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离散型随机变量的方差2-3 (15)


成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 随机变量及其分布

第二章
2.3 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的方差

2.3.2

1

自主预习学案

2

r />
典例探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

通过实例,理解离散型随机变量方差的概念,会计算简单 离散型随机变量的方差,体会离散型随机变量的方差在实际生

活中的意义和应用,提高数学应用意识,激发学习兴趣.

重点:离散型随机变量方差的概念与计算.

难点:对方差刻画随机变量稳定性的理解与方差的计算.

离散型随机变量的方差

温故知新
回顾复习样本方差(标准差)的定义及应用.

思维导航 1.设一组数据有 3 个 1,2 个 2,1 个 3,若其均值为 E(X), 将其各数据记作 xi(i=1,2,?,6),且 p(xi)=pi,计算其样本方 差S , 并计算 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 的值, 比较 S2 与 D(X)的值,
2 i=1 n

你发现了什么?

2.A、B 两台机床加工同一种零件的次品率如下表: A 机床 次品数 X1 P B 机床 次品数 X2 P 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04

计算 E(X1)与 E(X2),能用期望值比较两台机床的产品质量 吗?参照样本方差的定义与应用想一想可以用怎样的统计量来 比较两机床的加工质量.

新知导学 1.随机变量的方差、标准差的定义: 设离散型随机变量的分布列如下表. X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

(xi-E(X))2 描述了 xi(i=1,2,?,n)相对于均值 E(X) 则____________
2 ? x - E ? X ?? pi为这些偏离程度的加权 ? i 的偏离程度,而 D(X)= i=1 n

平均偏离程度 平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的____________ .我们
称 D(X)为随机变量 X 的方差,其算术平方根 D?X?为随机变量 标准差 . X 的__________

2.离散型随机变量与样本相比较,随机变量的 数学期望 的含义相当于样本均值,随机变量取各个不同值, __________
概率 相当于各个不同样本点,随机变量取各个不同值的__________ 相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重. 3 .随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏 均值 离于__________ 的平均程度,方差( 或标准差 ) 越小,则随机变 量偏离于均值的平均程度__________ . 越小

4.方差的性质

a2D(X) . 若 a、b 为常数,则 D(aX+b)=__________
设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 分布列为 Y P ax1+b p1 ax2+b p2 ? ? axi+b pi ? ? axn+b pn x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

由 Y=aX+b(a,b 为常数)知 Y 也是离散型随机变量.Y 的

由数学期望的线性性质得 E(Y)=aE(X)+b,于是 D(aX+b)=D(Y)= ? (axi+b-E(Y))2pi
i=1 n n n

= ? (axi+b-aE(X)-b) pi= ? (axi-aE(X))2pi
2 i=1 i=1

a ? (xi-E(X))2pi 2D(X) a =1 i =__________________=__________.
2

n

二项分布的方差 思维导航 3 .依据二项分布列的特征和方差的定义,你能求出二项

分布B(n,p)的方差吗?

新知导学 p(1-p) . 5.若X服从两点分布B(1,p),则D(X)=__________ 设随机变量X~B(1,p),则由两点分布随机变量数学期望 的计算公式得 E(X) = p ,于是 D(X) = (0- p)2(1 - p) + (1 - p)2p = p(1-p)(p+1-p)=p(1-p). np(1-p) . 6.若X~B(n,p),则D(X)=__________
∵E(X)= ?iCinpi(1-p)n i=np,


n

i =0

i(i-1)Cin=i· (i-1)·

n! i!?n-i?!

n?n-1?· ?n-2?! =i(i-1)· i· ?i-1?· ?i-2?![?n-2?-?i-2?]!
2 =n(n-1)__________Cin- -2.

∴ ?i(i-1)Cinpi(1-p)n-i
i=0 n

n

= ?i(i-1)Cinpi(1-p)n-i
i=2

2 i-2+2 = ?n(n-1)Cin- (1-p)(n-2)-(i-2) -2p i=2

n

=n(n-1)p2 ?Cin-2pi(1-p)n-2-i
i=0

n-2

=n(n-1)p2. ∴D(X)= ? (i-E(X))2Cinpi(1-p)n-i
i= 0 n n

= ? (i2-2npi+(np)2)Cinpi(1-p)n
i=0

-i

= ?i
i=0

n

2

Cin pi(1 - p)n - i - 2np

n i i n-i 2 i C n p (1 - p) + (np) C in pi(1- i=0 i=0

?

n

?

p)n-i = ?i2Cinpi(1-p)n-i-2(np)2+(np)2
i=0 n n

= ?i2Cinpi(1-p)n-i-(np)2,
i=0

n i i n-i 又 i Cnp (1-p) = i=0 i=0

? ?
n

n

2

? (i(i-1)+i)Cinpi(1-p)n-i ?

n i i n-i = i(i-1)Cnp (1-p) + iCinpi(1-p)n-i i=0 i=0

=n(n-1)p2+np-(np)2=np-np2=np(1-p). ∴D(X)=np(1-p).

