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第一课时答案(1)


高三数学寒假自主学习讲义答案

第1课
1、 {1, 2, 4}

集合、函数、导数及其应用一

简析:考查集合的运算, CU T = {0,1, 2, 4, 6,8} .
2、

15 16

1 简析:考查分段函数, f (2) = 4 ,则原式 = f ( ) . 4 3、 (?3, +∞)

简析:考查等价转换,二次函数值域. 简解:令 t = 2 x > 0 ,则 y = t 2 + 4t ? 3 = (t + 2)2 ? 7 (t > 0) .
?1? 4、 f ? ? < f (1) < f (?2) ?2?

y

简析:考查函数单调性的定义、偶函数的图象性质.
5 、2 个 简析:数形结合,转化为考查函数 y = 3x 与 y = 3 ? x 2 的图象的交点个数. 6、 y = 2 x + 19
O x

简析:考查导数的几何意义. 简解:设切点 P 为 (t , f (t )) (t < 0) ,令 f ' (t ) = 3t 2 ? 10 = 2 ,得 t = 2(舍)或 t = ?2 ,则 P (?2,15) .
7、 (0,1)

(也可写为 (0,1] )

简析:考查利用导数求函数的单调性,注意单调区间受到函数定义域的限制. 1 1 ? x2 简解:令 f ' ( x) = ? x = > 0 ( x > 0) . x x

8、

π
6

?

3 2

简析:考查利用导数求函数的最值. 1 1 π π π 简解:令 f ' ( x) = + sin x = 0 ,则 sin x = ? ,∵ x ∈ [? , ] ,∴ x = ? . 2 2 2 2 6

x
f ' ( x) f ( x)

?

π π

2

(?

π

,? ) 2 6 ?

π

?

π

6 0

(?

π π

, ) 6 2 +

π
2

?

4



极小值



π
4

π π 3 π π f ( x) 极小= f ( x) min = f (? ) = ? ? = m , f ( x) max = f ( ) = = M . 6 12 2 2 4

高三数学寒假自主学习讲义答案

9、 ?1 ≤ a ≤ 2 简析:注意集合 A 的代表元素,对数的真数大于零.
10、 ?1 ≤ a ≤ 1

a 的单调性,以及函数图象的变换. t a a 简解:令 t = e x ,∵ t = e x 为增函数,∴ y = e x + x 在 [0,1] 上递增,即 y = t + 在 [1, e] 上递增, e t a a 而 y = t + 是将 y = t + 在横轴(t 轴)下方的图象关于横轴(t 轴)对称翻折上来, t t a a ∴先考察函数 y = t + 的图象,由于 a 会影响 y = t + 的单调性,故分以下三种情况: t t

简析:考查函数 y = t +

a

y=t+

a t

y= t+

a t

a>0

a=0

a<0

高三数学寒假自主学习讲义答案

11、设集合 A = ? x |

解: (1) A = { x | 2?5 ≤2? x ≤22 } = { x | ?2≤x≤5} ,∴ A I Z = {?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5} . (2) B = { x | ? x ? ( m ? 1)? ? x ? ( 2m + 1) ? < 0} , ? ?? ? 1o 当 m ? 1 = 2m + 1 ,即 m=-2 时, B = ? 符合; 2o 当 m ? 1 > 2m + 1 ,即 m<-2 时, B = { x | 2m + 1 < x < m ? 1} , ∵ B ? A ,∴ ?
? 2m + 1≥? 2 3 .∴ ? ≤m≤5 .又 m < ?2 ,∴ m 无解; 2 ? m ? 1≤5 ? m ? 1≥? 2 .∴ ?1≤m≤2 . ? 2m + 1≤5

? 1 ? ≤2? x ≤4 ? , B = { x | ( x ? m + 1)( x ? 2m ? 1) < 0} . 32 ? ? (1)求 A I Z ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

3o 当 m ? 1 < 2m + 1 ,即 m>-2 时, B = { x | m ? 1 < x < 2m + 1} ,

∵ B ? A ,∴ ?

综上: m ∈ {m | ?1≤m≤2或m = ?2} .

12 、对于两个定义域相同的函数 f (x) 、 g (x) ,如果存在实数 m 、 n 使得 h(x) = m ? f (x) + n ? g (x) ,则称函数 h(x) 是由“基函数 f (x) 、 g (x) ”生成的.

