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2013届高三第一次月考数学试题(理科)答案


2013 届高三第一次月考数学(理科)试题
一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)
2 1.已知集合 M ? y y ? x ? 1, x ? R , N ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 M ? N ?

?

?

?

?

>
A. [1, ??)

B . [?1, ??)

C . [1, 2)

D . [?1, 2)

?2 x ? 2.已知函数 f ( x) ? ?log x ? 1 ? 2
A.1 B.-1

x ?1 x ? 1 ,则 f ( f (2)) 等于

C.2

D.

1 2

3. “log3x2=2”是“log3x=1”成立的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.函数 f ( x ) ? ln(x ? 1) ? A. (3,4)
2 5

2 的零点所在的大致区间是 x

B. (2,e)
2

C. (1,2)
4 10

D. (0,1)

开始 p=0,n=20

5.若 (2 x ? 1) = a0 ? a1 x ? a2 x ?? a5 x ,则 a1 ? a3 ? a5 的值为 A. 121 B. 122 C. 124 D . 120 p=p+n 6.如图所示某程序框图,则输出的 n 的值是 A. 13 B . 15 C. 16 D .14 P>100?


+ p ? p?n n=n-1


7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a7 ? a11 ? 12 ,则 S13 等于 A.52 B.54 C.56 D.58

输出 n ( 结束 ) D.4 (第 6 题)

8.已知向量 a ? (2,1), b ? ( x,?2)且a ? b与2a ? b 平行,则 x 等于 A.-6 B.6 C.-4

9.若函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x , x ? R ,又 f (? ) ? ?2 , f ( ? ) ? 0 ,且 | ? ? ? | 的最小值为 则正数 ? 的值是 A.

3? , 4

1 3

B.

2 3

C.

4 3

D.

3 2

10.几何体按比例绘制的三视图如图,则几何体体积为(

)m .

3

A.

7 2

B.

9 2

C.

7 3

D.

9 4

3 3 → → → → 11.在△ABC 中,AB· =3,△ABC 的面积 S△ABC∈? , ?,则AB与BC夹角的取值范围是 BC ? 2 2? π π A .? 4 , 3 ? ? ? π π B .? 6 , 4 ? ? ? π π C .? 6 , 3 ? ? ? π π D .? 3 , 2 ? ? ?

12.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 是偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x 2 ,若在区间

[?1,3] 内函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是
A.

(0, ??)

B。 (0, ]

1 2

C。 (0, ]

1 4

D。 [ , ]

1 1 4 3

二.填空题(本大题共 4 个小题,每题 4 分,共 16 分) 13. 函数 f ( x) ? 1 ? log 6 x 的定义域为

?0 , 6 ?



14.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一 位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 42 种; 15.已知 x ? 0, y ? 0 ,且

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y

? ?4 , 2 ?



16.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出四个命题: ① c ? 0 时,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; ② b ? 0, c ﹥0 时,函数 y ? f ( x) 只有一个零点; ③ y ? f (x) 的图象关于点(0,c)对称; ④函数 y ? f ( x) ,至多有两个不同零点。 上述四个命题中所有正确的命题序号是 ①②③ 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. (17)解: (Ⅰ)由已 知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2



a 2 ? b2 ? c 2 ? b c a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
??6 分

由余弦定理得 故

1 c o s ? ? ,A=120° A 2
s i n ? s iC ? B n s Bn i ? s i n ( 6 0? ? ?B

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

3 1 ) B ? sin B cos 2 2 ? sin(60? ? B)
??12 分

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。

18. (本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件, 测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) 。下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品总数。 (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,y≥75,该产品为优等品。 用上述样本数据估计乙厂生产的优等 品的数量。 (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中的优等品数 ? 的分布列及其均 值。 解: (1)乙厂生产的产品总数为 5 ? (2)样品中优等品的频率为

14 ? 35 ; 98

2 2 ,乙厂生产的优等品的数量为 35 ? ? 14 ; 5 5

i C2 C32?i (3) ? ? 0, 1, 2 , P (? ? i ) ? (i ? 0, 1, 2) , ? 的分布列为 C52

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

均值 E (? ) ? 1 ?