牛刀小试 1. 甲、 乙两个运动员射击命中环数 ξ、 η 的分布列如下表. 其 中射击比较稳定的运动员是( 环数 k P(ξ=k) P(η=k) A.甲 C.一样 8 0.3 0.2 B.乙 D.无法比较 ) 9 0.2 0.4 10 0.5 0.4

[答案] B [解析] E(ξ)=9.2,E(η)=9.2=E(ξ),D(ξ)=0.76,D(η)= 0.56<D(ξ),乙稳定.

2.设随机变量 X 服从二项分布 ( ) 4 A.3 8 C.9 [答案]
[解析]

? 1? B?4,3?,则 ? ?

D(X)的值为

8 B.3 1 D.9

C
1 1 8 D(X)=4×3×(1-3)=9.

3.(2014· 哈师大附中高二期中)设 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=
k 1 k 2 5-k C5( ) ( ) ,(k=0、1、2、3、4、5),则

3 3

D(3ξ)=(

)

A.10 C.15

B.30 D.5

[答案] A

1 [解析] 由 ξ 的分布列知 ξ~B(5,3), 1 1 10 ∴D(ξ)=5×3(1-3)= 9 , ∴D(3ξ)=9D(ξ)=10,故选 A.

4.(2015·广东理,13)已知随机变量X服从二项分布B(n,

p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.
[答案] 1 3

[解析] 依题意可得 E(X)=np=30 且 D(x)=np(1-p)=20, 1 解得 p=3.

5.随机变量 X 的分布列如下表: X P 0 x 1 y 2 z

1 其中 x、y、z 成等差数列,若 E(X)=3,则 D(X)的值是 ________________.

[答案]

2 9

1 [解析] E(X)=0×x+1×y+2×z=y+2z=3, 2 1 又 x+y+z=1,且 2y=x+z,∴x=3,y=3,z=0, 12 2 12 1 12 2 ∴D(X)=(0-3) ×3+(1-3) ×3+(2-3) ×0=9.

典例探究学案

求离散型随机变量的方差、标准差 设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如表所

示:
ξ P 试求 E(ξ)、D(ξ). -1 1 2 0 1-2q 1 q2

[分析]

分布列中含有参数 q,依据分布列的性质可确定 q

的值,然后按期望,方差的定义可求E(ξ)、D(ξ).

[解析] 由于离散型随机变量的分布列满足: (1)Pi≥0(i=1,2,?);(2)p1+p2+?=1. ? ?1+?1-2q?+q2=1, ?2 故?0≤1-2q≤1, ? 2 ? q ? ≤1. 故 ξ 的分布列为 ξ P -1 1 2 0 2-1 1 3 2- 2 2 解之得 q=1- 2 .

1 3 ∴E(ξ)=(-1)×2+0×( 2-1)+1×(2- 2)=1- 2, 1 D(ξ)=[-1-(1- 2)] ×2+(1- 2)2×( 2-1)+[1-(1-
2

3 2)] ×(2- 2)= 2-1.
2

[方法规律总结] 1.求离散型随机变量 X 的方差的一般步 骤:

2.(1)已知分布列求方差,先求期望 E(X)再代入方差公式 求 D(X),计算量大要细致. (2) 分布列中含参数时,要先利用分布列的性质求出参数 值,得出分布列. (3)特殊分布的方差可直接按相应公式计算.

已知离散型随机变量 X 的分布列如下表, 若 E(X)=0, D(X) =1,则 a=________________,b=________. X P -1 a 0 b 1 c 2 1 12

[答案]

5 1 12 4

[解析] 由期望、方差的定义和条件知, ? ?a+b+c+ 1 =1, 12 ? ? 1 ?-a+c+ =0, 6 ? ? 1 2 2 2 ?-1? · a+1 · c+2 ×12=1. ? ? 5 1 解之得,a=12,b=4.

离散型随机变量的方差的性质 已知随机变量X的分布列是
X P 0 0.2 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1

试求 D(X)和 D(2X-1).

[分析]

已知分布列求方差,可先求出均值,再套用公式

计算.求D(2X-1)可利用方差的性质计算.

[ 解析 ] =1.8.

E(X) = 0×0.2 + 1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.2 + 4×0.1

∴D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+ (3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56. 对于 D(2X-1),可用两种方法求解. 方法 1:2X-1 的分布列如下表: 2X-1 P -1 0.2 1 0.2 3 0.3 5 0.2 7 0.1

∴E(2X-1)=2.6.

