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第14讲:分式不等式的解法


一、问题尝试:
1、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集, 首先必须使二

次项系数为正.

2、解不等式
尝试 1:按商的符号法则,原 不等式组: {
x ?1 ? 0 x?2?0 x ?1? 0 x ? 2?0

x ?1 x?2

? 0.

不等式等价于 ? ? (2) 的并集,

? ? ? (1) 或 {

原不等式的解集是上面 为{ x ? 2 或 x ? 1}

这两个不等式组的解集

尝试 2:本不等式与不等式 解集为 { x x ? 2 或 x ? 1}
x? 若改为: 2 ? 1 ? 0呢? x

( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 等价 .所以

3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试 1:由积的符号法则,本 不等式可化成两个不等 ? ? (2) 式组:
( x ? 1 )( x ? 2 ) ? 0 x ?3? 0 ( x ? 1 )( x ? 2 ) ? 0 x ? 3? 0

{

? ? (1) 或 {

解( 1)得 x ? 3 , 解( 2)得 1 ? x ? 2 . 原不等式的解集是以上 不等式的解集为 两个不等式组解集的并 集,故原

{ x 1 ? x ? 2 或 x ? 3}.

点评:又2,3可知,分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式 (组)求解。这种方法叫同解转化法。

3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
?

尝试2:令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
+

-

1

2

-

+ 3

将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}. 总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.

不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法

学习目标

?

?

1熟练掌握利用积、商的符号法则用同解转化法转化为 一元一次或一元二次不等式组求解; 2会找到各因式的根利用数轴标根法求解。

例1 解不等式
解:原不等式转化为
( x ?1 )( x ? 2 ) ( x ? 3 )( x ? 1 )

x ?3 x? 2 x ? 2 x ?3
2

2

?0

? 0.

-1

1

2

3

此不等式与不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相 同。由数轴标根法可得原不等式的解集为:{x︳1<x<1或2<x<3}. 问:如果不等式是 该如何解?
? x ?3x?2 x ?2 x?3
2 2

?0

若题目改为: ( x ? 3 )( x ?1) ? 0呢? 若题目改为:(x-1)2(x-2)(x-3)(x+1)<0呢?

( x ?1 )( x ? 2 )

试一试
1 . (x+3)(x-2)(x-5) <0 2 . x2-3x+2 ≥0 x2-7x+12

X<-3 或 2<x<5

x≤1或2≤x<3或x>4

3. (-x2+2x+3)(x2-3x+2) >0 -1<x<1或2<x<3

课堂小结
?

?

?

解分式不等式的基本方法是同解转化法, 简便方法是数轴标根法。 相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系,又要了解他们的区 别,尤其要注意等号取舍问题。 含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。


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