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2016年湖北单招数学模拟试题:导数的实际应用


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2016 年湖北单招数学模拟试题:导数的实际应用
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1:一个物体的位 移 (米)和与时间 (秒)的关系为 A、12 米/秒 B、8 米/秒 C、6 米/秒 D、8 米/秒


,则该物体在 4 秒末的瞬时速度是 ( )

2:设曲线 则 A、 B、 C、 D、 的值为( )

在点

处的切线与

轴的交点的横坐标为

,令



3:

设曲线 A.0 B.1 C.2 D.3

在点

处的切线方程为

,则





4: 己知定义在 上的可导函数 的导函数为 ,满足 ,且 为偶函数, ,

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则不等式 的解集为( )

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A、

B、

C、

D、

5: 函数 的定义域为开区间 ) , 其导函数 在 内的图象如图所示, 则函数 在开区间 内

极小值点的个数为( A、1 个 B、2 个 C、3 个 D 、4 个

6:已知函数

的图象在

处的切线方程为

,则

的值是

.

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7:若曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

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,则实数

的值是_______。

8:电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y= ________。

x -

3

x -40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为

2

9:如图,根据物理学知识:A 点处电灯的亮度



成正比,与距离 的平方成反比,即

,设电

灯可沿着 BO 移动,为了使水平面上的点 A 处获得最大的亮度,则



10: 设曲线 的值为 。

在点 (1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为

, 令

, 则

11:已知二次函数 h(x)=ax +bx+c(其中 c<3),其导函数

2

的图象如图,f(x)=6lnx+h(x)

(1)求 f(x)在 x=3 处的切线斜率;

(2)若 f(x)在区间(m,m+

)上是单调函数,求实数 m 的取值范围;

(3)若对任意 k∈[-1,1],函数 y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,求 c 的取值范围

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12:设函数 (1)求函数 (2)设 的最小值;



,讨论函数

的单调性;

(3)斜率为

的直线与曲线

交于

,

两点,求证:



13:已知函数 (1)若 (2)如果 ,求 在



) 上的最小值和最大值;



恒成立,求实数

的取值范围

14: (12 分) 设函数 f( x)= x -3 ax+ b ( a≠0). (Ⅰ)若曲线 y= f( x)在点(2, f( x))处与直线 (Ⅱ)求函数 f( x)的单调区间与极值点. 相切,求 的值;
3

15:已知函数

.

⑴求函数



处的切线方程;

⑵当 ⑶若 ,且

时,求证: 对任意

; 恒成立,求 k 的最大值.

答案部分

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1、C 略

2、D

试题分析:

,所以曲线

在点

处的切线为

,令



,所以

. 考点:1、导数的应用;2、对数基本运算.

3、D

因为 解得 ,故选 D、

,所以

,方程

的斜率为 2,由题意得



4、B ∵ 为偶函数,∴ 的图象关于 对称,



的图象关于

对称∴

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) ,则

又∵

,∴



) ,∴函数

在定义域上单调递减



,而





,故选 B、

5、A 在极小值点处满足: 选 A、 ,由图可知在 右边第二个零点处满足条件,故

6、 -1

试题分析: 函数 因此 考点:导数的几何意义.

的图象在 .

处的切线方程为







7、 4

试题分析:由

,则切线斜率

,则过

的切线方程为:

,与

坐标轴交点分别为 考点:导数的应用.

,又所成三角形面积为 2,可得

,所以

.

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8、 40 由 y′=x -39x-40=0, 得 x=-1 或 x=40, 由于 0<x<40 时,y′<0; 当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值。
2

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9、

解:因为

,那么根据导数与函数单调性的关系可知,当电灯可

沿着 BO 移动,为了使水平面上的点 A 处获得最大的亮度,则

,选 D.

10、 -2

试题分析:由 y=x

n+1

(n∈N )得到导函数 y′=(n+1)x ,

*

n

令 x=1 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率 k=n+1, 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=k(x n-1)=(n+1) (x n-1) ,

不妨设 y=0,x n=



所以,

=lg(x 1?x 2?…?x 99)=

.

故答案为-2. 考点:导数的几何意义,直线方程,对数函数的性质。 点评:中档题,本题综合性较强,总体难度不大,因为解题的思路比较明确。本题可推广到一般的 n。

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11、 (1)0; (2)实数 m 的取值范围为

; (3)c 的取值范围

试题分析: (1)首先根据导函数的图象可得导函数的解析式,从而求得

中的

,然后再求

的导

数,由此可得 f(x)在点

处的切线斜率 (2)

,这里并不含参数



可以求出它的单调区间 要使 f(x)在区间(m,m+ 然后通过解不等式即得 m 的取值范围;

)上是单调函数,只需(m,m+

)在

的单调区间内即可,

(3)函数 y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,则

恒成立 分离

参数得,



恒成立,又因为 k∈[-1,1],所以

然后利用导数求 试题解析: (1) 又

的最大值,再解不等式即可求得 c 的取值范围

的图象过点(0,-8) , (4,0) ,所以



于是



故 ∴f(x)在点

, 处的切线斜率为 3分

(2)



,列表如下:

x

(0,1) +

1 0 极大值

(1, 3) - 单调递减

3 0 极小值

(3,+∞) + 单调递增

f(x)

单调递增

所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(1,3)

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因为

是单调函数,

故实数 m 的取值范围为 (3)由题意知: 在 恒成立 恒成立

8分

恒成立

9分





则 内递减, 时, 在 时 在 内递增,

所以当 即 ,又 内递增

12 分

恒成立,

14 分 考点:导数与不等式

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12、 (1) 当 a<0 时,F(x)在 数的单调性证明不等式

。 (2)当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 上单调递增,在 上单调递减。 (3)构造函数利用函

试题分析: (1)f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 f'(x)>0, ∴当 时,
2

。 时,

时,f'(x)<0;当



4分

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时,
2



令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得



令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得

2



综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递减。 8分

(3)



要证

,即证

,等价于证

,令



则只要证

,由 t>1 知 lnt>0,

故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>1) (*) 。 ①设 g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1) ,则 故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ,

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∴当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt(t>1) 。 ②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1) (t≥1) ,则 h'(t)=lnt≥0(t≥1) ,故 h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1<tlnt(t>1) 。 由①②知(*)成立,得证。 12 分 考点:本题考查了导数的运用 点评: 导数本身是个解决问题的工具, 是高考必考内容之一, 高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用, 求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点

13、 解: (1)当 当 (2)由 此时 时, 得 所以 在 恒成立, 时, ;

14、

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15、 ⑴

;⑵详见解析;⑶

的最大值是 3.

试题分析:⑴曲线

在点

处的切线方程为:

,所以求出导数及切点

即 得 切 线 方 程 ; ⑵ 不 失 一 般 性 , 左 右 两 边 作 差 得 :

, 接 下 来 用 重 要 不 等 式 比 较 真 数 的 大 小 即 可 .⑶ 首 先 分 离 参 数 . 由 于

,所以

可变为

.令

,则

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,注意到

,则

取最大整数即可.接下来就利用导数求则

的最小值.

试题解析:⑴

∴故切线斜率

∴所切线方程: ⑵由题可知:

.

.3 分







. 8分

⑶令

令 ∵ ∴所以 当 当 ∴ 在 存在唯一零点 时, 时, 时单调递减;在 ,即 ; ;



上单调递增.

.

时,单调递增;

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∴ 由题意 ,又因为 ,所以 的最大值是 3. 14 分

考点:1、导数的应用;2、导数与不等式.


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