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第7讲 离散型随机变量的均值与方差


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第7讲 离散型随机变量的均 值与方差 【2014年高考会这样考】
1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.
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题可完成对应小部 分的学习,每小部分独立 成块,可全讲,也可选讲

抓住1个考点

离散型随机变量的均值与方差

助学微博 考点自测

考向一 离散型随机变量的均值和 【例1】 【训练1】

突破3个考向

方差 考向二 均值与方差性质的应用 【例2】 【训练2】

考向三 均值与方差的实际应用

【例3】 【训练3】

揭秘3年高考

均值、方差与其他数学知识的综合问题
?1、 选择题 A级 ? 填空题 ? 2、 ?3、 解答题 ? ?1、 选择题 ? 填空题 ? 2、 ?3、 解答题 ?
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活页限时训练

B级
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考点梳理
离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn (1)均值 称 E(X)= x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均 值或 数学期望 , 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . (2)方差
? ?2 ? 称 D(X)= ? ? ?xi-E?X?? pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机

n

i=1

变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 , 其 算术平方根 D?X? 为随机变量 X 的标准差.
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助学微博
两个防范 在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意: (1)D(aX+b)≠aD(X)+b,(2)D(aX+b)≠aD(X).

三种分布 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);

M (3)若X服从超几何分布,则E(X)=n . N
六条性质

(1)E(C)=C(C为常数); (2)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数); (3)E(X1+X2)=EX1+EX2; (4)如果X1,X2相互独立,则E(X1· X2)=E(X1)E(X2); (5)D(X)=E(X2)-(E(X))2;(6)D(aX+b)=a2· D(X)(a,b为常数).
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考点自测
1.(2013· 日照二模)已知随机变量 ξ 的分 1 布列为:P(ξ=k)= ,k=1,2,3,则 D(3ξ 3 +5)等于( ). A.6 B.9 C.3 D.4 2.已知 X 的分布列为 X -1 0 1 1 1 1 P 2 3 6 设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( ). 7 A. B.4 C.-1 D.1 3 3. 设随机变量 X~B(n, p), 且 E(X)=1.6, D(X)=1.28,则( ). A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 4. (2013· 成都五校联考)从一批含有 13 件 正品, 2 件次品的产品中不放回地抽 3 次, 每次抽取 1 件,设抽取的次品数为 ξ,则 E(5ξ+1)=( ). A.2 B.1 C.3 D.4 5.(2013· 韵关调研)有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中有放回地任 取 3 件,若 X 表示取到次品的次数,则 D(X)=________.

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1

2

3

4

5

A

A

A

C
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9/16
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考向一

[审题视点] 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需 求 量 分 【例 1】 ?(2012· 新课标全国)某花店每天以每枝 5 元的 类求出函数解析 价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的 式 . (2)① 根 据 当 天 价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处 的需求量,写出相应 理. 的利润,列出分布列, (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单 求出数学期望和方差, 位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解 ②比较两种情况的数 学期望或方差即可. 析式.
(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝), 整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生 的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润 (单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差. ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为 应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.
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[审题视点] 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需 求 量 分 类求出函数解析 解 (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 式 . (2)① 根 据 当 天 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 的需求量,写出相应 所以 y 关于 n 的函数解析式为 的利润,列出分布列, 求出数学期望和方差, ?10n-80,n<16, ②比较两种情况的数 y=? (n∈N). 学期望或方差即可. ?80,n≥16

考向一

(2)①X 可能的取值为 60,70,80, 并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80 -76)2×0.7=44.
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60 0.1

70 0.2

80 0.7

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求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位: 写 出 相 应 的 利 润 , 列 出分布列,求出数学 元),那么 Y 的分布列为 期望和方差,②比较 两种情况的数学期望 Y 55 65 75 85 或方差即可. P 0.1 0.2 0.16 0.54 [方法锦囊]

考向一 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需求 量 分 类

[审题视点]

②答案一:花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下:

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+ 85×0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+ (75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进 16 枝 玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然 E(X)<E(Y), 但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花.

