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山东省济南市2011-2012学年高二下学期期末考试数学(理)试题


山东省济南市 2011-2012 学年高二下学期期末考试 高二 数学 (理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、 试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、 胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.命题“ 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是 ... A. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 C. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1
z
2

B. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 D. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1

2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 A. 2

z ?1

?

B. ? 2

C. 2i

D. ? 2i

3.下列四个图各反映了两个变量的某种关系,其中可以看作具有较强线性相关关系的是

A.①③

B.①④

C.②③

D.①②④

4.函数 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x ) 的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能 是 A. y ? a
x

B. y ? log a x
x

C. y ? xe

D. y ? x ln x

5.按如下程序框图,若输出结果为 170 ,则判断框内应补充的条件为 开始
i ?1
S ?0

S ?S?2

i

i?i?2

结束 是



A. i ? 5

B. i ? 7

C. i ? 9

D. i ? 9

6.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点。公司为了调查产品 销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为 ①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查 为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法

7.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为 0.3 ,乙击中敌机的概率为 0.5 ,敌机 被击中的概率为 A. 0.95 B. 0.8 C. 0.65 D. 0.15

8. 6 个人分 4 本不同的书,每人至多一本,而且必须分完,那么不同分法的种数是 . A. 6
4

B. 4

6

C.
2

A6

4

4!

D. A6

4

9.若命题:“ ? x ? { x | ? 1 ? x ? 1} ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题,则实数 m 的取值范围是 A. m ? ?
1 4

B. ?

1 4

?m?2

C. ?

1 4

?m?0

D. 0 ? m ? 2
y

10.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ,导函数 f ?( x ) 在
( a , b ) 内的图象如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内

y
b b

有极值点 A.1 个 B.2 个
*

a

O

x

C.3 个

D.4 个

x

11.在平面内有 n ? n ? N , n ≥ 3 ) 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这 n 条直线 把平面分成 f ? n ? 个平面区域,则 f ? 6 ? 等于 A. 32 B. 24 C. 22
2

D. 18

12.利用计算机在区间 (0,1) 上产生两个随机数 a 和 b ,则方程 x ? 2 ax ? b ? 0 有实根的概率为 A.
1 3

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 6

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ??? ? ??? ???? ??? ? ? 13.在复平面内, O 是原点, OA , OC , AB 表示的复数分别为 ? 2 ? i ,3 ? 2 i ,1 ? 5i , 那么 BC 表 示的复数为 ;

14.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1458 ),若把四位“渐升数”按从小到大 的顺序排列,则第 22 个数为___________; 15.设 n ? N ,则 1 ? 7 C n ? 7 C n ? ? ? 7 C n 除以 9 的余数为
*

1

2

2

n

n



16. 某医疗研究所为了检验某种血清预防甲型 H1N1 流感的作用, 500 名使用血清的人与另外 500 名 把 未用血清的人一月中的甲型 H1N1 流感记录作比较,提出假设 H 0 :“这种血清不能起到预防甲型
H1N1 流感的作用”,利用 2 ? 2 列联表计算得 K 2 ? 3.918 .对此,有以下四个判断:

①有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防甲型 H1N1 流感的作用” ②若某人未使用该血清,那么他在一月中有 95% 的可能性得甲型 H1N1 流感 ③这种血清预防甲型 H 1N1 流感的有效率为 95% ④这种血清预防甲型 H 1N1 流感的有效率为 5% 则正确命题的序号是 附:随机变量 K 的概率分布:
P (K
2
2

. (把你认为正确的命题序号都填上)

? k)

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
? lg | x |? 1 2 2 , q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0( m ? 0) .若? p 是? q 的必要不充分条件,求实数 m 的 已知 p : ? x ? 2 ?1 ?2

取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 某校从高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,其成绩(均
0.030 频率 组距

为整数)的频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (Ⅱ)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们在 同一分数段的概率. 19. (本题满分 12 分)

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100

分数

已知 a、 b、 c 是互不相等的非零实数.用反证法证明三个方程 ax ? 2 bx ? c ? 0 ,
2

bx ? 2 cx ? a ? 0 , cx ? 2 ax ? b ? 0 至少有一个方程有两个相异实根.
2 2

20. (本题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ?

