

19. (本小题满分 12 分)

?1 ? a ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 n ?an ? 3n, n为偶数. ?
(I )证明数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (II )若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 S 2 n .

? ?

3? 2?

20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,其中 F1 , F2 为左、右焦点,且离心率 e ? ,直线 l a b 3
与椭圆交于两不同点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? . 当直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2 且倾斜角为

? 时,原点 4

O 到直线 l 的距离为

2 . 2

(I )求椭圆 C 的方程; (II )若 OP ?OQ ?ON ,当 ? OPQ 面积为

uu u r uuu r uuu r

6 时,求 2

uuu r uuu r ON ? PQ 的最大值.
21. (本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ? x ? ? sin x, g ? x ? ? e ? f ? ? x ? ,其中 e 为自然对数的底数.

(I )求曲线 y ? g ? x ? 在点 0, g ? 0? 处的切线方程; (II )若对任意 x ? ? ?

?

?

? ? ? , 0 ,不等式 g ? x ? ? x ? f ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? 2 ? ?

-4-

(III )试探究当 x ? ? ?

? ? ? ? 时,方程 g ? x ? ? x ? f ? x ? 的解的个数,并说明理由. , ? 2 2? ?

-5-

2015 年高三模拟考试

文科数学参考答案与评分标准

2015. 03

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 答案:DDABD BACAC 1. 答案 D . 解析:

A ? [0,2], B ? ?x | x ? 0或x ? 1?? A ? B ? (1,2] , 故选 D.

2. 答案 D. 解析: 复数 z1 ? 3 ? 4i,z2 ? t ? i ,所以 z1 ? z2 ? (3t ? 4) ? (4t +3)i , 又 z1· z2 是实数,所以 4t +3 ? 0 ,所以 t= ?

3 . 故选 D. 4

3. 答案 A. 解析: 由命题甲成立即 a ? b ? 0 ,可得 ab ? b2 ? (a ? b)b ? 0 ,即 ab ? b 2 命题乙成 立,而当命题乙成立时即 ab ? b2 ,可取 a ? 2, b ? 1 ,显然 a ? b ? 0 不成立,故选 A . 4. 答案 B. 解析:由题意知该几何体为四棱锥,底面是长为 4 、宽为 3 的长方形,一条侧棱和底

=24+6 2 ,底面积12 ,所以表面积 面垂直. 又故侧面积为 (4 ? 4+3 ? 4+4 ? 5+4 2 ? 3)
为 36+6 2 . 故选 B. 5. 答案 D. 解析:先画出可行域如右图:

1 2

由?

? y?x ?x ? a ,得 B (1,1),由 ? ,得 C(a,a), ?y ? x ?x ? y ? 2

当直线 z ? 2 x ? y 过点 B (1,1)时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大 值,最大值为 3;当直线 z ? 2 x ? y 过点 C(a,a)时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最 小值为 3a;由条件得 3 ? 4 ? 3a ,所以 a=

1 ,故选 D. 4

6. 答 案 B. 解 析 : 因 为 AB ? BC? 4, ? ABC? 30 , AD 是 边 BC 上 的 高 , AD=2 , 所 以

A D? A C? A D ?( A B ? B)C?

AD ? A? B

1 A?D B? 2 C 4 ? ? 2

4 ? , 故选 B.

7. 答案 A. 解析:本题可用排除法, f ?( x ) ? 又 f ?( ) ?

1 x ? sin x .∴ 函数 f ?( x ) 为奇函数,故 B、D 错误; 2

π ? 1 ? 0 ,故 C 错误;故选 A. 4 π π 8. 答案 C . 解析:由图象可得 A ? 1, ? ? 2, ? ? 所以 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ,将 f ( x) 的图象向右 3 3 π 平移 个单位可得 g ( x) 的图象,故选 C. 6

π 2

-6-

9. 答案 A. 解析: 由抛物线定义可得 M 点到准线的距离为 5 ,因此 p ? 8, 故抛物线方程为

y 2 ? 16x ,所以 M (1,4) ,点 A(? a ,0) ,由 AM 的斜率等于渐近线的斜率得
解得 a ?