(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.
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求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 写出相应的利润,列 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位: 出 分 布 列 , 求 出 数 学 期望和方差,②比较 元),那么 Y 的分布列为 两种情况的数学期望 或方差即可. Y 55 65 75 85 [方法锦囊] (1)求离散型随机变量的 P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+ 85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出, E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利 润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.
均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.
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考向一 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需求 量 分 类

[审题视点]

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(1) 根 据 日 需求 量 分 类 【训练 1】 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名 求 出 函 数 解析 式 . (2) 队员,A 队队员是 A1、A2、A3,B 队队员是 B1、B2、B3,按 ① 根 据 当 天 的 需 求 量 , 写出相应的利润,列 以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 出分布列,求出数学 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 期望和方差,②比较 2 1 两种情况的数学期望 A1 和 B1 3 3 或方差即可.
2 3 5 5 2 3 A3 和 B3 5 5 现按表中对阵方式出场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队, B 队最后所得总分分别为 X,Y (1)求 X,Y 的分布列;(2)求 E(X),E(Y). A2 和 B2 解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0. 2 2 2 8 P(X=3)= × × = , 3 5 5 75 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(X=2)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

考向一离散型随机变量的均值和方差

[审题视点]

[方法锦囊]
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.
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考向一 离散型随机变量的均值和方差 (1) 根 据 日 需求 量 分 类
2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(X=1)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(X=0)= × × = ; 3 5 5 25 根据题意 X+Y=3,所以 8 28 P(Y=0)=P(X=3)= ,P(Y=1)=P(X=2)= , 75 75 2 3 P(Y=2)=P(X=1)= ,P(Y=3)=P(X=0)= . 5 25 X 的分布列为 X 0 1 2 3 3 2 28 8 P 25 5 75 75 Y 的分布列为 Y 3 2 1 0 3 2 28 8 P 25 5 75 75 8 28 2 3 22 (2)E(X)=3× +2× +1× +0× = ; 75 75 5 25 15 23 因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)= . 15

[审题视点]

求 出 函 数 解析 式 . (2) ①根据当天的需求量, 写出相应的利润,列 出分布列,求出数学 期望和方差,②比较 两种情况的数学期望 或方差即可.

[方法锦囊]
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定 随机变量的所有可能 值,写出随机变量的分 布列,正确运用均值、 方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征,若属 二项分布的,可用二项 分布的均值与方差公式 计算,则更为简单.
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考向二 均值与方差性质的应用
1 【例 2 】 ? 设随机变量 X 具有分布 P(X = k) = , k = 5 1,2,3,4,5,求 E(X+2) ,D(2X-1), D?X-1?. 1 1 1 1 1 15 解 ∵E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = =3. 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 E(X )=1× +2 × +3 × +4 × +5 × =11. 5 5 5 5 5 1 1 1 1 D(X)=(1-3)2× +(2-3)2× +(3-3)2× +(4-3)2× 5 5 5 5 1 1 +(5-3)2× = (4+1+0+1+4)=2. 5 5 ∴ E(X + 2)2 = E(X2 + 4X + 4) = E(X2) + 4E(X) + 4 = 11 + 12+4=27. D(2X-1)=4D(X)=8, D?X-1?= D?X?= 2.
2

[审题视点] 利用期望与方差的 性质求解. [方法锦囊] 若 X 是 随 机变 量 , 则 η = f(X) 一般仍是 随机变量,在求η的 期望和方差时,熟 练应用期望和方差 的性质,可以避免 再求η的分布列带来 的繁琐运算.

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考向二 均值与方差性质的应用
【训练 2】 A,B 两个投资项目的利润分别为随机变 量 X1 和 X2,根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别 为: X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分 别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 求方差 D(Y1), D(Y2); (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投 资 B 项目, f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投 资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值, 并 指出 x 为何值时,f(x)取到最小值.

[审题视点] 利用期望与方差的 性质求解. [方法锦囊] 若 X 是 随 机变 量 , 则 η = f(X) 一般仍是 随机变量,在求η的 期望和方差时,熟 练应用期望和方差 的性质,可以避免 再求η的分布列带来 的繁琐运算.

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考向二 均值与方差性质的应用
解 (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为 Y1 5 10 Y2 2 8 12 P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4, E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. ? ? ?100-x ? ? x ? (2)f(x)=D? Y1?+D? Y2 ? ?100 ? ? 100 ? ? ? ?100-x ?2 ? x ?2 ? D ( Y 2) = ? ? D ( Y 1) +? ?100? ? 100 ? 4 = 2[x2+3(100-x)2] 100 4 = 2(4x2-600x+3×1002). 100 600 当 x= =75 时,f(x)=3 为最小值. 2× 4

[审题视点] 利用期望与方差的 性质求解. [方法锦囊] 若 X 是 随 机变 量 , 则 η = f(X) 一般仍是 随机变量,在求η的 期望和方差时,熟 练应用期望和方差 的性质,可以避免 再求η的分布列带来 的繁琐运算.

