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空间图形的基本关系与公理


高三数学(理)导学诱思案

编者:高三数学备课组

校审:庞晓宇

编写时间:2012-11-13

第二节

空间图形的基本关系与公理

一 学习目标 1.了解可以作为推理依据的公理和定理. 2.理解空间直线、平面位置关系的定义. 3.能运用公理、定理和已获得

的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题. 二 导学案 (一)知识梳理 一、平面的基本性质 1.点和直线的位置关系有两种: 和 . 2.点和平面的位置关系有两种: 和 . 3.空间两条直线的位置关系有三种: 、相交直线和 . 4 空间直线和平面的位置关系有三种: 、直线和平面相 交、 . 5.空间两平面的位置关系有两种:两平面平行、两平面相交. 二、空间图形的公理及等角定理 文字语言 公 如果一条直线上的 理 内,那么这条直线上 1 在这个平面内(即直线 在一个平面 都 ) 图形语言 符号语言 若 A∈l,B∈l, A∈α ,B∈α , 则 若 A、B、C 三点不共线, 则 一个平面 α ,使 A∈α ,B∈α ,C ∈α 若 A∈α ,A∈β ,则

公 经过不在同一条直线上的三点, 理 一个平面 ( 即可以确定一 个平面) 2 如 果 两 个 不 重 合 的 平 公 面 理 , 那 么 它 们 3 一条通过这个点的公共直线 公 理 平行于同一条直线的两条直线 4
班级: 姓名: 学生自评:1

若 a∥b,b∥c,则
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编写时间:2012-11-13

等 空间中,如果两个角的两条 角 边 ,那么这两个角相等或互 定 补 理 思考:公理 1 的作用: 公理 2 的作用: 公理 3 的作用: 公理 4 的作用:

若 AO∥A′O′, BO∥ ,则∠AOB =∠A′O′B′, ∠AOC 和 A′O′B′互补

三 异面直线所成的角: 过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a,b 的平行线 m,n, 则这两条相交直线 m,n 所成的 角(或 角)就是异面直线 a,b 所成的角 异面直线所成的角的范围是 ㈡预习检测:下列命题正确的是 (1)梯形可以确定一个平面; (2)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (3)若 a,b 不同在平面α 内,则 a 与 b 异面 . (4) 若 a , b 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 , 则 a 与 b 异 面 . (5)不共面的四点中,其中任意三点不共线; (6)若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、 E 共面; (7) 若 直 线 a 、 b 共 面 , 直 线 a 、 c 共 面 , 则 直 线 b 、 c 共 面 ; (8)依次首尾相接的四条线段必共面

三、诱思案
探究一 异面直线的判定 [例 1] (2012· 模拟)在图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中 点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答 案的序号)

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高三数学(理)导学诱思案

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探究二 共点、共线,共面问题的证明 [例 2] (2012· 郑州联考)已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点, (1)若 F、G 分别为 BC、CD 的中点,试证 EFGH 为平行四边形; CF CG (2)若FB=GD=2,试证 EF、AC、HG 相交于一点.

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变式: 如图,空间四边形 ABCD 中, E、F 分别是 AB、AD 的中点, G、H 分别在 BC、CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2. (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)设 EG 与 FH 交于点 P.求证:P、A、C 三点共线



四.训练案
1.若三角形 ABC 的三边所在直线分别交平面 是

? 于点 O,M,N,则 O 与直线 MN 的关系
条。

2.

三个平面两两相交,则其交线可能有

3. 已知直线 a,b,c,d, 满足 a//b//c, a ? d=A, b ? d=B, c ? d=C, 证 明该四条直线共面。

五.作业《课时跟踪检测》A第274页

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