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集合的基本运算(二)


集合的基本运算(二)
全集与补集

引入

想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,

如何用描述法表示呢?

( {x | x ? S且x ? A})像这样的集合也正是我

们这节课所要关注研究的——全集与补集.

探究点1

/>全集

思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解 是什么?在实数范围内的解是什么? {2}

{2, 3, ? 3}

思考2:不等式0<x-1≤3在实数范围内的解集是
什么?在整数范围内的解集是什么?

{x | 1 ? x ? 4}

{2,3,4}

思考3:在不同范围内研究同一个问题,可能有 不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围 所对应的集合称为全集,如Q,R,Z等.那么全集 的含义如何呢? 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集

(universe set),通常记作U.

特别提醒:全集是相对于所研究问题而言的一个
相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合 的全部元素.因此全集因问题而异.

探究点2

补集

观察下列三个集合: S={高一年级的同学} A={高一年级参加军训的同学} B={高一年级没有参加军训的同学} 这三个集合之间有何关系? 显然,由所有属于集合S但不属于集合A的元素

组成的集合就是集合B.

不属于 集合A的所 对于一个集合A,由全集U中_______ 有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 (complementaryset),简称为集合A的补集,记 作

?U A ,

即?U A ? {x | x ? U, 且x ? A}
可用Venn图表示为

U

A

?U A

例1

(1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},

B={3,4,5,6},求 痧 U A, U B. (2)设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},

B={x|x是钝角三角形},求 A I B, ?U ( A U B) .
解:(1)根据题意可知, U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? , 所以 ? 1, 2,7,8?. UB ?? U A ? ?4,5,6,7,8? , ?

(2)根据三角形的分类可知
{x∣x是直角三角形}. ? U ( A U B) ?

A I B ? ?, A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},

例2

已知全集U=R,集合 A ? {x | x ? 3} ,

. B ? {x | 2 ? x ? 4} , 求 (? U A) I B 解:?U A ? ? x x ? 3? ,
(?U A) I B ? ? x 3 ? x ? 4?.

探究点3

补集的运算性质(1)

若全集为U,A?U,则:

(1)? UU ? ?
(2)? U? ? U

(3)痧 U ( U A) ? A
(4) A U (? U A) ? U

(5) A I (? U A) ? ?

预习点拨

课本练习题,自主预学
补充题目:
1、若全集 U ? {1, 2,3,0} ,且 ? U A ? {2} ,则集合A的真子集个

数为_________.
2、若设全集 U ? {1, 2,3, 4,5}, A ? {1, 2,5}, B ? {2, 4,5} ,计算

(痧 U A) U ( U B)与痧 U ( A I B),( U A) I (痧 U B)与 U ( A U B)

3、 已知全集U={所有不大于30的质数},A,B 都是U的子集,若 A I (? ?, U B) ? ?5,13,23
A U(? ?, (痧 U B) ? ?2,3,5,7,13,17,23 U A) I ( U B) ? ?3,7? ,

你能求出集合A,B吗?
解:A ? ?2,5,13,17,23?, B ? ?2,11,17,19, 29?

A
5,13,23

2, 17 3,7

B

U

11,19,29

Venn图 的灵活 运用

【变式练习】

设全集U ? { x | x ? 7, x ? N },已知
(? A) ? B ? {1, 6}, A ? (?U B ) ? { 2, 3}, U
?U ( A ? B ) ? {0, 5},求集合A,B.

解:A={2,3,4,7},B={1,4,6,7}.
U 2,3 A 0,5

4,7

1,6 B

小结:
1、全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与 所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而 异. 2、 (痧 U A) U ( U B) ? ? U ( A I B) 交的补集等于补集的并 并的补集等于补集的交

(痧 U A) I ( U B) ? ? U ( A U B)


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