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考向三 均值与方差的实际应用
【例 3】?(2012· 福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企 业生 产每 辆轿 车的 利润 与该 轿车 首次 出现 故障 的时 间有 关. 某轿车制造厂生产甲、 乙两种品牌轿车, 保修期均为 2 年. 现 从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如 下: 品牌 甲 乙 首次出现故障 时间 x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故 障发生在保修期内的概率. (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润 为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布 列. (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只 能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认 为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.
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[审题视点]

(1)利用互斥事件的 概率公式求其概率. (2)确定随机变量X1, X2可能的取值, 分别 求出X1,X2每个值 对应概率,列出X1、 X2的分布列. (3)代入均值公式求 出E(X1)、E(X2), 比 较E(X1)、E(X2)大 小, 做出判断.

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(1)利用互斥事件的 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内” 概率公式求其概率. (2)确定随机变量X1, 2+3 1 为事件 A,则 P(A)= = . X2可能的取值, 分别 50 10 求出X1,X2每个值 (2)依题意得,X1 的分布列为 对应概率,列出X1、 X1 1 2 3 X 【方法锦囊】 2的分布列. 1 3 9 (3)代入均值公式求 P 25 50 10 随机变量的均值反 出 E(X1)、E(X2), 比 X2 的分布列为 映了随机变量取值 较 E(X1)、E(X2)大 的平均水平,方差 X2 1.8 2.9 小 , 做出判断. 反映了随机变量稳 1 9 P 定于均值的程度, 10 10 它们从整体和全局 (3)由(2)得 上刻画了随机变量, 1 3 9 143 是生产实际中用于 E(X1)=1× +2× +3× = =2.86(万元), 25 50 10 50 方案取舍的重要的 1 9 理论依据,一般先 E(X2)=1.8× +2.9× =2.79(万元). 比较均值,若均值 10 10 相同,再用方差来 因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 决定.
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考向三 均值与方差的实际应用

[审题视点]

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考向三 均值与方差的实际应用
【训练 3】 (2013· 庆安一模)在一次智力测试中,有 A、B 两 个相互独立的题目,答题规则为:被测试者答对问题 A 可 得分数为 a, 答对问题 B 可得分数为 b.先答哪个题目由被测 试者自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二个问 题, 否则终止答题. 若你是被测试者, 且假设你答对问题 A, B 的概率分别为 p1,p2. 1 1 (1)若 p1= ,p2= ,你应如何依据题目分值的设置选择先答 2 3 哪一道题? (2)若已知 a=10,b=20,当 p1,p2 满足怎样的关系时,你 选择先答 A 题? 解 (1)设先答问题 A 的得分为随机变量 X,先答问题 B 的 得分为随机变量 Y. ∵P(X=0)=1-p1;P(X=a)=p1(1-p2); P(X=a+b)=p1p2. ∴E(X)=0×(1-p1)+ap1(1-p2)+(a+b)p1p2 =ap1(1-p2)+(a+b)p1p2=ap1+bp1p2.
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【方法锦囊】

随机变量的均值反 映了随机变量取值 的平均水平,方差 反映了随机变量稳 定于均值的程度, 它们从整体和全局 上刻画了随机变量, 是生产实际中用于 方案取舍的重要的 理论依据,一般先 比较均值,若均值 相同,再用方差来 决定.

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考向三 均值与方差的实际应用
∵P(Y=0)=1-p2;P(Y=b)=p2(1-p1); P(Y=a+b)=p1p2=bp2+ap1p2. ∴E(Y)=0×(1-p2)+bp2(1-p1)+(a+b)p1p2 =bp2(1-p1)+(a+b)p1p2=bp2+ap1p2. ∴E(X)-E(Y)=ap1(1-p2)-bp2(1-p1) 1 1 1 1 若 p1= ,p2= ,则 E(X)-E(Y)= a- b. 2 3 3 6 1 ①当 a> b 时,先答 A 题; 2 1 ②当 a= b 时,先答 A、B 均可; 2 1 ③当 a< b 时,先答 B 题. 2 (2)若 a=10,b=20,则 E(X)-E(Y)=10p1-20p2+10p1p2 ∴当 10p1-20p2+10p1p2>0,即 p1+p1p2>2p2 时,选择先答 A 题.

