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1 图灵机模型


计算机导论

计算机导论
第二讲 图灵机模型
2008-10-12

本讲内容 参考祈亨 年教材第 一章内容

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信息学院 教育技术系 曾玲 ling-zeng@scau.edu.cn

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图灵机模型概论
图灵机模型理论是计算学科最核心的理论 之一 图灵机模型为计算机设计指明了方向 图灵机模型是算法分析和程序语言设计的 基础理论.

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本章主要内容
图灵机缘起 图灵机描述 计算"X+1"的图灵机 通用图灵机 图灵机模型的启示

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图灵机缘起
1900,德国数学家希尔伯特提出"23个数学难题"中,
– 逻辑的完备性问题,即是否所有数学问题原则上都可解.

1936, 英国数学家图灵
– "论可计算数及其在判定问题中的应用"(On Computable Numbers With an Application to the Entscheidungs Problem)

结论:
– 可解的问题是能够用"图灵机"的自动机理论模型表达的 问题.

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图灵机的直观描述
3个部件:有穷控制器(有限状态机),无穷带 (符号集合)和读写头(读,改写,左移,右移)

3个动作:改写当前格,左移或右移一格 图灵机的计算:由控制器控制执行的一系列动作
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图灵机的形式化描述
图灵机是一个五元组(K,∑,δ,s,H), 其中:
– K 是有穷个状态的集合; – ∑ 是字母表,即符号的集合; – s ∈K是初始状态; – H K 是停机状态的集合,当控制器内部状态为 停机状态时图灵机结束计算; – δ是转移函数,即控制器的规则集合.

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图灵机工作过程:计算"x+1"的图灵机
目标
– 利用二进制来设计一个专门计算"x+1"的图灵机,要求计算完成 时,读写头要回归原位 – x由0,1串组成,"*"为x的分隔符,界定符

状态集合K
{start,add,carry,noncarry,overflow,return,halt}

字母表∑
{0,1,*}

初始状态s
start;

停机状态集合H
{halt};

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"x+1"图灵机规则集合(1)
规则
如果 A 那么 B,形式化表示:A→ B

图灵机控制器的规则:
(控制器当前状态,读写头当前位置的符号)→ (读 写头移动动作指示,读写头新位置的符号,控制器新 状态)

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x+1"图灵机规则集合(2)
规则集合δ:

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举例:"5+1"的计算过程(1)
初始状态

根据规则 集合δ:

第一步完成后状态

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"5+1"的计算过程(2)

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"5+1"的计算过程(3)

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"5+1"的计算过程(4)

停机状态

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课后思考
计算7+1的图灵机运算过程

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通用图灵机
图灵机本质在进行字符串的处理
图灵机输入是一个字符串 图灵机输出也是一个字符串

如果将图灵机的有限内部状态与读写头的 有限动作用字符串表示 那么每条转换规则也可以用一个字符串表 示(当前状态,当前符号,动作,新状态) 图灵机可以由一个较长字符串完全表示
通用图灵机
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通用图灵机实现"5+1"计算(1)
编码方案

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通用图灵机实现"5+1"计算(2)
3带通用图灵机M
图灵机输入字符串:0010 0001 0000 0001 0010(对应*100*)
图灵机的所有规则,每个规则16位字符 (当前状态,当前符号,动作,新状态) 初始状态编码:0101(对应start状态)

利用编码描述的规则:

0101 0010
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0010

0011

0110

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通用图灵机实现计算的过程
扫描第三条带获 得当前状态S

开始

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发现什么?
计算过程与具体的编 码和规则都不相关!
(Si,Ci,A,Sn)即转换规则 (当前状态,当前符号,动 作,新状态)

扫描第一条带获 得当前符号C

意味着什么?
程序可以重复执行

扫描第二条带查找规则串 (Si,Ci,A,Sn) 根据A对第一条带 执行相应动作

否 Si == S Ci == C

S = Sn

是 Si == 结束 状态? 是



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思考
利用X+1图灵机模型计算
– X-1
X+(-1), -1用补码表示

– X+2
X+1+1

如果有x+y的描述规则? 如果有x*y的描述规则? …… 那么

– X*2
X+X=X+1+1……

– X/2
X-2-2……

– ……
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通用图灵机蕴含的计算思想(1)
程序也是数据
– "x+1"图灵机功能是固定的,相当于一个程序 – 通用的图灵机功能根据输入编码的不同而变化

存储程序和程序控制 M图灵机进一步展示了程序和其输入可以先 保存到存储带上,M就按程序一步一步运行 直到给出结果,结果也保存在存储带上.

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通用图灵机蕴含的计算思想(2)
通用图灵机模型是计算机的计算能力的极限
因为,根据丘奇-图灵论题: 不能用图灵机完成的计算任务是不可计算的

计算机系统应该有:
– 存储器(相当于存储带) – 中央处理器(控制器及其状态),并且其字母表可以 仅有0和1两个符号; – 为了能将数据保存到存储器并将计算结果从存储器送 出来展示给用户,计算机系统还应该有输入设备和输 出设备如键盘,鼠标,显示器和打印机等.
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通用图灵机蕴含的计算思想(3)
通用图灵机的所有规则构成指令集 指示指示了操作的对象(当前符号) 指令指示了待实施的操作

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冯诺依曼机对图灵机的实现

1944年,冯诺依曼参与ENIAC研究小 组 1945年,在ENIAC基础上,冯诺依曼 提出了EDVAC(Electronic Discrete Variable AutomaticCompUter)设计方 案, 计算机的组成包括:运算器,逻辑 控制装置,存储器,输入和输出设备
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新的概念的提出
随机读写(Random Access)
随机读写存储器RAM(Random Access Memory)

地址(Address) 指令(Instruction) = 操作码(Operating Code, Opcode) + 操作数(Operand) 计算机指令系统 精简指令集计算机 复杂指令集计算机
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课后作业(1)
阅读《大学计算机基础》1.1; 1.2; 1.3; 预习《大学计算机基础》第2章全部内容 根据个人基础与下周实验课学习内容,选 择预习《大学计算机基础》第5,6,7,8, 9章相应小节内容 准备一个笔记本,上课做笔记,下课做阅 读与预习笔记

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课后作业(2)
阅读《计算机文化》第0章的Section A, Section B,第1章Section A,第3章 Section A,Section B, Section C, Section D 全部内容 根据个人基础与下周实验课学习内容,选 择阅读《计算机文化》第11章(计算机程 序)Section A,Section B,Section C内容

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课后作业(3)
计算7+1的图灵机运算过程

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关于后续课程时间安排
下周一下午实验课7,8,9,10(以后三周 也如此,第十周以后视其他课室是否空闲 情况而定) 下周二到教4-205上理论课(以后每周均如 此)

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