1 12

x ?
3

a ?1 2

x ? ( 4 a ? 1) x .
2

(Ⅰ)如果函数 g ( x ) ? f ?( x ) 是偶函数,求 f ( x ) 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数 f ( x ) 是 ( ?? ,
? ? ) 上的单调函数,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,设各 项技术指标达标与否互不影响.若 A 项技术指标达标的概率为 标达标的概率为
5 12 3 4

,有且仅有一项技术指

.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率; (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E ? 与 D ? .

22. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1 ? ? ? x ? 1 ? .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x 2 ? 3 x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4 ? 内恰有两个相异的实根,求实数
a 的取值范围.

山东省济南市 2011-2012 学年高二下学期期末考试

理科数学答案
一、选择题: 1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9.B 10.C 11.C 12.A 二、填空:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 4 ? 4 i ; 14. 1345 ; 15. 8 或 1 ; 16.①. 三、解答题: 17. (本题满分 12 分) 解:由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 ( m ? 0 ) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m ( m ? 0 ) , ∴? q 即 A ? { x | x ? 1 ? m, 或 x ? 1 ? m ( m ? 0)} ;??????????4 分
? lg | x |? 1 由 ? x?2 得 ? 2 ? x ? 10 且 x ? 0 , ?1 ?2

∴? p 即 B ? { x | x ? ? 2 或 x ? 0 或 x ? 10} ,???????8 分 ∵? p 是? q 的必要不充分条件,且 m ? 0 。
?1 ? m ? ? 2 , ? ∴ A ? B ,故 ?1 ? m ? 10,且不等式组中的第一、二两个不等式不能同时取等号, ? ? m ? 0, ?

解得 m ? 9 为所求. ??????????12 分 18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意, 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 ( 0 .020 ? 0 .030 ? 0 .025 ? 0 .005 ) ? 10 ? 0 .80 , 所以,抽样学生成绩的合格率是 80%......................................3 分 利用组中值估算抽样学生的平均分:
45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f 3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f 5 ? 95 ? f 6
? 45 ? 0 .05 ? 55 ? 0 .15 ? 65 ? 0 .2 ? 75 ? 0 .3 ? 85 ? 0 .25 ? 95 ? 0 .05 ? 72 .

估计这次考试的平均分是 72 分????????????????7 分 (Ⅱ) [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] ”的人数是 18 ,15 ,3 .所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的 学生中选两人,他们在同一分数段的概率
P? C 18 ? C 15 ? C 3
2 2 2

C

2 36

?

87 210

????????????????????12 分

19. (本题满分 12 分) 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,????????2 分 则 Δ 1= 4 b ? 4 ac ≤0,Δ 2= 4 c ? 4 ab ≤0,Δ 3= 4 a ? 4 bc ≤0. ?????6 分
2 2 2

相加有 a ? 2 ab ? b ? b ? 2bc ? c ? c ? 2 ac ? a ≤0,?????9 分
2 2 2 2 2 2

( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ≤0.
2 2 2

①????10 分

由题意 a、 b、 c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. ??????12 分 20. (本题满分 12 分) 解: f ?( x ) ?
1 4 x ? ( a ? 1) x ? ( 4 a ? 1) .
2

(Ⅰ)∵ f ?( x ) 是偶函数,∴ a ? ? 1 . 此时 f ( x ) ?
1 12
3 x ? 3 x , f ?( x ) ?

?????????2 分

1 4

x ? 3,
2

令 f ?( x ) ? 0 ,解得: x ? ? 2 3 . 列表如下:
x
f ?( x )
f ( x)

?????????4 分

( ?? , ? 2 3 )

?2 3
0

( ? 2 3, 2 3 )

2 3
0

(2 3, ?? ) ,

?

?

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知: f ( x ) 的极大值为 f ( ? 2 3 ) ? 4 3 ,
f ( x ) 的极小值为 f ( 2 3 ) ? ? 4 3 .

???????7 分

(Ⅱ)∵ f ?( x ) ?