【方法锦囊】

随机变量的均值反 映了随机变量取值 的平均水平,方差 反映了随机变量稳 定于均值的程度, 它们从整体和全局 上刻画了随机变量, 是生产实际中用于 方案取舍的重要的 理论依据,一般先 比较均值,若均值 相同,再用方差来 决定.

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揭秘3年高考
规范解答17 均值、方差与其他数学知识的综合问题

【命题研究】 离散型随机变量的期望、方差与其他数 学知识相结合的问题,在近两年的高考中时有出现,体现

了在知识交汇处命题的指导思想.这类题目常以解答题的
形式出现,将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融 合在一起,综合考查学生分析问题、解决问题的能力.题 目难度适中,一般属于中档题.

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【真题探究】? (本小题满分 12 分 )电视传媒公司为了解某地区电视观众对某 类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图: 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2× 2 列联表, 并据此资料你 是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用 随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体 育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X) 和方差 D(X). n? ad- bc?2 2 附: K = , ?a+b?? c+d??a+ c??b+ d? P(K2≥ k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635
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[ 教你审题 ] (1) 利用频 率分布直方图,根据各 矩形面积之和为 1,求 出样本数据落在区间 [40,60]内的频率,则易 求出频数即为“体育 迷”人数,2×2 列联表 中各个值随之求出,计 算 K2 的值,并作出判 断. (2)确定 X 的可能取值, 利用二项分布概率公式 求出概率, 列出分布列, 代入公式求 E(X), D(X)

[解法] (1)由所给的频率分布直方图知,“体育 迷 ”人 数为 100×(10×0.020 + 10×0.005) = 25,“非体育迷”人数为 75,从而 2×2 列联 表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 (3 分 ) 将 2×2 列联表的数据代入公式计算: 2 n ? ad - bc ? K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100?30×10-45×15?2 100 = = ≈3.030. 33 45×55×75×25 因为 2.706<3.030<3.841,所以有 90%的把握认 为“体育迷”与性别有关. (6 分 )
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[ 教你审题 ] (1) 利用频 率分布直方图,根据各 矩形面积之和为 1,求 出样本数据落在区间 [40,60]内的频率,则易 求出频数即为“体育 迷”人数,2×2 列联表 中各个值随之求出,计 算 K2 的值,并作出判 断. (2)确定 X 的可能取值, 利用二项分布概率公式 求出概率, 列出分布列, 代入公式求 E(X), D(X)

由频率分布直方图知, 抽到“体育迷”的频 [(2) 阅卷老师手记 ] 求解概率统计题应会对事 率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取 件构成进行分析.弄清“等可能性”与 1 “非等可能性”的区别;“有序取”与 一名“体育迷”的概率为 .由题意,X~ 4 “无序取”的区别;“有放回取”与“不 ? 1? 放回取”的区别;“互斥”与“独立”的 B?3, ?,从而 X 的分布列为 4? ? 意义.会用排列、组合的知识求事件的概 X 0 1 2 3 率,用互斥事件、独立事件、重复试验等 27 27 9 1 P 概率公式求事件的概率,对于复杂事件, 64 64 64 64 要能够分解成若干个简单事件的和事件, (10 分 ) 不能遗漏.求离散型随机变量的分布列时, 1 3 E ( X ) = np = 3 × = , 要自觉应用随机变量的分布列的性质进行 4 4 检验,一般利用随机变量的均值的定义求 1 3 9 D ( X ) = np (1 - p ) = 3 × × = . (12 分 ) 解.对于有些实际问题中的随机变量,如 4 4 16 果能断定它服从某常见的典型分布,则可 直接利用期望公式求得,因此,应熟记常 见的典型分布的期望公式,可提高解题速 度.
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【试一试】 (2013· 晋城一模)甲、乙两射手 射进行射击比赛,分别射击 100 次,已知 甲、 乙射手射击的环数 X, Y 稳定在 7,8,9,10 环上, 他们这次成绩用直方图表示如下(如 图):



(1)P(Y= 7)=

20 = 0.2= P(Y= 9), 100

(1)根据这次比赛的成绩直方图,推断乙击 中 8 环的概率 P(Y=8),以及求甲、乙同 时击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (2)根据这次比赛成绩估计甲、乙谁的水平 更高(即平均每次击中的环数多)?