3 1 4 ? 2? ? . 5 10 5

19. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解: (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD??????????????????3 分 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD?????????????????5 分 解法二:取 AB 中点为 E,连接 DE, 因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD ,故 AD=AE, ? ADE 是等腰三 角形,∵AE=EB=DE, ∴ ?AED ? ?EBD ? ?BDE ? 2?EBD ? 60 ,即 ?ADB ? 90 ,故 BD ? AD
0 0

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD??????????????????5 分 (Ⅱ)以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz , 则 A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? 。

?

? ?

?

uuv u uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0) ???????????7 分

uur u ?n ? AB ? 0, ? 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 ? uur ? n ? PB ? 0, ?


?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) ????????9 分

uur ? m ? PB ? 0, ? 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? uuu r ?m ? BC ? 0, ?
可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?

?4 2 7 ?? ?????11 分 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

2 7 ?????????????????12 分 7

20. (本小题满分 12 分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) . (Ⅰ)若 f ?(1) ? 3 ,求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?0,2?上的最大值.

解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ,因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .???2 分
2

又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 , 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .?4 分 , (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ①当

2a .??????????5 分 3

2a 2] ≤ 0 ,即 a ≤ 0 时, f ( x) 在 [0, 上单调递增,从而 f max ? f (2) ? 8 ? 4a …….7 分 3 2a ②当 2] ≥ 2 ,即 a≥ 3 时, f ( x) 在 [0, 上单调递减,从而 f max ? f (0) ? 0 … 3 2a ? 2a ? ? 2a ? 2 ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增?10 分 3 ? 3 ? ? 3 ?

③当 0 ?

从而 f max ? ?

0 ?8 ? 4a,? a ≤ 2, ?????????????????11 分 ?0, 2 ? a ? 3. ?8 ? 4a,a ≤ 2, ??????????????12 分 a ? 2. ?0,

综上所述, f max ? ?

21.已知各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n , a n , (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 a n ? 2
2 ?bn

1 成等差数列。 2

, 设c n ?

bn 求数列{c n }的前n项和Tn . an

解: (1)由题意知 2a n ? S n ? 当 n=1 时, 2a1 ? a1 ?

1 , an ? 0 2

1 2

? a1 ?

1 1 1 ,当n ? 2时, S n ? 2an ? , S n?1 ? 2an?1 ? 2 2 2

两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 (n ? 2), 整理得:

an ? 2(n ? 2) a n ?1

????????4 分

∴数列 {a n } 是

a n ? a1 ? 2 n ?1
(2) a n ? 2
2

1 为首项,2 为公比的等比数列。 2 1 ? ? 2 n?1 ? 2 n?2 2
? 2 2n?4 ,

????????5 分

? bn

∴ bn ? 4 ? 2n ,

cn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

????????6 分

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ① ? 2 ? 3 ??? ? 2 2 2 2 n?1 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n ② Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①—②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ??????9 分 2 2 2 2 2 n?1 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ????????11 分 ? 4 ? 4 ? (1 ? n?1 ) ? n?1 2 2 4n ? n 2 8n ∴ Tn ? n ????????12 分 2 Tn ?

22.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ,( a ? 1 ). 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,有 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 . x1 ? x2

f ?( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x

…………………2 分

(i)若 a ? 1 ? 1即 a ? 2 ,则 f ?( x) ?

( x ? 1) 2 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加.……..5 分 x
'

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调减少,
'

在 (0, a ? 1),(1, ??) 单调增加.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 (iii)若 a ? 1 ? 1,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1),(a ? 1, ??) 单调增加.。8 分 。 (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x . 2



g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 .。。。。。。。。 。。。。。。。。。10 分 x x

由于 1 ? a ? 5, 故 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 ,故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , x1 ? x2
………………………………14 分

当 0 ? x1 ? x2 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 . x1 ? x2 x2 ? x1

阅卷安排: 选择题:刘叔恒 填空题:陈昌全 17 题:杨伟 高彦祥 18 题:罗艳 19 题:王小东 冯坤海 20 题:徐江林 21 题:唐建华 廖雪松 22 题:马杰

陈建国 吴国锋 徐世清


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