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二次函数应用题


二次函数应用题(讲义)
? 知识点睛
1. 理解题意,梳理信息 二次函数应用题常见类型有:实际应用问题,最值问题. 梳理信息时需要借助列表、图形. 实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长, 确定关键点坐标, 求出抛物线解析式. 最值问题要确定函数表达式及自变量取值范围. 2. 建立数学模型 常见数学模型有方程、不等式、函数.函数模型要确定自变量和因

变量;根 据题意确定题目中各个量之间的等量关系,用自变量表达对应的量从而确定 函数表达式. 例如:问“当售价为多少元时,年利润最大?”确定售价为自变量 x,年利 润为因变量 y,年利润=(售价-进价)×年销量,用 x 表达年销量,从而确定 y 与 x 之间的函数关系. 3. 求解验证,回归实际 求解通常借助二次函数的图象和性质; 结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值范围要求.

? 精讲精练
1. 如图,在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是 一条抛物线,在地面上的落点为 B.有人在直线 AB 上的点 C 处(靠点 B 一 侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知 AB=4 米, AC=3 米,网球飞行的最大高度 OM=5 米,圆柱形桶的直径为 0.5 米,高为 0.3 米. (网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计) (1)当竖直摆放 5 个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内? (2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时,网球可以落入桶内?
M P Q A B A y M P Q B

O C

0.5

D

O

C

0.5

D

x

1

2. 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动 路线是如图所示的平面直角坐标系中经过原点 O 的一条抛物线 (图中标出的 数据为已知条件) .在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的

2 最高处距水面 10 米,入水处距池边的水平距离为 4 米.运动员在距水面的 3
高度为 5 米之前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会 出现失误. (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求这条抛物线的解 析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线为(1)中的抛物线,且 运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3.6 米,则此次跳水 会不会失误?
y 3m A O
跳 台 10m 支 柱

x

1m

B

水面

薄板的边长(cm) 2

20

30

3. 某工厂 合金薄

出厂价(元/张)

50

70

生产一种 板(其厚度

忽略不计) , 这些薄板的形状均为正方形, 边长在 5~50 (单位: cm) 之间. 每 张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例;每张薄 板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板 的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中 得到了表格中的数据: (1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式. (2)已知出厂一张边长为 40cm 的薄板,获得的利润为 26 元.(利润=出厂价-成本价) ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式. ②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?最大利润是多少? 【分析】 边长 解: 出厂价 成本价

4. 某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件.如果 每件商品的售价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元) . 设每件商品的售价上涨 x 元 (x 为正整数) , 每个月的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值 范围;
3

(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润 是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上 结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元. 【分析】 售价 进价 利润 销量

解:

5. 我市高新技术开发区的某公司,用 480 万元购得某种产品的生产技术后,并 进一步投入资金 1 520 万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生 产这种产品每件还需成本费 40 元.经过市场调查发现:该产品的销售单价 定在 150 元到 300 元之间较为合理,销售单价 x(元)与年销售量 y(万件) 之间的变化可近似地看作是如下表所反映的一次函数: 销售单价x(元) 年销售量y(万件) 200 10 230 7 250 5

(1)请求出 y 与 x 之间的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围. (2)请说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多
4

少?若亏损,最小亏损是多少? (3)在(2)的前提下,即在第一年盈利最大或亏损最小时,第二年公司重 新确定产品售价,能否使两年共盈利 1 790 万元?若能,求出第二年的产品 售价;若不能,请说明理由. 【分析】 售价 成本 利润 年销量 其他成本

解:

5

? 精讲精练
1. (1)网球不能落入桶内; (2)当竖直摆放 8 个、9 个、10 个、11 个或 12 个圆柱形桶时,网球可以 落入桶内. 2. (1) y ? ?

25 2 10 x ? x; (2)会失误. 6 3

3. 设一张薄板的边长为 x cm,出厂价为 y 元,利润为 w 元. (1)y=2x+10(5≤x≤50); (2)① w ? ?

1 2 x ? 2 x ? 10 (5≤x≤50); 25

②当边长为 25cm 时,出厂一张薄板所获得的利润最大,最大利润是 35 元. 4. (1) y ? ?10x2 ? 110x ? 2 100 ( 1 ≤ x ≤ 15 ,且 x 为正整数) ; (2)每件商品的售价定为 55 元或 56 元时,每个月可获得最大利润,最大 的月利润是 2 400 元; (3)每件商品的售价定为 51 元或 60 元时,每个月的利润恰为 2 200 元,每 件商品的售价 m 满足 51 ≤ m ≤ 60 时,每个月的利润不低于 2 200 元. 5. (1) y ? ?

