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2006年全国高中数学联赛(四川初赛)及答案


2006 年全国高中数学联赛(四川初赛) 9 月 24 日上午 8:30——10:30 试题录制:四川省成都市新都一中 肖宏 电子邮件:cdxh@21cn.com 个人主页:http://cdxh.51.net 中文域名:开泉涤尘 一、选择题(每小题 5 分,共计 30 分)每个小题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中有且仅有 一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后括号内

。每小题选对的 5 分,不选、选错或选 出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分. 1、不定方程 2(x+y)=xy+7 的正整数解得个数是 A、1 B、2 C、3 D、4 α 2、若 α 是第二象限的角,则- 是 2 A、第一象限角 B、第二象限角 C、第一、二象限角 D、第二、四象限角 2 2 3、已知集合 A={x|x -5x+6<0},B={x|x -ax+5=0},若 A∩B≠Φ,则实数 a 的取值范围 是 A、[2 5, 14 ) 3 9 B、[2 5, ) 2 27 B、 4 9 14 C、( , ) 2 3 25 C、 4 14 D、(- ,-2 5] 3

4、x 为实数,函数 f(x)=4cos3x-3cos2x-6cosx+5 的最大值是 A、7 D、5

5、在 1,2,3,4,5,6,7 的任一排列 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 中使相邻两数互质的排列方 式共有 A、288 B、576 C、864 D、1152 6、三个半径为 1 的球互相外切,且每个球同时与另外两个半径为 r 的球外切,如果这两个半径 为 r 的球也互相外切,则 r 等于 A、1 1 B、 2 1 C、 3 1 D、 6

二、填空题(每小题 5 分,6 个小题共计 30 分)将答案直接写在题中横线上. 7、函数 y= x2+2x+2+ x2-2x+2的最小值是________________. 8、已知数列{an}满足 a1=3,an+1=9· 3 an(n≥1),则lim an=_________________.
n→∞

9、若(2x-1) =a8x +a7x +……+a1x+a0,则 a8+a6+a4+a2=_________________. 10、设关于 x 的三个方程 x2+2sinA1x+sinA2=0,x2+2sinA2x+sinA3=0,x2+2sinA3x+sinA1=0, 均有实数根,A1,A2,A3 为凸 4n+2 边形 A1A2A3……A4n+2 的三个内角,且所有内角均为 30° 的倍数,则这个凸 4n+2 边形的内角和为___________________. 11、若△ABC 中,BC=12,BC 边上的高 ha=8,hb,hc 分别为 CA,AB 边上的高,则乘积 hbhc 的最大值为__________________. x2 y2 12、已知椭圆 +y2=1 和双曲线 x2- =1,其中 F1,F2 为椭圆的焦点,且 P 是椭圆与双曲线的 4 2 一个交点,则 cos∠F1PF2=_______________________.

8

8

7

三、解答题(每小题 20 分,4 个小题共计 80 分) 13、如图,在△ABC 内取一点 P,使∠PBA=∠PCA,作 PD⊥AB 于 D,PE⊥AC 于 E,求证: DE 的垂直平分线必经过 BC 的中点 M. A

D E P

C M 14、 已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、 两点, B 若另有一直线 l 经过点 P(-2, 0)及线段 AB 的中点 Q,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

B

2k-3 2k-1 1 3 15、已知数列{ak}定义如下:ak= · ·……· · (k=1,2,……) 2 4 2k 2(k-1) 求证:(1)an+1< 1 ; 2n+3
n k=1

(2)对任意的正整数 n,都有∑ ak< 2(n+1)-1 成立.

16、如图是一个由 3×4 个单位方格组成的街道地图,线条为道路。甲从 A(0,0)点出发按最短 路程走向 B(4,3),乙从 B 点按最短路程走向 A 点,如果他们同时出发,并且以相同的速度 前进,那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少? B(4,3)

A(0,0)

2006 年全国高中数学联赛(四川初赛) 试题参考答案及评分标准 一、BDABCD 二、7、2 2; 8、27; 9、3280; 10、4π; 2304 11、 ; 25 1 12、- 3 A