1

4 1 2 2 令 ? ? ( a ? 1) ? 4 ? ? (4 a ? 1) ? a ? 2 a ? 0, 4 解得: 0 ? a ? 2 .

x ? ( a ? 1) x ? ( 4 a ? 1) ,
2

?????????10 分

这时 f ?( x ) ? 0 恒成立, ∴ 函数 y ? f ( x ) 在 ( ?? ,
? ? ) 上为单调递增函数.

综上, a 的取值范围是 { a 0 ? a ? 2} . 21. (本题满分 12 分)

?????????12 分

解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2 .
3 ? ? P1 ? 4 ? 由题意得: ? , ? P (1 ? P ) ? (1 ? P ) P ? 5 2 1 2 ? 1 12 ?

解得: P2 ?

2 3


3 ? 2 ? 1

??????3 分

∴ 一个零件经过检测为合格品的概率 P ? P1 P2 ?

. ???5 分 4 3 2 (Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为:
13 4 1 5 5 1 5 1 ? C5 ( ) ? C5 ( ) ? . 2 2 16 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~ B ( 4 , ) , 2 1 1 1 E? ? 4 ? ? 2 , D? ? 4 ? ? ? 1 . 2 2 2 分 14 分)

??????8 分

??????12 分 22. (本题满

解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ?1, ?? ? ,??????????????????1 分
2x ? x ? 2? ? 1 ? ? ? x ? 1? ? ? ? ∵ f ?( x ) ? 2 ? ,???????????????2 分 x ?1 ? x ?1 ?

∵ x ? 1 ,则使 f ?( x ) ? 0 的 x 的取值范围为 ?1, 2 ? , 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? . ?????????????????4 分 (Ⅱ)方法 1:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1 ? ? ? x ? 1 ? ,
2

∴ f ( x ) ? x ? 3 x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2 ln ? x ? 1 ? ? 0 .??????????6 分
2

令 g ? x ? ? x ? a ? 1 ? 2 ln ? x ? 1? , ∵ g ?( x ) ? 1 ?
2 x ?1 ? x?3 x ?1

,且 x ? 1 ,

由 g ?( x ) ? 0 得 x ? 3, g ?( x ) ? 0 得 1 ? x ? 3 . ∴ g ( x ) 在区间 [2, 3] 内单调递减,在区间 [3, 4] 内单调递增,????????9 分
? g (2) ? 0, ? 故 f ( x ) ? x ? 3 x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4 ? 内恰有两个相异实根 ? ? g (3) ? 0, ??12 分 ? g (4) ? 0. ?
2

? a ? 3 ? 0, ? 即 ? a ? 4 ? 2 ln 2 ? 0, 解得: 2 ln 3 ? 5 ? a ? 2 ln 2 ? 4 . ? a ? 5 ? 2 ln 3 ? 0. ?

综上所述, a 的取值范围是 ? 2 ln 3 ? 5, 2 ln 2 ? 4 ? .????????????14 分 方法 2:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1 ? ? ? x ? 1 ? ,
2

∴ f ( x ) ? x ? 3 x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2 ln ? x ? 1 ? ? 0 .??????????6 分
2

即 a ? 2 ln ? x ? 1 ? ? x ? 1 , 令 h ? x ? ? 2 ln ? x ? 1? ? x ? 1 , ∵ h ?( x ) ?
2 x ?1 ?1 ? 3? x x ?1

,且 x ? 1 ,

由 h ?( x ) ? 0 得 1 ? x ? 3, h ?( x ) ? 0 得 x ? 3 . ∴ h ( x ) 在区间 [2, 3] 内单调递增,在区间 [3, 4] 内单调递减.????????9 分 ∵ h ? 2 ? ? ? 3 , h ? 3 ? ? 2 ln 2 ? 4 , h ? 4 ? ? 2 ln 3 ? 5 , 又 h ?2? ? h ?4? ,
2 故 f ( x ) ? x ? 3 x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4 ? 内恰有两个相异实根 ? h ? 4 ? ? a ? h ? 3 ? .

??????????????12 分 即 2 ln 3 ? 5 ? a ? 2 ln 2 ? 4 . 综上所述, a 的取值范围是 ? 2 ln 3 ? 5, 2 ln 2 ? 4 ? . ???????????14 分


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