35 =0.35. 100 所以 P(Y=8)=1-P(Y=7)-P(Y=9)- P(Y=10)=1-0.2-0.2-0.35=0.25. 同理:P(X=7)=0.2,P(X=8)=0.15, P(X=9)=0.3, 所以 P(X = 10) = 1 - 0.2 - 0.15 - 0.3 = 0.35. 所以甲、乙同时击中 9 环及 9 环以上的 概 率 为 P = P(X≥9)· P(Y≥9) = (0.3 + 0.35)×(0.2+0.35)=0.357 5. (2)E(Y) = 7×0.2 + 8×0.25 + 9×0.2 + 10×0.35=8.7. E(X) = 7×0.2 + 8×0.15 + 9×0.3 + 10×0.35=8.8. 因为 E(X)>E(Y),所以甲的水平更高. P(Y=10)=

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A级 基础演练
一、选择题

单击题号出题干

1

2

3

4

单击问号出详解

3 .若 p西安模拟 为非负实数,随机变量 ξ+ 4 . (2013· 广州一模))样本中共有五个个体, 已知随机变量 X η= 8 , 若 X~B(10 0.6), 2 .签盒中有编号为 1、2、3、4、 5的分布列为 、 6 的六支签,从中任 1 . (2013· 其值分别为 a,, 0,1,2,3. ξ (1 0 则 E(3 η) ,D(η)分别是 B ). 1 2 意取 支,设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 若该样本的平均值为 ,则样本方差为 ( D ). 1 1和 5.6 D.6 和 5.6 A.6 和 .) 2 和 2.4 C . 2 的数学期望为 (B . 6 2.4 6 B P -p p A. B . C. 2 5.8 D.2 2 2 A.5 5B.5.25 C. D.4.6 5 则 E(ξ) 的最大值为( X B 可以取 )X . 解析 由已知随机变量 +η=3,4,5,6 8,所以有 解析 由题意可知, , η=8-X.因此,求 2 2, 3 2 得 E(η)=8 - E(X )=8-10×0.6 = 解析 1 1 C 3 3 A . 1 B . C. D . 2 2 P (( X = 3) =1) = ,10 P(× X= 4) = = , 3D 3 2 3 D η ) = ( - ( X ) = 0.6 × 0.4 = 2.4. C 20 C 20 由题意,知 6 a+0+1+2+3=5× 6 1,解得,a=-1. 2 2 1 1?2+?1-1C 1 2 2 2 2 答案 B C 3 1 4 5 ? - 1 - 1 ? + ? 0 - ? + ? 2 - 1 ? + ? 3 - 1 ? 解析 由 p≥ 0, - p ≥ 0 ,则 0 ≤p ≤ , 2(X=5) P = = , P ( X = 6) = = . 3 3 2 2 s= =2. C6 10 C 2 6 5 3 由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25. 答案 E(ξ)=D p+ 1 ≤ . 2 答案 B 答案 B
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A级 基础演练
二、填空题

单击题号出题干

5

6

单击问号出详解

6. (2013· 温州调研 )已知离散型随机变量 X X -1 0 1 2 5.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: 1 的分布列如右表,若 E(X)=0,D(X)=1, ξ 7 8 9 10 P a b c 12 5 1 则 a= ,b= . P x 0.1 0.3 y 12 4

已知 ξ 的期望 ,则 y 的值为 0.4 . ? E(ξ)=8.9 ? 11 5 ?a+b+c= , ?a= , 12 A.0.4 B.? 0.6 C.0.7 D.0.9 ? 12 ? ? 1 1 ① 解析 由题意知 x+0.1?+ 0.3 + y= 1, ,即 x +y 0.6. ?= -a +c + =0 b= , 解析 解得 6 4 ? ? 又 7x+0.8+2.7 + 10 y = 8.9 ,化简得 ? ? 7x 1 1+10y=5.4.② ?a+c+ =1, ?c= . 30.2,y=0.4. ? 4 由①②联立解得 x= ? 5 0.4 1 答案 答案
12 4

