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直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)


直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义
类型一:倾斜角与斜率的关系

1.已知直线 的倾斜角的变化范围为

,求该直线斜率的变化范围;

【变式】直线

的倾斜角的范围是(

)

A.

B.

C.

D.

类型二:斜率定义
2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率.

【变式 1】如图,直线 A. B. C. D.

的斜率分别为

,则(

)

1

类型三:斜率公式的应用
3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.

【变式 1】过两点



的直线 的倾斜角为

,求 的值.

【变式 2】

为何值时,经过两点

(-

,6),

(1,

)的直线的斜率是 12.

4.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

【变式 1】已知





三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?

【变式 2】已知直线的斜率 值.







是这条直线上的三个点,求 和



2

类型四:两直线平行与垂直
5. 四边形 的形状. 的顶点为 , , , , 试判断四边形

【变式 1】 已知四边形 为矩形.

的顶点为







, 求证: 四边形

【变式 2】已知





三点,求点

,使直线

,且



【变式 3】若直线

与直线

互相垂直,则实数

=__________.

3

直线的倾斜角与斜率(20131125)作业
姓名 题组一 成绩 直线的倾斜角

1.已知直线 l 过点(m,1),(m+1,tanα+1),则 A.α 一定是直线 l 的倾斜角 C.α 不一定是直线 l 的倾斜角

(

)

B.α 一定不是直线 l 的倾斜角 D.180° 一定是直线 l 的倾斜角 -α

2.如图,直线 l 经过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率为 k,则 ( A.ksinα>0 B.kcosα>0 C.ksinα≤0 D.kcosα≤0

)

题组二

直线的斜率及应用

3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1<k2<k3,则下列说法中一定正确 的是( ) B.k2k3=-1 C.k1<0 D.k2≥0

A.k1k2=-1

4.已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________.

5. 已知两点 A(-1, -5), -2), B(3, 若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, l 的斜率是________. 则

题组三

两条直线的平行与垂直 )

6 已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 an=bm 是直线 l1∥l2 的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4 C.2 D.1

)

4

a 8.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为 ( b 2 A. 3 B.- 2 3 1 C. 3 1 D.- 3

)

9.设直线 l1 的方程为 x+2y-2=0,将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90° 得到直线 l2,则 l2 的方程 是________________.

题组四

直线的倾斜角和斜率的综合问题

10.若关于 x 的方程|x-1|-kx=0 有且只有一个正实数根,则实数 k 的取值范围是________.

11.已知点 A(2,3),B(-5,2),若直线 l 过点 P(-1,6),且与线段 AB 相交,则该直线倾斜角的取值范 围是________.

12.已知点 M(2,2),N(5,-2),点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点).(2)∠MPN 是直角.

5

直线的倾斜角与斜率(20131125)讲义答案
类型一:倾斜角与斜率的关系

1.已知直线 的倾斜角的变化范围为

,求该直线斜率的变化范围;

思路点拨: 已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的范围,通过正切函数 的图像,可以求得角的范围 解析:









总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,可利用





上是增函数分别求解.当

时,

;当

时,





时, 举一反三: 【变式】

;当 不存在时,

.反之,亦成立.

(2010 山东潍坊,模拟)直线

的倾斜角的范围是

A.

B.

C. 【答案】B 解析:由直线

D.



所以直线的斜率为



设直线的倾斜角为

,则



6

又因为

,即



所以



类型二:斜率定义
2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线 AB 的倾斜角为 180°-30°=150°,直线 AC 的倾斜角为 30°,

∴kAB=tan150°=

kAC=tan30°=

总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向 ② 轴正向③小于 举一反三: 【变式 1】 如图,直线 A. B. C. D. 【答案】 的斜率分别为 ,则( ) 的角,只有这样才能正确的求出倾斜角.

由题意, 本题选题意图:对倾斜角

,则 变化时, 如何变化的定性分析理解.∴选 B.

类型三:斜率公式的应用
3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.

思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可.
7

解析: 且 ,

经过两点的直线的斜率



即 即当 总结升华:

. 时, 为锐角,当 时, 为钝角.

本题求出

,但

的符号不能确定,我们通过确定

的符号来确定 的符号.当

时,

,为锐角;当 举一反三: 【变式 1】 过两点 【答案】 由题意得: 直线 的斜率

时,

,为钝角.



的直线 的倾斜角为

,求 的值.



故由斜率公式 解得 经检验 故 . 或 .



不适合,舍去.

【变式 2】 为何值时,经过两点 【答案】 (,6), (1, )的直线的斜率是 12.

, .

8

即当

时,



两点的直线的斜率是 12.

4.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 思路点拨: 如果过点 AB,BC 的斜率相等,那么 A,B,C 三点共线. 解析:

∵A、B、C 三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.

总结升华: 斜率公式可以证明三点共线,前提是他们有一个公共点且斜率相等. 举一反三: 【变式 1】 已知 【答案】 经过 经过 所以 , , , 两点直线的斜率 两点的直线的斜率 , . . , , 三点,这三点是否在同一条直线上,为什么?

三点在同一条直线上.

【变式 2】 已知直线的斜率 【答案】 由已知,得 , , , 是这条直线上的三个点,求 和 的值.

; 因为 , ,

. 三点都在斜率为 2 的直线上,

所以 解得 ,

, .



类型四:两直线平行与垂直
5. 四边形 的顶点为 , , , , 试判断四边形
9

的形状. 思路点拨: 证明一个四边形为矩形,我们往往先证明这个四边形为平行四边形,然后再证明平行四边形的一个角 为直角. 解析:

边所在直线的斜率



边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 , ,

, , . , ,即四边形 为平行四边形.





,即四边形

为矩形.