1 x ? 30 ( 150 ≤ x ≤ 300 ) ; 10

(2)投资的第一年该公司亏损,最少亏损 310 万元; (3)不能,理由略.

6

二次函数应用题(随堂测试)
? 典型题测试
1. 某商场将进货单价为 2 000 元的冰箱以 2 400 元售出, 平均每天能售出 8 台, 为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调 查表明:这种冰箱的销售单价每降低 50 元,平均每天就能多售出 4 台. (1)设每台冰箱降价 x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元,请求出 y 与 x 之间的函数关系式. (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4 800 元,同时又要使百姓得到实 惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润 是多少? 【分析】 售价 进价 利润 销量

二次函数应用题(习题)
. ? 例题示范 例:有一座抛物线型拱桥,正常水位时桥下水面宽度为 20 米,拱顶距离水面 4 米,建立如图所示的平面直角坐标系,若正常水位时,桥下水深 6 米.为保证过 往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于 18 米,则当水深超过多少米时,就会 影响过往船只的顺利航行?
y x

O

4米

20 米

解:如图,设该抛物线的解析式为 y ? ax2 , 由题意得,抛物线过点(10,-4),
7

代入解析式得 ?4 ? 102 ? a , 1 ∴a ? ? , 25 ∴该抛物线的解析式为 y ? ?
1 2 x . 25

令 x=9,可得 y=-3.24, 此时水深为 6+4-3.24=6.76 米, 即当水深超过 6.76 米时就会影响过往船只的顺利航行.

? 巩固练习
1. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子 OP,柱子顶端 P 处装上喷头,由 P 处向外喷出的水流(在各个方向上)沿 形状相同的抛物线路径落下 (如图所示) .已知 OP=3 米,喷出的水流的最高点 A 距水平 面的高度是 4 米,离柱子 OP 的水平距离为 1 米. (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求这条抛物线的解 析式; (2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于 落在池外?
y P A

O

B 水平面

x

8

2. 如图,有一座抛物线型的拱桥,在正常水位时,桥下水面宽 AB=20m,当水 位上升 3m 时,水面宽 CD=10m. (1)在如图所示的平面直角坐标系中,求此抛物线的函数表 达式; (2)有一条船以 5km/h 的速度向此桥驶来,当船距离此桥 35km 时,桥下水位正好在 AB 处,之后水位每小时上涨 0.25m,当水位达到 CD 处时,将禁止船只通行.如果该船按原来的速度行驶,那么它能否安全 通过此桥?

y O C A D B x

3. 某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现:销 售单价是 30 元时,月销售量是 230 件,而销售单价每上涨 1 元,月销售量 就减少 10 件,但每件玩具售价不能高于 40 元.设每件玩具的销售单价上涨 了 x 元时(x 为正整数) ,月销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围. (2)当每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰好为 2520 元? (3)每件玩具的售价定为多少元时,可使月销售利润最大?最大的月销售利 润是多少? 【分析】 售价 进价 利润 月销量

解:

9

4. 某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资 3000 元,已知绿茶每千克的成 本为 50 元,在第一个月的试销时间内发现,销量 w(kg)随销售单价 x(元 /kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示:
销售单价 x (元/kg) ? 销售量 w(kg) ? 70 100 75 90 80 80 85 70 90 60 ? ?

设该绿茶的月销售利润为 y(元). (销售利润=单价×销售量-成本-投资). (1)请根据上表,写出 w 与 x 之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值 范围); (2)求 y 与 x 之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围),并求出 当 x 为何值时,y 的值最大; (3)若在第一个月里,按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个 月里受物价部门的干预,销售单价不得高于 90 元/kg,要想在全部收回投资 的基础上使第二个月的利润达到 1700 元,那么第二个月里应该确定销售单 价为多少元? 【分析】 售价 解: 成本 利润 销量 其他成本