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A级 基础演练
三、解答题

单击题号出题干

7

8

单击问号出详解

8. (13 分 )(2013· 汕头一模 袋中有 202个大小相同的球,其中记上 号 2) 7. (12 分 )若随机事件 A 在一次试验中发生的概率为 p(0< , 1 1 1 p<1)0 2 2 2 D ? X ? - 1 2 ? p - p ? - 1 1 ? ? D (X )= (0 - 1.5) + (1 - + (2 - 1.5) × + (3 - X 2× p + (2) = = 21.5) - ? ? . 的有 10 个,记上 n× 号的有 n 个 ( n = 1,2,3,4) .现从袋中任取一球, 用随机变量 X 表示 A 在一次试验中发生的次数. 2 20 10 p? p E?X? ? 表示所取球的标号. (1)求方差 3 D(X)的最大值; 12 1 1 2 1.5) × + (4 - 1.5) × = 2.75. ∵ 0< p <1 ,∴ 2 p + ≥ 2 2. 当 2 p = , (1)求 X2的分布列、期望和方差; 5 p p D20 ?X?-1 (2) 求 的最大值. 2η)=11,试求 a,b 的值. (2) 若 η= aX + )) = 1,D 2 (2) 由 D (? η )= a2E D((η X ,得 a( × 2.75= 11,即 a= ± 2. E X ?b, 即 p= 时取“=”. 2 aE(X 解 随机变量 X 的所有可能的取值是 0.1, 又E (η)= )+ b,所以当 a= 2 时,由 1=2× 1.5+ b,得 b 解 (1)X 的分布列为 DP ?X ?- 10)=1-p. 并且有 (X =2 1) =p2 , ( X = =- 2. Pp 因此当 = 时, 取最大值 1 2 32- 42 2. X?X0 2 E ? 从而 E(X)2 = 0×(1- )+1 × =+ p1 , 当 a=- 时,由 1p =- 2 ×p 1.5 b,得 b=4. 1 1 3 1 P 2 2 2 D(X ) = (0 - p ) × (1 - p ) + (1 - p ) × p = p - p . 2 20 10 20 5 ?a=2, ?a=-2, 1 或 ∴? 即为所求. ?1+ 1× 3 +4×1=1.5. ? 2×11 ?2+ 2 ∴ E ( X ) = 0 × + 1 × 3 p, - 10 (1)D )= p - p =- ? + . 20 bX =- 2 =?4 ?( ?b 2 20 5 ? 2 ? 4 1 1 ∵ 0<p<1,∴当 p= 时,D(X)取最大值,最大值是 . 2 4
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B级 能力突破
一、选择题

单击题号出题干

1

2

单击问号出详解

4 a,得 2 分的概率为 5 1. .一个篮球运动员投篮一次得 3x分的概率为 b,不 2 (2012· 上海 ) 设 10 ≤ x < x < < x ≤ 10 , x = 10 . 随机变量 解析 利用期望与方差公式直接计算. E(ξ1)=5E(ξ2),记作 x , ξ1 1 2 3 4 2 得分的概率为 c(a、b、c ∈ (0,1)) ,已知他投篮一次得分的均值为 2 ,则 x + x 1 2 2 2a 2 2 2 ∴ D ( ξ ) = 0.2[( x - x ) + ( x - x ) + ? + ( x - x ) ] = 0.2( 取值 x x2、 x3、 x4、 x5 的概率均为 0.2, 随机变量 ξ2 取值 x 1 + x 、 11、 1 2 5 2 2 1 2 2 + 的最小值为 (). D ). + ? + x - 5 x 3 b x + x x + x x4+x5 x5+x1 5 2 3 3 4 、28 、 16 、 的概率也均为 0.2.若记 D(ξ1)、 2 2 2 32 14 2 2 2 2 x + x x + x x + x ? 2 3? + …+? 5 1 ? -5 x 2?. A. B. C. ?? 1 D. 2? 同理 )= 0.2 3 D(ξ23 3 3 ? +? ? ? ? ). ? 2 ? ? 2 2 D(ξ2)分别为 ξ1、 ξ 的方差,则 ( A ?? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 解析 由已知得, 32 a+2b+? 0 × c= , 3a+ 其中 0<a< , 0<b<1. x x x5+ x1 2b=2, xD x x x12 1+ 1+ 2?2 5+ ? ? A . ( ξ )> D ( ξ ) 2即 1 2 3 ∵? ? < 2 , ?,? 2 ? < 2 , 2 ? ?3aD ? 1 2? ?2 + B. ξ1)= (2 ξb 1? 2 D(1 b a 10 2b a 16 2) ? ? 又?x + = + + ≥ 2 +2 2 2 · =2 , 当且仅 ?a+ ?=3+3 x x x x 1+ 2?2 2?x2+ 33 5+ 12 ? ? ? 2 2 2 b a 3 b a b 3 a 2 b 3 ? ? C . (ξ1)< (? ξ2) ∴ + ? D2 ?D ? + ?+? 2 ? <x1+x2+x3+x4+ x5. 2 2 b 1 1 a ? D(ξ )与 ? D ?(ξ )的大小关系与 ? ? x、 ? x 、x 、x 的取值有关 D . 当 = 1 ,即 a= 2b 时取“等号”,又 a= ,b= 时, 2 1 3a+ 2 2b= 3 2,即当 4