∴D(2X - 1) = ( - 1 - 2.6)2×0.2 + (1 - 2.6)2×0.2 + (3 -
2.6)2×0.3+(5-2.6)2×0.2+(7-2.6)2×0.1=6.24. 方法2:利用方差的性质D(aX+b)=a2D(X). ∵D(X)=1.56. ∴D(2X-1)=4D(X)=4×1.56=6.24. [方法规律总结] D(aX+b)=a2D(X)求. 求随机变量函数Y=aX+b的方差,一是 先求 Y 的分布列,再求其均值,最后求方差;二是应用公式

(1)已知随机变量X满足D(X)=2,则D(3X+2)=(
A.2 C.18 B.8 D.20

)

(2)(2015· 南安市高二期中 ) 已知 ξ ~ B(n , p) , E(ξ) = 3 , D(2ξ+1)=9,则p的值是________.

1 [答案] (1)C (2)4

[解析] (1)D(3X+2)=9D(X)=18. 9 (2)∵D(2ξ+1)=9,∴D(ξ)=4, ∵ξ~B(n,p),E(ξ)=3,∴np=3, 9 np(1-p)=4, ② 3 1 ∴ 得 1-p=4,∴p=4, ① 1 故答案为4. ① ②

两点分布与二项分布的方差
(2015· 宝鸡市金台区高二期末 ) 在一次数学考试 中,第 22,23,24 题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中 1 选做一题,设 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为3, 每位学生对每题的选择是相互独立的,各学生的选择相互之间 没有影响. (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率; (2)设选做第 23 题的人数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望、 方差.

[分析]

(1)甲、乙两人选做同一题,包括同做第一题,同

做第二题,同做第三题,由于每位学生选题相互独立,且每位 学生只选做一题,故按互斥事件与独立事件求解. (2) 五位考生选题是五次独立重复试验,因此 ξ服从二项分 布.

[解析] (1)设事件 A1 表示甲选 22 题,A2 表示甲选 23 题, A3 表示甲选 24 题, B1 表示乙选 22 题,B2 表示乙选 23 题,B3 表示乙选 24 题, 1 依题意 P(Ai)=P(Bi)=3,i=1,2,3,则甲、乙两人选做同一 题的事件为 A1B1+A2B2+A3B3,且 A1 与 B1,A2 与 B2,A3 与 B3 相互独立, ∴ P(A1B1 + A2B2 + A3B3) = P(A1)P(B1) + P(A2)P(B2) + 1 1 1 P(A3)P(B3)=(3×3)×3=3.

(2)ξ 可能取值为 0,1,2,3,4,5.且 5 名考生选做这三题中的任意 1 一题的可能性均为3,
5-k 2 k 1 k 2 5-k ∴P(ξ=k)=C5(3) (3) =Ck 5· 5 ,k=0,1,2,3,4,5, 3

∴ξ 的分布列为 0 1 2 3 ξ 32 80 80 40 P 243 243 243 243 1 5 ∴E(ξ)=np=5×3=3. 1 1 10 D(ξ)=np(1-p)=5×3×(1-3)= 9 .

4 10 243

5 1 243

[方法规律总结] 意以下两点:

求离散型随机变量的期望与方差主要注

(1)写出离散型随机变量的分布列; (2)正确应用均值与方差的公式进行计算. 对于二项分布关键是通过题设环境确定随机变量服从二项 分布,然后直接应用公式计算.

(2014·辽宁理,18)一家面包房根据以往某种面包的销售记
录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售
量相互独立. (1) 求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求 随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).

[解析] (1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未来连续 3 天是有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个”,因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6 P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

(2)X 可能取的值为 0、1、2、3,相应的概率为
3 P(X=0)=C0 · (1 - 0.6) =0.064, 3 2 P(X=1)=C1 · 0.6(1 - 0.6) =0.288. 3 2 P(X=2)=C2 · 0.6 (1-0.6)=0.432. 3 3 P(X=3)=C3 · 0.6 =0.216. 3

分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

因为 X~B(3,0.6) 所以期望 E(X)=3×0.6=1.8, 方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

方差的实际应用 有一批零件共 10 个合格品、 2 个不合格品.安

装机器时从这批零件中任选 1 个,取到合格品才能安装;若取
出的是不合格品,则不再放回. (1)求最多取2次零件就能安装的概率; (2)求在取得合格品前已经取出的次品数X的分布 列,并求出X的均值E(X)和方差D(X)(方差计算结果保留两 个有效数字).

