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《圆锥曲线》单元测试题(有答案)


《圆锥曲线》单元测试题
意的,请将正确答案的代号填入下表内。 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 D 6 D 7 B

答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题所给出的四个选项中只有一个是符合题

8 C

9 B

10 D

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 11、

x2 y2 3y2 4x2 ? ? 1或 ? ? 1. 8 6 25 25

12、 k ? ?1 或 k ? ?

5 . 2

13、 2 ab .

14、

1 4

三、解答题:本大题共6小题,共80分,写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 ? y 2 ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? ? y ? x?2 18 x ? x2 9 ? 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线段的中点为 M( x0 , y0 )那么: x1 ? x2 ? ? , x0 = 1 2 5 5 1 9 1 所以 y0 = x0 +2= . 也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ). 5 5 5 4 16、解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2, 5 y2 x2 ? ?1 从而 c=4,a=2,b=2 3 . 所以求双曲线方程为: 4 12 2 17、解:由于 y ? 2 x ,
2 2 而|PA|= ( x ? a ) ? y ?

1 1 1 1 )( y 2 ? ) ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? ( ) 2 4a 4a 4a 4a 1 2 1 1 2 1 1 1 1 pq ? ( ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( ) ? [( y1 ? ) ? ( y 2 ? )] ? ( p ? q) 4a 4a 4a 4a 4a 4a 4a p?q 1 1 ∴ 即 ?a ? ? 4a pq p q 2 2 19、解:设双曲线方程为 x -4y = ? . ? x 2 -4y 2 =? 2 联立方程组得: ? ,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0 ?x ? y ? 3 ? 0 x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么 ? x1 x2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2
∴ pq ?| PM || QN |? ( y1 ? ∴|AB|= (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:
2

3

)?

3

?

3

x ? y2 ? 1 4

? 3x 2 -y 2 =1 2 2 20.解: (1)联立方程 ? ,消去 y 得: (3-a )x -2ax-2=0. ? y ? ax ? 1
2a ? x1 ? x2 ? ? 3 ? a2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? 。 2 ? x1 x2 ? ? ? 2 3? a ? 2 2 ? ? ? (2a ) ? 8(3 ? a ) ? 0 ? ?

x 2 ? 2ax ? a 2 ? y 2 ?

x 2 ? 2ax ? a 2 ? 2 x

由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么: OA ? OB ,故 x1x2 ? y1 y2 ? 0 。

x 2 ? 2( a ? 1) x ? a 2 = [ x ? ( a ? 1)]2 ? 2a ? 1 ,其中 x ? 0 (1)a ? 1 时,当且仅当 x=0 时, f ( a ) =|PA|min=|a|.
= (2)a>时, 当且仅当 x=a-1 时, f ( a ) =|PA|min= 2a ? 1 . 所以 f ( a ) = ?
y P FQ O M x

? ? | a |, a ? 1 ? ? 2a ? 1, a ? 1

N 1 1 1 2 ) ,准线方程为 y ? ? 18.解:抛物线 x ? y 的焦点为 F (0, 第 18 题 a 4a 4a 1 2 设直线 PQ 的斜率为 k ,则其方程为 y ? kx ? ,代入 y ? ax ,并化简,得 4a 1 ax 2 ? kx ? ?0 4a 1 1 2 1 2 2 2 ) ? 设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),则 x1 x2 = ? ,从而 y1 y 2 ? ax1 ax 2 ? a (? 2 2 4a 4a 16 a 2

?2 2a ?a? ? 1 ? 0, a 2 ? 6 ,解得 a= ?1 2 3? a 3 ? a2 1 (2)假定存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ? x 对称。 2 2 2 ? 3x1 -y1 =1 y -y 3(x1 +x 2 ) 2 2 2 2 .......(*) 那么 ? ,两式相减得 3(x1 -x2 )=y1 -y2 ,从而 1 2 = 2 2 x1 -x 2 y1 +y2 ? 3x 2 -y 2 =1 ? y1 +y 2 1 x1 +x 2 = ? ? 1 2 2 ? 2 因为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ? x 对称,所以 ? y1 -y 2 2 ? ? ?2 x1 -x 2 ? ?
所以 x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,得到 ( a 2 ? 1) ? 代入(*)式得到:-2=6,矛盾。 也就是说:不存在这样的 a,使 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )关于直线 y ?

1 x 对称。 2

《圆锥曲线》单元测试题
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题所给出的四个选项中只有一个是符合 题意的,请将正确答案的代号填入下表内。 密封线内不准答题 题号 答案 1.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、焦距为 4 的双曲线方程是( (A) x ? y ? 2
2 2 2 2

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是___ 11.与椭圆 __ 4 3 12.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 有唯一公共点,则实数 k 的值为____ ___。 2 13.过抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、QQ1 垂直于抛
物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b,那么|P1Q1|=
2




2

14.若直线 l 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4, 则 a=___ ____。 三、解答题:本大题共6小题,共80分,写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分)已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭 圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标.

(B) y ? x ? 2
2 2 2 2

(C) x ? y ? 4 或 y ? x ? 4 2. 已知椭圆 姓名 的周长为( (A)10
2

(D) x ? y ? 2 或 y ? x ? 2
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、F2 , 且 | F1 F2 |? 8 , 弦 AB 过点 F1 , 则△ ABF 2 a 2 25
) (B)20
2

(C)2 41

(D) 4 41 )

3.椭圆 座号 密封线内不准答题 (A)15

x y ? ? 1 上的点 P(5,m)到它的左焦点的距离是( 100 36
(B)14
2 2

(C)10

(D)6

4.椭圆 ( ) (A)9

x y ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则△ F1 PF2 的面积为 25 9
(B)12
2 2

(C)10

(D)8

密封线内不准答题

x y ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( ) 16 4 (A)3 (B) 11 (C) 2 2 (D) 10 y 2 2 6.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么 的最大值是( ) x 1 3 3 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 2 2 7.过抛物线 y ? 2 px 上一点 P(4,4)及焦点 F 的弦的长是( ) 49 (A)6 (B) (C)10 (D)12 8 2 2 8.过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周长为( )
5.椭圆 (A)28 (B) 14 ? 8 2 (C) 14 ? 8 2 (D) 8 2 9.双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, ?F1 MF2 ? 120? ,则双曲线的离心率为( ) (A) 3 10. 如果椭圆 (B)

班级码

16.(13 分)已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25

6 2

(C)

6 3

(D)

3 3

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0
第 1页 共 4 页 第 2页 共 4 页

17. (13 分)抛物线 y 2 ? 2 x 上的一点 P(x , y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为 f ( a ) , 求 f (a) 的表达式

19.(14 分)求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 的双曲线方程. 3

18.(13 分)过抛物线 y ? ax ( a ? 0 )的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的
2

20.(14 分)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x -y =1 交于 A、B 两点, (1)若以 AB 线段为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; (2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 y ?

2

2

长分别为 p 、 q ,试用含 a 的代数式表示

1 1 ? . p q

1 x 对称?说明理由. 2

第 3 页 共 4 页

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