(1)若 f ( x) = x 2 + x 和 g ( x) = x + 2 生成一个偶函数 h(x) ,求 h( 2 ) 的值; (2)若 h( x) = 2 x 2 + 3 x ? 1 由函数 f ( x) = x 2 + ax , g ( x) = x + b ( a, b ∈ R ) 生成,求 a + 2b 的取 值范围; (3 ) 若由基函数 f ( x) = log 4 (4 x + 1) 、g ( x) = x ? 1 生成的一个偶函数 h(x) 最小值为 1, h(x) 的 求 解析式. 解: (1)由 f ( x) = x 2 + x, g ( x) = x + 2 ,可得 h( x) = mx 2 + (m + n) x + 2n , ∵ h( x) 是偶函数,∴ m + n = 0 ,即 n = ?m , ∴ h( x) = m( x 2 ? 2) ,∴ h( 2) = 0 ; (2) h( x) = 2 x 2 + 3 x ? 1 = m ? ( x 2 + ax) + n ? ( x + b) = mx 2 + (am + n) x + nb , 3? n ? ?m = 2 ?a = 2 3? n 2 3 n 2 3 1 4 ? ? ∴ ?am + n = 3 ,∴ ? 且 n ≠ 0 ,∴ a + 2b = ? = ? ( + ) = ? (n + ) . 2 n 2 2 n 2 2 n ?nb = ?1 ?b = ? 1 ? ? n ? 4 3 1 4 1 7 ∵ n ≠ 0 ,∴ n + ∈ (?∞, ?4] U [4, +∞) ,∴ a + 2b = ? (n + ) ∈ (?∞, ? ] U [ , +∞) ; n 2 2 n 2 2 x (3)设 h( x) = m log 4 (4 + 1) + n( x ? 1) ∵ h( x) 是偶函数,∴ h( x) = h(? x) 对 x ∈ R 恒成立, ∴ m log 4 (4 x + 1) + n( x ? 1) = m log 4 (4 ? x + 1) + n(? x ? 1) 对 x ∈ R 恒成立, 即 m log 4 (4 x + 1) + n( x ? 1) = m[log 4 (1 + 4 x ) ? log 4 4 x ] + n(? x ? 1) 对 x ∈ R 恒成立, 即 (m + 2n) x = 0 对 x ∈ R 恒成立,∴ m = ?2n ,
1 1? 1 1? ? ? 则 h( x) = ?2n log 4 (4 x + 1) + n( x ? 1) = ?2n ?log 4 (4 x + 1) ? x + ? = ?2n ?log 4 (2 x + x ) + ? 2 2? 2 2? ? ? 1 1 1 ∵ h( x) 有最小值 1,则必有 n < 0 ,又∵ log 4 (2 x + x ) + ≥ log 4 2 + = 1 ,∴ ?2n = 1 , 2 2 2 1 1 1 x ∴ m = 1, n = ? ,于是 h( x ) = log 4 (2 + x ) + 2 2 2

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13、已知函数 f ( x) =| x ? a |, g ( x) = ax (a ∈ R ) (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)当 a = 2 时,求使 g 2 ( x ) f ( x) = 4 x 成立的 x 的集合;

(3)若 a > 0 ,记 F ( x ) = g ( x) ? f ( x) ,试问 F ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 是否存在最大值?若存在,求 a 的 取值范围;若不存在,说明理由. ? x ? a, x ≥ a 解: 1)由函数 f ( x) = ? ( 可知,函数 f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ? ? x + a, x < a 当 a = 0 时,函数 f ( x) =| x | 是一个偶函数; 当 a ≠ 0 时,取特殊值: f (? a ) = 0, f (a ) = 2 | a |≠ 0 ,∴函数 f ( x) 既非奇函数又非偶函数; (2)由题意得 x 2 x ? 2 = x , ∴ x = 0 或 x x ? 2 = 1 ,即 x = 0 或 x = 1 或 x = 1 + 2 , ∴所求的集合为 {0,1,1 + 2} ; ?(a + 1) x ? a, 0 < x < a (3)对于 a > 0 , F ( x) = g ( x) ? f ( x) = ax ? x ? a = ? ?(a ? 1) x + a, x ≥ a
1o 若 a > 1 , F ( x) 在 (0, a ), (a, +∞) 上递增,无最大值;
a

?2 x ? 1, 0 < x < 1 2o 若 a = 1 , F ( x ) = g ( x ) ? f ( x ) = ? ,有最大值 1; ?1, x ≥ 1

a

3o 若 0 < a < 1 , ( x) 在 (0, a ) 上递增, (a, +∞) 上递减, ( x) 有最大值 F (a ) = a 2 ; F 在 F

a

综上,当 0 < a ≤ 1 时, F ( x) 有最大值.

