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物理竞赛电磁学


电磁学综述
? (经典)电磁学的基本规律——麦克斯韦方程组

? E ? dS ? ? ? dV
S V

?B E ? dl ? ? ? ? dS ? ?t L S
1 ?E B ? dl ? ?0 ? J ? dS ? 2 ? ? dS ? c S ?t L S

? B ? dS ?

0
S

?

电磁场理论的深刻对称性——电磁对偶

① 磁单极? ② 平行偶极板和长直螺线管的对偶 ③ 电容和电感的对偶
C? Q V

L?

? I



……

例:在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀 分布,面电荷密度为?。A点的坐标为(0, R/2),B点 的坐标为(3R/2, 0),则电势差UAB为——。 ?R 1 Q 1 ? 由对称性 U A ? U A整 ? 2? 0 2 4? ?0 R R 2 ? Q为整个带电球面的电荷 o A C y 1 Q ?R B UB ? ? 3R 2 3? 0 4 ?? 0 x 2 ?R U AB ? U A ? U B ? 此题也可从电场的角度考虑 6? 0 3 R ? 12 1 C? Q ?R 1 dr ? U AB ? U AC ? U AC 整 ? ?A E整 ?dr ? ? 2 2 2 R 4?? 0 r 6? 0 2

例:三等长绝缘棒连成正三角形,每根棒上均匀分 布等量同号电荷,测得图中P,Q两点(均为相应正 三角形的重心)的电势分别为UP 和 UQ 。若撤去BC 棒,则P,Q两点的电势为U?P =——, U?Q =——。
A 解:设AB, BC, CA三棒对 P点的 电势及AC对Q点的电势皆为U1 AB, BC棒对Q点的电势皆为U2

Q
P B 撤去BC棒 C

U p ? 3U 1
1 U1 ? U P 3

U Q ? 2U 2 ? U 1
1 1 U 2 ? UQ ? U P 2 6

2 ? ? U P ? U1 ? U P UP 3

1 1 ? ? UQ ? U 2 ? UQ ? U P UQ 2 6

例:厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密 度?(>0)的自由电荷,在板外两侧分别充有介电 常数为?1与?2的电介质,如图。 求:1)板内外的电场强度 2)A, B两点的电势差 ?1 ? b d1 d2. 解:设 E=0 的平面 MN 距左 侧面为 d1 , 距右侧面为 d2 . 据对称性, E垂直MN指向两侧 1) 求 D, E

A

?2

l

l

B

x

板内: D内S ? ?Sx

D内 ? ?x

板内:E内 ?

D内

?0

?x ? ?0

板 外 :D2 S ? ?Sd 2 D1 S ? ?Sd 1

D2 ? ?d 2 D1 ? ?d1

?d 1 板 外 : E1 ? ? 方向向左 ? 1 ?1 ?1 A D2 ?d 2 l E2 ? ? 方向向右 ?2 ?2
D1
E1 ? E 2

? b

?2

l

B

E1 , E2均 由 相 同 自 由 电荷 和 缚 束电 荷 产 生
?1
d1 ?

? 1b d1 ? ?1 ? ? 2

?2

d2

d1 ? d 2 ? b

? 2b d2 ? ?1 ? ? 2
?b E2 ? ?1 ? ? 2

?b 板外:E1 ? ?1 ? ? 2

2)U AB

? ? ? E AB ? AB

A

?1

? b

?2

? ? E1l ?

?

d2

?d1

E内dx ? E2l

l

l

B

2 2? 2 ? d2 ? d1 ?b ? ?? ?? ? ? 2? 0 ? ? 2? 0

?? 2 ? ?1 ? ? ? ?? 2 ? ?1 ?

例:无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 ?0 , 现在导体板两侧分别充以介电常数 ?1 与 ?2 ( ?1? ?2) 的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。 解:充介质后导体两侧电荷 重新分布,设自由电荷面密 度分别为?0 1 和?0 2 ?1 ?2 由高斯定理: D1 ? ? 01 , D2 ? ? 02

2? 0 E1 ? E2 ? ?1 ? ? 2

? 01 E1 ? ? ?1 ?1
D1

E2 ?