4 1 , ? 1? a a

1 ,故答案为 A. 9

10. 答案 C. 解析:构造函数 h( x) ? xf ( x) ,∴ h?( x) ? f ( x) ? x ? f ?( x) , ∵y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,∴ h( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时, h?( x) ? f ( x) ? x ? f ?( x) ? 0 ,∴ 此时函数 h( x) 单调递增.∵ a?

1 1 1 f ( ) ? h( ) , 2 2 2

1 1 1 b ? ?2 f (?2) ? 2 f (2) ? h(2) , c ? (ln ) f (ln ) ? h(ln ) ? h(? ln 2) ? h(ln 2) , 2 2 2 1 又 ? ln 2 ? 2 ,? a ? c ? b. .故选 C. 2
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 答案:11.1 12.160
13. ?1007
2 2

14. (??, ?1]

[0, ??)

15. 30

11. 答案: 1. 解析: 在 ?ABC 中, 由余弦定理, 得 a ? 1 ? 2 ? a ? 1? cos 解得 a ? 1 .

2π ? ( 3) 2 ,又 a ? 0 , 3

12. 答 案 : 160. 解 析 : 设 年 龄 在 25,30? 的 志 愿 者 的 频 率 是 p , 则 有

?

5? 0 . 0 ?p 1 ?

? 5

0 .?0 7 ?

?. 0.2 5 ? 0 .? 0 ,解得 6 5 ? p0 0 ,故区间 2 1 ?25, 30 ? 内的人数是

800? 0.2? 160 .
13.答案: ?1007 . 解析:由程序框图可知

S ? 1? 2 ? 3 ?

? 2013 ? 2014 ? 1007 ? (?1) ? ?1007 .
1 , 此时 a ? ?1 ; 2

?2 a 14. 答案:(??, ?1] [0, ??) . 解析: 当 a ? ?1 时, f (a) ? 2 解得 a ? ? ?2,

当a

? ?1 时, f (a) ? 2a ? 2 ? 2 ,解得 a ? 0 ,此时 a ? 0 .
[0, ??) .

故实数 a 的取值范围是 (??, ?1]

30 .解析:由题意知, 15. 答案: 60 为集合中的最大数. 令 i ? j ? 1 , 则可得集合中的最小数 a1 ? 0 .
这样根据题意就有: 60 ? a2 ? a4 , 60 ? a3 ? a3 , 60 ? a4 ? a2 ,可见, a3 ? 30 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. 解: (Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为 5 ?

30 20 ? 3 ,女同学的人数为 5 ? ? 2 . ……4 分 50 50

-7-

(Ⅱ)记 3 名男同学为 A1 , A2 , A3 ,2 名女同学为 B1 , B2 . 从 5 人中随机选出 2 名同学,所有可 能的结果有 A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1 B2 , A 2A 3, A 2B 1, A 2 B2 , A 3B 1, A 3 B2 , B 1B2 ,共 10 个. ………7 分

用 C 表示: “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 6 个,它们是:

A1B1, A1B2 , A2 B1, A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 .
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P(C ) ? 17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos 2?x , 由题意 f ( x) 的周期为 π ,所以

………………10 分

6 3 ? . 10 5

………………12 分

2π ? π ,得 ? ? 1 2?

………………2 分

2 ? f ( x) 最大值为 2 ,故 a ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1

∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 令 2x ?

π ) 3

………………4 分 ……………… 6 分 ………………8 分

π π π kπ ? ? kπ ,解得 f ( x) 的对称轴为 x ? ? (k ? Z) . 3 2 12 2 4 π 4 π 2 (Ⅱ)由 f (? ) ? 知 2 sin(2? ? ) ? ,即 sin(2? ? ) ? , 3 3 3 3 3
∴ sin ? 4? ?

? ?

π? ? ? π ? π? π? ? ? ? sin ?2 ? 2? ? ? ? ? ? ? cos 2 ? 2? ? ? 6? 3 ? 2? 3? ? ? ?
2

………………10 分

π? 1 ? ?2? ? ?1 ? 2sin 2 ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 3? 9 ? ?3?
18. 解: (Ⅰ)分别取 PD 的中点 M ,EA 的中点 N . 连结 MH ,NG,MN . 因为 G,H 分别为 BE,PC 的中点,所以

………………12 分

MH

=

1 CD 2 ,

NG

1 = 2 AB
.