总结升华: 证明不重和的的两直线平行,只需要他们的斜率相等,证明垂直,只需要他们斜率的乘积为-1. 举一反三: 【变式 1】 已知四边形 【答案】 由题意得 边所在直线的斜率 , , , . 为平行四边形, , , 即平行四边形 【变式 2】
10

的顶点为







,求证:四边形

为矩形.



边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 边所在直线的斜率 则 所以四边形 又因为 ;

为矩形.

已知 【答案】 设点





三点,求点

,使直线

,且



的坐标为

,由已知得直线

的斜率



直线

的斜率

;直线

的斜率

;直线

的斜率



由 所以,点 【变式 3】

,且 的坐标是 .



解得





(2011 浙江 12)若直线 【答案】 因为直线 与直线

与直线

互相垂直,则实数

=__________.

互相垂直,所以

,所以



11

直线的倾斜角与斜率(20131125)作业答案
姓名 题组一 1.已知直线 l 过点(m,1),(m+1,tanα+1),则 A.α 一定是直线 l 的倾斜角 B.α 一定不是直线 l 的倾斜角 C.α 不一定是直线 l 的倾斜角 D.180° 一定是直线 l 的倾斜角 -α 解析:设 θ 为直线 l 的倾斜角, tanα+1-1 则 tanθ= =tanα, m+1-m ∴α=kπ+θ,k∈Z,当 k≠0 时,θ≠α. 答案:C 2.如图,直线 l 经过二、三、四象限,l 的倾斜角为 α,斜率 为 k,则 A.ksinα>0 C.ksinα≤0 π 解析:显然 k<0, <α<π, 2 ∴cosα<0,∴kcosα>0. 答案:B 题组二 直线的斜率及应用 B.kcosα>0 D.kcosα≤0 ( ) 成绩 直线的倾斜角 ( )

3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1<k2<k3,则下列说法中一定正确 的是 A.k1k2=-1 解析:结合图形知,k1<0. 答案:C 4.(2008· 浙江高考)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________. 解析:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kBC,即 答案:1+ 2 5. 已知两点 A(-1, -5), -2), B(3, 若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, l 的斜率是________. 则 解析:设直线 AB 的倾斜角为 2α,则直线 l 的倾斜角为 α,由于 0° ≤2α<180° ,∴0° ≤α<90° ,由 a2+a a3-a2 = ,又 a>0,∴a=1+ 2. 2-1 3-2 B.k2k3=-1 C.k1<0 ( ) D.k2≥0

12

-2-(-5) 3 1 1 tan2α= = ,得 tanα= ,即直线 l 的斜率为 . 3 3 3-(-1) 4 1 答案: 3 题组三 两条直线的平行与垂直

6.(2009· 陕西八校模拟)已知两条直线 l1: ax+by+c=0, 直线 l2: mx+ny+p=0, an=bm 是直线 l1∥l2 则 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:∵l1∥l2?an-bm=0,且 an-bm=0?/ l1∥l2,故 an=bm 是直线 l1∥l2 的必要不充分条件. 答案:B 7.(2009· 福建质检)已知直线 a2x+y+2=0 与直线 bx-(a2+1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( A.5 B.4 C.2 ) D.1

解析:由题意知,a2b-(a2+1)=0 且 a≠0, a2+1 1 ∴a2b=a2+1,∴ab= =a+ , a a 1 1 ∴|ab|=|a+ |=|a|+ ≥2.(当且仅当 a=± 时取“=”). 1 a |a| 答案:C a 8.(2010· 合肥模拟)已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为 b ( 2 A. 3 B.- 2 3 1 C. 3 ) 1 D.- 3

解析:曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率为 3, a 1 所以 =- . b 3 答案:D 9.(2009· 泰兴模拟)设直线 l1 的方程为 x+2y-2=0,将直线 l1 绕原点按逆时针方向旋转 90° 得到直线 l2,则 l2 的方程是________________.

1 解析:∵l1⊥l2,k1=- ,∴k2=2, 2 又点(0,1)在直线 l1 上,故点(-1,0)在直线 l2 上, ∴直线 l2 的方程为 y=2(x+1),即 2x-y+2=0. 答案:2x-y+2=0

题组四

直线的倾斜角和斜率的综合问题
13

10.若关于 x 的方程|x-1|-kx=0 有且只有一个正实数根,则实数 k 的取值范围是________. 解析:数形结合.在同一坐标系内画出函数 y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然 k≥1 或 k=0 时 满足题意.

答案:k≥1 或 k=0 11.(2009· 青岛模拟)已知点 A(2,3),B(-5,2),若直线 l 过点 P(-1,6),且与线段 AB 相交,则该直线 倾斜角的取值范围是________. 解析:如图所示, kPA= 6-3 =-1, -1-2

3π ∴直线 PA 的倾斜角为 , 4 kPB= 6-2 =1, -1-(-5)

π ∴直线 PB 的倾斜角为 , 4 π 3π 从而直线 l 的倾斜角的范围是[ , ]. 4 4 π 3π 答案:[ , ] 4 4 12.已知点 M(2,2),N(5,-2),点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点). (2)∠MPN 是直角. 解:设 P(x,0), (1)∵∠MOP=∠OPN,∴OM∥NP. ∴kOM=kNP. 2-0 0-(-2) 2 又 kOM= =1,kNP= = (x≠5), 2-0 x-5 x-5 ∴1= 2 ,∴x=7, x-5

即 P 点坐标为(7,0). (2)∵∠MPN=90° ,∴MP⊥NP, ∴kMP·NP=-1. k 又 kMP= ∴ 2 2 (x≠2),kNP= (x≠5), 2-x x-5

2 2 × =-1,解得 x=1 或 x=6, 2-x x-5
14

即 P 点坐标为(1,0)或(6,0).

15


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