D2

?2

? 02 ? ?2

对 于 板 外 电 场 , 将 自电 由荷 与 束 缚 电 荷 一 并虑 考 E1 ? E2

? 01 ? 02 ? ?1 ?2

? 01 ? ? 02 ? 2? 0

例:在两平行无限大平面内是电荷体密度? > 0的均匀 带电空间,如图示有一质量为m,电量为q( < 0 )的点 电荷在带电板的边缘自由释放,在只考虑电场力不考 虑其它阻力的情况下,该点电荷运动到中心对称面 oo?的时间是多少? ? 1 o 解:E ? 2S ? ? ? 2x ? S E ? x ?0 ?>0 ?0 q ? d q受的电场力 F ? qE ? x (q ? 0) q< 0

x
o?
k?? q?

此 式 与 弹 簧 振 子 受 力律 规相 同 F ? ? kx

?0

q以oo?为中心,在两平面内做简谐振动
k ? m ? q? ? 0m

?0

??

T?

2?

?

T t? 4

例:一直流电源与一大平行板电容器相连,其中相对 介电常数为 ?r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二 分之一,两极板都处于水平位置,假设此时图中带电 小球P恰好能处于静止状态,现将电容器中的固态介质 块抽出,稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加 速度a的方向和大小。 解:P处于平衡状态,则其带负电
由于始终与电源相连,U一定 U ? E ? F ? a E1 εr ? 1 有介质: U ? E1d ? d? E1d εr εr ?r U E1 ? ?r ? 1 d

P

无介质: U ? E2 2d

?r ? 1 U ? E1 E2 ? 2d 2? r

?

E1

初始时 P平 衡 : E1q ? mg

?r ? 1 E1q F ? mg ? E2q ? mg ? 2? r ?r ? 1 ? mg 2? r ?r ? 1 F ? ma ? a ? g 方向向下 2? r

抽掉介质后, P受合力向下:

例:如图,板间距为 2d 的大平行板电容器水平放置, 电容器的右半部分充满相对介电常数为 ?r 的固态电介 质,左半部分空间的正中位置有一带电小球 P,电容 器充电后 P 恰好处于平衡位置,拆去充电电源,将电 介质快速抽出,略去静电平衡经历的时间,不计带电 小球 P 对电容器极板电荷分布的影响,则 P 将经 t = — 时间与电容器的一个极板相碰。 解:拆去电源后,将介质抽出,过程中总Q不变,分布变

.

P

设:小球 m, q, 极板 S, Q, 场强E0, E 场强变化,P受力变化,关键求E

? 0 S 2 ? 0? r S 2 Q Q C0 ? ? ? ? U 2dE0 2d 2d 1??r ?0S Q 两式相比 E? E0 C? ? 2 2dE 2d

mg qE0 ? mg ? E0 ? q 1??r 1 ? ? r mg E? E0 ? 2 2 q
抽 出 后小 球 受 力 ? 1??r ? r ? 1?mg mg ? mg ? F ? qE ? mg ? 2 2

? ? r ? 1?g F a? ? m 2
1 2 d ? at 2 t?

2d ? a

4d ?? r ? 1?g

例:一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介 质A和B,它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为 ?A, ?A, dA, ?B, ?B, dB ;且 dA+dB =d, d为平板电容器的两块 极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源 上(与介质A接触的极板接电源正极),设极板面积 为S, 忽略边缘效应,试求稳定时 (1)电容器所损耗的功率P; (2)电介质A和B中的电场能量WA和WB; (3)电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度?自和 束缚电荷面密度?束。 2 V + 解:电容器损耗的功率 P? R A dA dB B R? ? _ ? AS ? B S

(2)电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等 ? AE A ? ? B EB E Ad A ? E B d B ? V ? BV 由上两式解出: EA ? ? B d A ? ? Ad B

? AV EB ? ? B d A ? ? Ad B
1 2 W A ? ? 0? A E A Sd A ? 2 2 2(? B d A ? ? A d B )
2 2 ? ? ? 1 2 0 B AV Sd B W A ? ? 0? B E B Sd B ? 2 2(? B d A ? ? A d B ) 2 2 2 ? 0? A? BV Sd A

(3)电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度?自和 ? ? 束缚电荷面密度?束 D ? dS ? q自 + ? A 由对称性, D垂 直 于 上 下 表 面 指 向 下 , B DB S ? D A S ? ?自S _

?

?