10 [解析] (1)设安装时所取零件的次数是 η,则 P(η=1)=12 5 =6,这是取 1 次零件就取到了合格品,可以安装; 2 10 5 P(η=2)=12×11=33,这是第 1 次取到不合格品,第 2 次 取到了合格品. ∴最多取 2 次零件就能安装的概率为 5 5 65 6+33=66.

(2)依题意 X 的所有可能取值为 0、1、2, 5 P(X=0)=P(η=1)=6, 5 P(X=1)=P(η=2)=33, 5 5 1 P(X=2)=1-6-33=66.

故 X 的分布列是 X P 0 5 6 1 5 33 2 1 66

5 5 1 2 于是 E(X)=0×6+1×33+2×66=11, 5 ? 2 ?2 5 ? 9 ?2 1 ?20?2 D(X)=6×?11? +33×?11? +66×?11? ≈0.18. ? ? ? ? ? ? 2 所以 X 的期望值和方差值分别是11和 0.18.

[ 方法规律总结 ]

1. 解答离散型随机变量的实际应用问题

时,一要分析题目背景,根据实际情况抽象出概率模型,特别
注意随机变量的取值及其实际意义;二是弄清实际问题是求期 望还是方差,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的 平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳 定.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时, 两者都要分析. 2 .在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件, 相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性

质,简化概率计算.

(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安
中学一模)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 11 月 10 日至 11 月 21 日中 的某一天到达该市,并停留3天(包括到达的当天). (1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率; (2) 设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布 列、数学期望与方差;

日期

10

11

12

13

14

15

16

空气质量指数 85 17 日期 空气质量指数 85

30 56 153 221 220 150 18 19 20 21 22 23 95 150 124 98 210 179

[解析] 设 Ai 表示事件“此人于 11 月 i 日到达该市”(i= 10,11,?,21). 1 根据题意,P(Ai)=12,且 Ai∩Aj=?(i=j) (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”, 则 B=A14 2 1 ∪A15,所以 P(B)=P(A14∪A15)=12=6.

(2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 2 1 P(X=0)=P(A13∪A14)=12=6, P(X=1)=P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21) 6 1 =12=2, 3 1 P(X=2)=P(A11∪A16∪A17)=12=4, 1 P(X=3)=P(A10)=12,

所以 X 的分布列为: X P 0 1 6 1 1 2 2 1 4 3 1 12

1 1 1 1 5 ∴X 的期望 E(X)=0×6+1×2+2×4+3×12=4. 52 1 52 1 52 1 52 1 D(X)=(0- 4) ×6+(1- 4 ) ×2+(2- 4 ) ×4+(3- 4 ) ×12 11 =16.

准确理解随机变量取值的含义 某人有 5 把钥匙,其中只有一把能打开某一扇 门,今任取一把试开,不能打开者除去,求打开此门所需试开 次数X的均值和方差.

[错解] 5 把钥匙中只有一把能打开房门, 任取一把打开房 1 1 门的概率为5,故试开次数 X~B(5,5),由二项分布均值与方 1 1 1 4 差的定义知 E(X)=5×5=1,D(X)=5×5×(1-5)=5.

[辨析] 首先这不是五次独立重复试验,从 5 把钥匙中取 一把试开房门,若不能打开,则除去这把后,第二次试开就只 有 4 把钥匙了. 其次 X=k 的含义是前 k-1 把钥匙没有打开房门,而第 k 把钥匙打开了房门.

[正解]

设 X 为打开此门所需的试开次数,则 X 的可能取

值为 1、2、3、4、5. X=k 表示前 k-1 次没打开此门,第 k 次才打开了此门. 1 P(X=1)=5, C1 1 41 P(X=2)=C1· =5, 4 5 C2 1 41 P(X=3)=C2· =5, 53 C3 1 41 P(X=4)=C3· =5, 2 5 C4 1 4 P(X=5)=C4· 1=5, 5

故随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5

1 1 1 1 1 E(X)=1×5+2×5+3×5+4×5+5×5=3. 1 1 1 1 2 2 2 D(X)=(1-3) ×5+(2-3) ×5+(3-3) ×5+(4-3) ×5+
2

1 (5-3) ×5
2

1 =5×(22+12+02+12+22)=2.

[警示] (1)弄不清随机变量 X 取值的含义是本题解题的易 错点,X=k 表示前 k-1 把钥匙是从 4 把打不开房门的钥匙中
-1 Ck 1 4 取的,故 P(X=k)= k-1· . C5 5-?k-1?

(2)本题求分布列时,可换一个思维角度思考,把 5 把钥匙 排成一列,能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的,因此 1 排在第 k 个位置的概率为 P(X=k)=5(k=1,2,3,4,5).


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