a(ξ1)> 2bD(ξ2). ∴D 2 1 A 16 答案 + 的最小值为 ,故选 D. 答案 D a 3b 3

2

4

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B级 能力突破
二、填空题

单击题号出题干

3

4

单击问号出详解

4. (2013· 滨州一模 设 l 为平面上过点(0,1)的直线, l 的斜率等可能地取-2 2, 3 .随机变量 ξ) 的分布列如下: 5 5 0 1 ξ,用 -1 - 3,- ,0, , 3,2 2 ξ 表示坐标原点到 l 的距离,则随机变 2 2 P a b c 4 1 5 量其中 ξ 的数学期望 E ( ξ ) = . a,b,c 成等差数列.若 E(ξ)= ,则 D(ξ)的值是 . 7 3 9 解析 当 l 的斜率 k 为 ± 2 2时,直线 l 的方程为 ± 2 2x- y+1=0,此时坐 ?a+b+c=1, 1 1 ? 5 2 标原点到 l 的距离 d= ;当 为a ± 3c 时, 时,d ?2k 1=3;当 1 k b= + , d=2;当 k 为±1 3 2 解析 根据已知条件:? 解得:a= ,b= ,c= , 6 3 2 为 0 时,d=1,由古典概型的概率公式可得分布列如下: 1 ? -a+c= , ? 3 2 ? ξ 1 1 1 3 2 3 ? ? 1? 1? 1? 1 ? ? ?2 1 ? ?2 1 ? ?2 5 1 - ∴D(ξ)= ×?-1- ? + ×?0- + × 2 3?2 2 1 ? ? =9. 3? 3 P 3 6 ? 2 ? ? ? ? 7 7 7 7 5 答案 1 2 1 2 2 2 1 4 4 9 所以 E(ξ)= × + × + × +1× = . 答案 3 7 2 7 3 7 7 7 7
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B级 能力突破
三、解答题

