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一道根式不等式原创题的简证


一道根式不等式原创题的简证
我在第八届初数会《有趣的数学哲理演绎论证》一文中提到,由某种拟题原则,可很 随意地构造出原创高档数学题。其中比如 例:已知正数 a ? b ? c ? 1 , 求证

1 1 1 ? b ? c2 ? ? c ? a2 ? ? a ? b2 ? 5 。 a b c

但总感到证明方法还不尽理想。经思索终于得出简便解法。 证明:设

1 1 1 ? b ? c 2 ? x, ? c ? a 2 ? y, ? a ? b 2 ? z ,即证 a b c

x? y? z ? 5。
由x ? y ? x ??
2 2 2

1 25 ? 1 1 1? , ? ? ? ? a ? b ? c ? a 2 ? b2 ? c2 ? 9 ? 1 ? ? 3 3 ?a b c?

?

?

如果命题成立,则对偶命题

1 1 1 1 1 1 ? c ? b2 ? ? a ? c2 ? ? b ? a 2 ? 5, ? a ? a2 ? ? b ? b2 ? ? c ? c2 ? 5 a b c a b c
等一概成立。 孙世保先生网上论证 ?
3

?1 ?? 1 ?? 1 ? ? 25 ? ? b ? c 2 ? ? ? c ? a 2 ? ? ? a ? b 2 ? ? ? ? ,但方法杂乱, ?a ?? b ?? c ? ? 9 ?
2 2 2

过程繁琐。其实,与 x ? y ? z ? 5, x ? y ? z ?

25 相仿,只是我的不等式之结构的一种 3 1 ? 0, 则 a

变化而已。比如轮换两变量和,相关结构倒数,这样的式子多得很。孙先生平方积结构,其 实证明亦应很容易。不论取哪种原结构或其对偶样式,首先,比如

x 2 ? ?;

1 ? 1, x 2 ? 1 ,因此, 0 ? x ? 1, lg x 2 的图象对应于下凹减函数,见图 1,由 a
2 2 2

此,设 m ? x y z ,则

lg m ? lg x 2 ? lg y 2 ? lg z 2 ? 3 ? lg ? 25 ? ?m ? ? ? . ? 9 ?
3

x2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ? ? lg ? ? , 3 ? 9 ?

3

? 25 ? 即孙先生的结构式 x y z ? ? ? 成立。这样, ? 9 ?
2 2 2

3

? 25 ? 2 x ? y ? z ? 3 ? 3 xyz ? 3 ? ? ? ? 9 ?

3 1 ? 3

? 5。
1 时取等号。 3

即原命题成立。当且仅当 a ? b ? c ?


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