点 M 的坐标为 ( s, t ) . (题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度) (1)求三角形观光平台 MGK 面积的最小值; (2)若要使?MGK 的面积不小于 320 平方米,求 t 的取值范围.

14、如图 1,OA,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中 的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要, 拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA, 平行的栈 OB 桥 MG,MK,且以 MG,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 2 所示 的直角坐标系,测得 CD 的方程是 x + 2 y = 20 ( 0≤x≤20 ) ,曲线 EF 的方程是 xy = 200 ( x > 0 ) ,设

图1

? 200 ? ? 200 ? 解: 1)由题 G ? ( , t ? , K ? s, ? ,且 s + 2t = 20, 0 < t < 10 , s ? ? t ? ?

图2

1 1 ? 200 40000 ? ?? 200 ? 1 ? MG ? MK = ? ? s ?? ? t ? = ? st + ? ? 200 , 2 2? t st ? ?? s ? 2? ∵ s + 2t ≥ 2 2st ,当且仅当 s = 2t 时取“=”,∴ 0 < st≤50 ,
∴ S?MGK =

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令 st = ? , ? ∈ ( 0,50] , f ( ? ) = ? +

40000

?

,∴ f ' ( ? ) = 1 ?

40000

?2

<0,

∴ f ( ? ) 在 ( 0,50] 上递减,∴ ( S?MGK )min =

(2)由题 S ?MGK ≥ 320 ,解得 st≤ 40 或 st≥1000 (舍) , 2 ∴ 0 < ( 20 ? 2t ) t ≤ 40 ,即 t ? 10t + 20≥0 , ∴ t≤5 ? 5 或 t≥5 + 5 , 又∵ 0 < t < 10 ,∴ t ∈ 0,5 ? 5 ? U ?5 + 5,10 . ? ?

1 f ( 50 ) ? 200 = 225 . 2

(

)

15、已知 f ( x) = x ln x, g ( x) = ? x 2 + ax ? 3 (1)求函数 f ( x) 在 [t , t + 2](t > 0) 上的最小值; (2)对任意的 x ∈ (0, +∞) ,不等式 2 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)对任意的 x1 , x2 ∈ (0, +∞) ,不等式 2 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 1 解: 1)∵ f ′( x) = ln x + 1 ,令 f ′( x ) = 0 ,有 x = ( e 1 1 ∴ x ∈ (0, ) f ′( x ) < 0, f ( x ) 单调递减; x ∈ ( , +∞) 时, f ′( x ) > 0, f ( x ) 单调递增 e e 1 ∴当 0 < t < t + 2 < 时, t 无解; e 1 1 1 1 当 0 < t < < t + 2 ,即 0 < t < 时, f ( x)min = f ( ) = ? ; e e e e 1 1 当 ≤ t < t + 2 时,即 t ≥ 时, f ( x ) 在 [t , t + 2] 增, f ( x) min = f (t ) = t ln t ; e e 1 ? 1 ?? e , 0 < t < e ? . 综上: f ( x) min = ? ?t ln t , t ≥ 1 ? e ? 3 (2) 2 x ln x ≥ ? x 2 + ax ? 3 ,则 a ≤ 2 ln x + x + x 3 ( x + 3)( x ? 1) 设 h( x) = 2 ln x + x + ( x) > 0 则 h′( x) = , x x2 ∴ x ∈ (0,1) 时 h′( x ) < 0, h( x ) 单调递减;x ∈ (1, +∞ ) 时 h′( x ) > 0, h( x ) 单调递增, h( x) min = h(1) = 4 , ∴

∵对一切 x ∈ (0, +∞ ), 2 f ( x ) ≥ g ( x) ,∴ a ≤ h( x)min = 4 . 2 (3) [ 2 f ( x ) ]min ≥ g ( x ) max ,则 [ 2 f ( x ) ]min = ? e a 对于 g ( x) = ? x 2 + ax ? 3 ,对称轴为 x = 2 a 2 ①当 ≤ 0 时,即 a ≤ 0 , g ( x) < g (0) = ?3 ,而 ? > ?3 恒成立 2 e 2 2 a a a 2 a2 ②当 > 0 时,即 a > 0 , g ( x) max < g ( ) = ? 3 ,由 ? ≥ ? 3 ,得 0 < a ≤ 2 3 ? 2 2 4 e e 4 2 综上: a ≤ 2 3 ? . e 变题:对任意的 x1 ∈ (0, +∞ ) ,存在 x2 ∈ [0, 2] ,使不等式 2 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值 范围.


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