因为 AB 与 CD 平行且相等,所以 MH 平行且等于 NG , 故四边形 GHMN 是平行四边形. 所以 GH MN . ????4 分 又因为 GH ? 平面 PDAE , MN ? 平面 PDAE , 所以 GH 平面 PDAE . ??????6 分

(若通过面面平行来证明也可,酌情给分) (Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 因为 BC ? CD, PD CD ? D, 所以 BC ? 平面 PCD . 因为 F ,H 分别为 PB、PC 的中点,所以 FH 所以 FH ? 平面 PCD.

BC.

-8-

因为 FH ? 平面 FGH ,所以平面 FGH ? 平面 PCD . 19.解: (Ⅰ)设 bn ? a2 n ?

……………12 分

3 3 1 3 1 ,则 b1 ? a2 ? ? ( a1 ? 1) ? ? ? ,………………2 分 2 2 3 2 6

3 1 3 1 1 3 1 a ? (2n ? 1) ? (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? bn ?1 a2( n ?1) ? 2 3 2 n?1 2?3 2?3 2 ? 1. ? ? 因为 3 3 3 3 bn 3 a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 1 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. ……………………………6 分 2 6 3
3 1 ?1? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ?3?
即 a2 n ? ? 由 a2 n ?
n ?1

1 ?1? ? ? ?? ? , 2 ?3?
…………………8 分

n

1 ?1? 3 ?? ? ? , 2 ?3? 2

n

1 a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? , 3
n ?1

1 ?1? 得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? 2 ?3?
所以 a2 n?1 ? a2 n ? ?

? 6n ?

15 , 2

…………………10 分

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ? 3? ? ? 3? ?? 3 ? ?

S2 n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2 n?1 ? a2 n ?
n ? 1 ? 1? 2 ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? 6? 1 ? ? 2L ? n ? ? n 9 ? 3 ? ? ? 3 ? 3? ? ?

n 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 3? n(n ? 1) ? ?3? ? ? ? ?2 ? ? 6? ? 9n 1 2 1? 3

2 ?1? ?1? ? ? ? ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 ,……………………………………12 分 ?3? ? 3?

n

n

20. 解: (Ⅰ)因为直线 l 的倾斜角为

π , F2 (c,0) , 4

所以,直线 l 的方程为 y ? x ? c ,

由已知得

c 2 ? ,所以 c ? 1 . 2 2
-9-

又e ?

3 ,所以 a ? 3 , b ? 2 , 3

椭圆 C 的方程

x2 y 2 ? ?1 . 3 2

………………4 分

(Ⅱ) )当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 P ? x1 , y1 ? 在椭圆上,则 知 ON ? PQ = 2 6 .

x12 y12 6 6 ,则 x1 ? ? ? 1 ,而 S ? x1 y1 ? , y1 ? 1 3 2 2 2
……………………………………5 分

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入

x2 y 2 ? ? 1 可得 3 2
, 由题意 ? ? 0 , 即 3k 2 ? 2 ? m2 .

即( 2x2 ? 3(kx ? m)2 ? 6 , 2 ? 3 k ) 2 x2 6 ?k m x 3 ? m 2 6 ?0 ?

6km 3m2 ? 6 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

……………………………………7 分

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 2 ? 3k 2

d?

m 1? k 2

, S?POQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 6 ? d ? PQ ? m ? , 2 2 2 2 ? 3k 2

化为 4m2 (3k 2 ? 2 ? m2 ) ? (3k 2 ? 2)2 , (3k 2 ? 2)2 ? 2 2m2 (3k 2 ? 2) ? (2m2 )2 ? 0 , 即 (3k 2 ? 2 ? 2m2 )2 ? 0 .
2 2 则 3k ? 2 ? 2m ,满足 ? ? 0 ,

……………………………………9 分

由前知 x1 ? x2 ? ?