【参考答案】 巩固练习
10

1. (1) y ? ? x2 ? 2 x ? 3 2. (1) y ? ?
1 2 x 25

(2)3 米 (2)能安全通过此桥

3. (1) y ? ?10x2 ? 130x ? 2 300 (1≤x≤10,且为整数) (2)32 (3)36 或 37,最大的月销售利润是 2720 元 4. (1) w ? ?2 x ? 240 (2) y ? ?2x2 ? 340x ?15 000 ,当 x=85 时,ymax=-550 (3)75

学生做题前请先回答以下问题 二次函数应用题(一)
一、单选题(共 5 道,每道 20 分) 1.有一座抛物线型拱桥,正常水位时桥下水面宽度为 20 米,拱顶距离水面 4 米,建立如图 所示的平面直角坐标系,若正常水位时,桥下水深 6 米,为保证过往船只顺利航行,桥下水 面宽度不得小于 18 米,则当水深超过( )米时,就会影响过往船只的顺利航行.

A.2.76 米 B.6.76 米 C.6 米 D.7 米

2.如图, 隧道的截面是抛物线, 可以表示为 那么每条行道宽是( )

, 该隧道内设双行道, 限高为 3m,

A.不大于 4m C.不小于 4m

B.恰好 4m D.大于 4m,小于 8m
11

3.你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.如图所示, 正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m,距地面均为 1m,学生丙、丁分别站在距 甲拿绳的手水平距离 1m,2.5m 处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙 的身高是 1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图所示)( )

A.1.5m C.1.66m

B.1.625m D.1.67m

4.某公园草坪的防护栏由 100 段形状相同的抛物线型构件组成.如图,为了牢固起见,每段 护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱,若防护栏的最高点距底部 0.5m,则这条防护栏 需要不锈钢支柱的总长度至少为( )

A.1.6m C.160m

B.80m D.0.8m

5.如图, 排球运动员甲站在点 O 处练习发球, 将球从 O 点正上方的 A 处发出, 把球看成点,

其运行路线是抛物线

的一部分, D 为球运动的最高点. 球网 BC 与 O

点之间的水平距离为 9m,以 O 为坐标原点建立如图所示的坐标系,乙站立地点 M 的坐标 为(m,0)( ) .乙原地起跳可接球的最大高度为 2.4 米,若乙因为接球高度不够而失 )

球,则 m 的取值范围是(

12

A. C. D.

B.

二次函数应用题(二)
一、单选题(共 7 道,每道 14 分) 1.在一次商品交易会上,某商人将每件进价为 8 元的纪念品,按每件 9 元出售,每天可售出 20 件.他想采用提高售价的方法来增加利润,经实验,发现这种纪念品每件提价 1 元,每 天的销售量会减少 4 件. (1)每天所得的利润 y(元)与售价 x(元/件)之间的函数关系式为( )

A. B.

C. D. 2. (上接第 1 题) (2) 每件售价定为______元, 才能使一天所得的利润最大, 最大利润是____ 元.( ) A.10,32 B.11,36 C.48.5,410 D.9,180 3.某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资 3 000 元,已知绿茶每千克的成本为 50 元,在 第一个月的试销时间内发现,销售量 w(千克)随销售单价 x(元/千克)的变化而变化,具 体变化规律如下表所示:

(1)根据上表分析,w 与 x 之间的函数关系式为(

)

A.

B.

C.
13

D.

4.(上接第 3 题) (2)设该绿茶的第一个月的月销售利润为 y(元) (销售利润=售价× 销售 量-成本-投资) ,则 y 与 x 之间的函数关系式为_______,当 x=_______时,y 的值最大,最 大值为_________.( ) A. B. C. D. ,85,2450 ,85,3550 ,85,550 ,85,-550

5.(上接第 3,4 题) (3)若在第一个月里,按使销售利润最大的销售单价进行销售,在第 二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于 90 元/千克,要想在全部收回投资的基础上使 第二个月的利润达到 1 700 元,那么第二个月里应该确定销售单价为( )元. A.85 B.75 C.75 或 95 D.95 6.某电子厂商投产一种新型电子产品,已知每件的制造成本为 18 元,试销过程中发现,每 月销售量 y (万件) 与销售单价 x (元) 之间的关系可以近似地看作一次函数 y=-2x+100. (利 润=售价-制造成本) (1)每月的利润 w(万元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式为( ) A. C. B. D.

7.(上接第 6 题) (2)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于 32 元,如果 厂商要获得每月不低于 350 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要 ( )万元. A.1152 万元 B.900 万元 C.648 万元 D.252 万元

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