单击题号出题干

5

6

单击问号出详解

1 1 1 2 ξ,则 1 2 的所有可能取值为 1 200 件,经 ? ? 6 . (13 分 )(2013· 福州模拟 随机抽取某厂的某种产品 解 (1) 由于 1 件产品的利润为 ξ 6,2,1, 5 . (12 )(2013· 大连二模 )) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的 2 由 E ( ξ ) ≥ 4.73 ,得 4.76 - x ≥ 4.73 ,解得 x ≤ 0.03 ,所以三 (2) P ( ξ = 1) - P ( ξ = 0) = [(1 - a ) - (1 - a ) ] = a (1 - a ) , P(ξ= 2)=?1-2 ?a 2 + (1- a)a+ a(1-a)= (2a-a2), 250 件、三等品 2 20 件、次 126 50 1 ? 3%. ? 1262 质检,其中有一等品 件、二等品 等品率最多为 - 2 ,由题意知 P ( ξ = 6) = = 0.63 , P ( ξ = 2) = = 0.25, P(ξ 概率分别为 , (0<a<1) ,三人各射击一次,击中目标的次数 2a, a1 1 - 2 a 2 2 200 200 2 a 品 4 件.已知生产 件一、二、三等品获得的利润分别为 6万 P (ξ =1)- P (ξ = 2)=1 [(1 - a )-(2a-a )] = , 探究提高 (1) 求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤: 2 2 P ( ξ = 3) = . 4 记为 ξ . 20 1 2 元、 2 万元、 万元,而 1 件次品亏损 22 万元.设 1X 件产品的利 = 1)= X 的意义,写出 = 0.1, P( ξ=- 2) = = 0.02. 1 - 2 a 1 ①理解 X 可能取的全部值;②求 取每 2 2 200 200 (1) 求 ξ 的分布列及数学期望; P ( ξ = 1) - P ( ξ = 3) = [(1 - a ) - a ] = . 所以 ξ 的分布列为 润 ( 单位:万元 )为 ξ.2 X 的分布列. 2 个值的概率;③写出 故在概率 ξ 的分布列为 (2) = 0,1,2,3)中,若 P(ξ=1)的值最大,求实数 a ξP(ξ=i)(i0 1 2 3 (1) 求 ξ 的分布列; a? 1- a?≥0ξ , 2 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值 6 2 1 - 2 1 1 1 a 的取值范围. 2 2 2 (2) 求 1 件产品的平均利润 ( 即 ξ 的均值 ) ; P (1 - a ) (1 - a ) (2 a - a ) 1 - 2 a P 0.63 0.25 0.1 0.02 对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概 2 2 2 2 解 (1) P ( ξ ) 是“ ξ 个人命中, 3 - ξ 个人未命中”的概率.其中 ξ 1 ≥ 0 , (3) 经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% , 2 由 及 0< a( <1 0< a≤ , (2)1 件产品的平均利润为 E ξ),得 = 6× 0.63 + 型等知识. ξ 的数学期望为 2 2× 0.25+ 1× 0.1+ (- 的可能取值为 0,1,2,3. 2 2 一等品率提高为 70%. 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 2) × 0.02 = 4.34( 万元 ) . 1 - 2 a 1 1 1 a (2) 求解离散型随机变量 X 2 2 2 1 1 的均值与方差时,只要在求解 ? ? 2 1× 2a) + 2× (2a - a ) + 3× = ≥ 0 E ( ξ ) = 0 × (1 - a ) + (1 - 4.73 万元,则三等品率最多是多少? P (ξ= 0)= ?(1- a) = (1 - a ), 2?1- 2 2 (3) 设技术革新后三等品率为 x ,则此时 12件产品的平均利润为 2 2 分布列的前提下,根据均值、方差的定义求 E(X),D(X)2 ? ? 思维启迪: 本题在求解时,一定要分清求解的是哪一个变量的 E ( ξ ) = 6 × 0.7 +2×(1 - 0.7 - x-0.01) +11 × x+(-2)× 0.01 4 a + 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 即可 . ? ? 2 . (1- a)2+0 , 即 a 的取值范围是 . 1 - 1 - P ( ξ = 1) = ? ? a (1 - a ) + ? ? (1 - a ) a = (1 - a ), 均值,理清随机变量取值时的概率. 2 -x = 4.76 ? ? 2? 2? 2 2. 2 ? ?

? ? ?

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1 解析 E(ξ)=(1+2+3)× =2, 3 1 14 E(ξ2)=(12+22+32)× = 3 3 14 2 ∴D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2= -22= . 3 3 ∴D(3ξ+5)=9D(ξ)=6. 答案 A 1 1 1 2.解析 E(X)=- + =- , 2 6 3 2 E(Y) = E(2X+ 3) = 2E(X) + 3 =- + 3 = 3 7 . 3 答案 A 3.解析 ∵X~B(n, p), ∴E(X)=np=1.6, ?n=8, D(X)=np(1-p)=1.28,∴? ?p=0.2. 答案 A 返回

4.解析 ξ 的可能取值为 0,1,2.P(ξ=0)= A3 22 13 . 3 = A15 35 2 3 1 3 C1 12 C2 2C13A3 2C13A3 P(ξ= 1)= = .P(ξ= 2)= A3 35 A3 15 15 1 = . 所以,ξ 的分布列为 35 ξ 0 1 2 22 12 1 P 35 35 35 22 12 1 2 于是 E(ξ)=0× +1× +2× = . 35 35 35 5 2 故 E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5× +1=3. 5 答案 C ? 1? 5.解析 ∵X~B?3, ?, 4? ? 1 3 9 ∴D(X)=3× × = . 4 4 16

自测

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