3k 2 2 3k ? 2m ? , , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ? m m m 9k 2 4 1 ? 2 ? 2(3 ? 2 ) . 2 m m m

ON ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

2

PQ ? (1 ? k 2 )
ON
2 2

2

24(3k 2 ? 2 ? m2 ) 2(2m2 ? 1) 1 ? ? 2(2 ? 2 ) ………………………11 分 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
1 1 1 1 )(2 ? 2 ) ≤ 25 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时等号成 2 m m m m

PQ ? 4(3 ?

- 10 -

立, 故 ON PQ ≤ 5 . 综上可知 ON PQ 的最大值为 5 . …………………………………… 13 分

21. 解: (Ⅰ)依题意得, g ? x ? ? ex ? cos x. g ? 0? ? e0 cos0 ? 1 ,

g ? ? x ? ? ex cos x ? ex sin x,

g ?(0) ? 1 .
…………………… 4 分

所以曲线 y ? g ? x ? 在点 (0, g (0)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .

? π ? (Ⅱ)等价于对任意 x ? ? ? ,0? , m ≤[ g ? x ? ? x ? f ? x ?]min .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 2 ? ? π ? 设 h( x) ? g ? x ? ? x ? f ? x ? ? ex cos x ? x sin x , x ? ? ? ,0? . ? 2 ? x x x 则 h? ? x ? ? e cos x ? e sin x ? sin x ? x cos x ? e ? x cos x ? e x ? 1 sin x

? ? π ? 因为 x ? ? ? ,0? ,所以 ? e ? x ? cos x ≥ 0, ? e ? 2 ?
x

?

?

?

x

? 1 sin x ≤ 0,

?

? π ? 所以 h? ? x ?… · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 0 ,故 h( x) 在 ? ? , 0? 单调递增, · ? 2 ? π π ? π? 因此当 x ? ? 时,函数 h( x) 取得最小值 h ? ? ? ? ? ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2 ? 2? π? ? π 所以 m ? ? ,即实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2? 2 ? π π (Ⅲ)设 H ( x) ? g ? x ? ? x ? f ? x ? ? ex cos x ? x sin x , x ? [? , ] . 2 2 ? π ? ? π ? ①当 x ? ? ? ,0? 时,由(Ⅱ)知,函数 H ( x) 在 ? ? , 0? 单调递增, ? 2 ? ? 2 ? ? π ? 故函数 H ( x) 在 ? ? , 0? 至多只有一个零点, ? 2 ? π ? π? ? π ? 又 H ? 0 ? ? 1 ? 0, H ? ? ? ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 图象在 ? ? , 0? 上是连续不断的, 2 2 ? ? ? 2 ? ? π ? 因此,函数 H ( x) 在 ? ? , 0? 上有且只有一个零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 2 ? ? π? ②当 x ? ? 0, ? 时, g ? x ? ? x ? f ? x ? 恒成立.证明如下: ? 4? π ? π? 设 ? ( x ) ? e x ? x, x ? [0, ] ,则 ? ?( x) ? e x ? 1≥ 0 ,所以 ? ( x) 在 ?0, ? 上单调递增, 4 ? 4? ? π? 所以 x ? ? 0, ? 时, ? ( x) ? ? (0) ? 1 ,所以 e x ? x ? 0 , ? 4? ? π? 又 x ? ? 0, ? 时, cos x ≥ sin x ? 0 ,所以 e x ? cos x ? x sin x ,即 g ? x ? ? x ? f ? x ? ,即 H ( x) ? 0 . ? 4? ? π? 故函数 H ( x) 在 ? 0, ? 上没有零点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? 4? ? π π? ? π π? ③当 x ? ? , ? 时, H ?( x) ? ex (cos x ? sin x) ? (sin x ? x cos x) ? 0 ,所以函数 H ( x) 在 ? , ? 上单 ? 4 2? ? 4 2?

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? π π? 调递减,故函数 H ( x) 在 ? , ? 至多只有一个零点, ? 4 2? π π 2 4 π π π ?π π? 又 H( ) ? (e ? ) ? 0, H ( ) ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? , ? 上是连续不断的, 4 2 4 2 2 ?4 2? π π ? ? 因此,函数 H ( x) 在 ? , ? 上有且只有一个零点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? 4 2? ? π π? 综上所述, x ? ? ? , ? 时,方程 g ? x ? ? x ? f ? x ? 有两个解. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 ? 2 2?

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