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空间向量的正交分解概述.


温故夯基 1.平面向量基本定理的内容是:如果e1,e2是同一 不共线 向量,那么对于这一平面内 平面内的两个________ 的任意向量a,有且仅有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 ________________ 成立,不共线的向量 e1 , e2 叫做 基底 . 这一平面内所有向量的一组______ 2 .在平面内,把一个向量分解成两个互相垂直的 正交分解 . 向量,叫做把向量__________ 知新益能 1.空间向量基本定理 不共面 ,那么对空间任一向 如果三个向量a、b、c________ xa+yb+zc 量 p, 存在有序实数组 {x , y , z}, 使得 p = __________, 其中 {a , b , c} 叫做空间的一个基底 ______ , a , b , c 都 基向量 叫做 ________. 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 两两垂直 的单位 单位正 三个有公共起点O的__________ 交基底 向量e1,e2,e3称为单位正交基底. 公共起点O 为原点,分 空间直 以e1,e2,e3的___________ e1,e2,e3 的方向为x轴,y轴,z轴 角坐标 别以__________ 的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 系 空间向 量的坐 标表示 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它 平移 ,使它的_____ 起点 与原点 O 重合,得到 _____ → 向量OP=p,由空间向量基本定理可知, 存在有序实数组{x,y,z},使得 p= xe1+ye2+ze3 把_________ x,y,z 称作向量 p _____________. 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标,记 p=(x,y,z) 作____________. 问题探究 1.空间的基底是惟一的吗? 提示:由空间向量基本定理可知,任意三个不共 面向量都可以组成空间的一个基底,所以空间的 基底有无数个,因此不惟一. 2 .空间向量基本定理中,当 z = 0 时,是什么定 理? 当y=z=0时,是什么定理? 提示:平面向量基本定理;共线定理. 考点突破 基底的判断 判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是 否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证法 结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助 进行判断. 例1 若 {a , b , c} 是空间一个基底,试判断 {a + b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底. 【思路点拨】 假设不能作为一个基底,看是否 存在一对实数 λ 、 μ 使得 a + b = λ(b + c) + μ(c + a) , 若存在,则假设成立;若不存在,则假设不成 立. 【解】 假设 a+b,b+c,c+a 共面, 则存在实数 λ、μ 使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c. ∵{a,b,c}为基底.∴a,b,c 不共面. 1=μ ? ? ∴?1=λ ? ?0=λ+μ . 此方程组无解. ∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底. 互动探究 若本例条件不变,试判断向量a+b,a -b,c能否作为空间的一个基底. 解:假设a+b,a-b,c共面, 则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b), 即c=(x+y)a+(x-y)b, 从而由共面向量知c与a,b共面, 这与a,b,c不共面矛盾. ∴a+b,a-b,c不共面, 即可以作为空间的一个基底.

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