三、 13、如图,设 L、N 分别是 PB、PC 的中点, 连结 MD,ME,ML,MN,DL 和 EN 1 1 则 ML∥PC,且 ML= PC;MN∥PB,且 MN= PB 2 2 1 1 又由∠PDB=∠PEC=90°知 DL= PB,EN= PC 2 2 因此 DL=MN ① ML=EN ② 并且 PLMN 为平行四边形 ……10 分 B 于是∠PLM=∠PNM ∠DLP=2∠PBA=2∠PCA=∠ENP 故∠DLM=∠DLP+∠PLM=∠ENP+∠PNM=∠ENM ③ 因而由①②③知△DML≌△MEN 故 DM=EM,从而 BC 的中点 M 在 DE 的垂直平分线上 即 DE 的垂直平分线必经过 BC 的中点 M. ……20 分 14、设 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)
?y=kx-1 由题意建立方程组:? 2 2 ?x -y =1

D E L P N C M

消去 y 得:(1-k )x +2kx-2=0 由已知直线与双曲线左支交于 A、B 两点,于是

2

2

……5 分

? ? ? ? ?

1-k ≠0 2 2 △=(2k) +8(1-k )>0 -2k x1+x2= 2<0 ,解得:- 2<k<-1 1-k -2 x1x2= 2>0 1-k

2

……10 分

x1+x2 k 因为 Q 为线段 AB 的中点,Q 点的横坐标为 = 2 2 k -1 y1+y2 1 故纵坐标为 = 2 2 k -1 1 -0 2 k -1 1 直线 l 的斜率为 k1= = 2 k 2k +k-2 +2 2 k -1 1 故直线 l 的方程为 y= 2 (x+2) 2k +k-2

2 令 x=0,则直线 l 在 y 轴上的截距为 b= 2 = 2k +k-2

2 1 2 17 2(k+ ) - 4 8

……15 分

1 2 17 又因为- 2<k<-1,故二次函数 u=2(k+ ) - 的取值范围是-1<u<2- 2 4 8 2 2 即 <-2 或 >2+ 2 u u 2 所以,b= 的取值范围是(-∞,-2)∪(2+ 2,+∞) u 2n-1 2n+1 1 3 15、证明:(1)令 A= · ·……· · (n=1,2,……) 2 4 2n 2(n+1) 2(n+1) 2 4 2n 再设 B= · ·……· · (n=1,2,……) 3 5 2n+1 2n+3 1 2 则 A<B,从而 A <AB= 2n+3 ∴A< 1 1 ,即 an+1< 2n+3 2n+3 ……5 分 ……10 分 ……20 分

2k-3 2k-1 2k+1 1 3 (2)由 ak= · ·……· · 知 ak+1= ak 2 4 2k 2(k-1) 2(k+1) 即 2(k+1)ak+1=(2k+1)ak 故 ak=2(k+1)ak+1-2kak
n n k=1 k=1

……15 分

所以∑ ak=∑ [2(k+1)ak+1-2kak]=2(n+1)an+1-2a1=2(n+1)an+1-1 <2(n+1) 1 1 -1<2(n+1) -1< 2(n+1)-1 ……20 分 2n+3 2n+2

16、设甲乙经过一个单位长的线段需要时间 T=1 如图不难算出,甲从 A 出发,当 T=3 时,到达点 P1(0,3),P3(1,2),P5(2,1),P7(3,0) 1 3 3 1 的概率分别为 , , , . 8 8 8 8 1 3 3 1 分别为 , , , . 8 8 8 8 ……5 分

同理,乙从 B 点出发,当 T=3 时,到达点 P2(1,3),P4(2,2),P6(3,1),P8(4,0)的概率 ……10 分 P1 P2 P4 P6 P8 B(4,3)

甲和乙在路段 P1P2 上相遇的概率是: 甲经过 P1P2 的概率×乙经过 P1P2 的概率 1 1 1 1 = ×( × )= 8 8 2 128 ……15 分

P3 P5

3 同理,甲和乙在路段 P2P3 上相遇的概率为 256 9 甲和乙在路段 P3P4 上相遇的概率为 256 A(0,0)

P7

9 甲和乙在路段 P4P5 上相遇的概率为 256 9 甲和乙在路段 P5P6 上相遇的概率为 256 3 甲和乙在路段 P6P7 上相遇的概率为 256 1 甲和乙在路段 P7P8 上相遇的概率为 128 综上所述,甲和乙在路上相遇的概率为 1 3 9 9 9 3 1 37 + + + + + + = . 128 256 256 256 256 256 128 256 注:能够正确求出到某一点 Pi 的概率均可给 5 分. ……20 分


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