?( 0 ? A? B ? ? B? A )V 代入E A, E B得:?自 ? ? B d A ? ? Ad B
?0
?( 0 E B ? E A ) ? ?自 ? ? 束

? 0? B E B ? ? 0? A E A ? ?自

? ? 1 E ? dS ? (q自 ? q束) ?( 0 E B S ? E A S ) ? (?自 ? ? 束)S

?束

? 0V ?? B (? A ? 1) ? ? A (? B ? 1)? ? ? B d A ? ? Ad B

例:球形电容器的两个极为两个同心金属球壳,极间 充满均匀各向同性的线性介质,其相对介电常量为?r . 当电极带电后,其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐 减少。设介质的电阻率为?,t=0时,内外电极上电量 分别为±Q0 ,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及 两极间与球心相距为r的任一点处的传导电流密度j(r,t).

r2 r1 球形电容器的电容: C ? 4?? 0? r r2 ? r1 因电流沿径向流动,总电阻可看成无 数多薄球壳的串联

dQ U Q 解: I ? ? ? ? dt R RC

dQ Q ?? dt ? 0? r ?

R?

?

r2

r1

? r2 ? r1 ? 2 4? r1r2 4?r

?dr

dQ Q ?? dt ? 0? r ?

Q ? Q0 e
? j? I

?

1

? 0? r ?

t

dQ ??? ? r r 2 2 dt 4?r 4?r

1

? j ?

1 4?? 0? r ?r

? 0? r ? ? Q0 e r 2

?

1

t

电荷系的静电能
一、 点电荷系的相互作用能(电势能) 相互作用能W互:把各点电荷由现在位置分散至 相距无穷远的过程中电场力作的功。 两个点电荷:
? ? ? ? ? W互 ? q2 E1 ? dl ? q2 E1 ? dl ? q2 ? U 21

?

?

( 2)

?

( 2)

U 21为q1的电场在 q2所在处的电势
同理:

W互 ? q1 ? U12

1 写成对称形式: W互 ? (q1U 12 ? q2U 21) 2

三个点电荷:

W互 ? q2 (U 21 ? U 23 ) ? q3U 31 1 ? (q2U 21 ? q1U12 ) ? 2

1 1 ? (q2U 23 ? q3U 32 ) ? (q3U 31 ? q1U 13 ) 2 2 1 1 1 ? q1 (U 12 ? U 13 ) ? q2 (U 21 ? U 23 ) ? q3 (U 31 ? U 13 ) 2 2 2

1 ? (q1U1 ? q2U 2 ? q3U 3 ) 2
推广至一般点电荷系:W互

1 ? ? qi U i 2 i

Ui :除 qi 外,其余点电荷在qi 所在处的电势。

二、 连续带电体的静电能(自能) 静电能W:把电荷无限分割并分散到相距无穷 远时,电场力作的功。 只有一个带电体:

1 W ? W自 ? ? Udq 2q
多个带电体: 总静电能:

W ? ? W自i ? ? W互ij
i i? j

例:在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷, 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1)试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2)若用外力将其中相邻的两个点电荷一起(即始终 保持它们的间距不变)缓慢地移动到无穷远处, 其余固定的点电荷位置不变,试求外力作功量A. 1 Q W互 ? ? q i U i Q 2 i a 1)Q,- Q所在处的电势 -Q Q
?Q U? ? 2 ?2 ? 4?? o a 4?? o 2a 4 ?? 3 a o Q -Q Q ?Q Q U? ? 2 ?2 ? ? ?U ? 4?? o a 4?? o 3a 4?? o 2a 1 3Q 2 2 5 W ? ?3QU ? ? 3?? Q ?U ? ? ? 3QU ? ? ( ? ) 2 4?? 0 a 3 2 Q ?Q

2) 外力作功量A.

Q -Q

-Q

a
Q

A ? ?W ? W末 ? W初
余下四个点电荷系统的电势能
? ? QQ ?? Q ??? Q ? ? QQ ? W1 ? ? ? ? ? ? ? 4?? 0 a 4?? 0 3a 4?? 0 2a ? ? ? Q ?? Q ? ? Q ??Q ? ? ? QQ ?? ? ?? ? ? 4?? 0 a 4?? 0 3a ? ? 4?? 0 a

Q

-Q

?
A ? ?W1 ? W2 ? ? W ? Q2 4?? 0 a (3 ?
2

? 2 7? ? ? ? ? ? 4?? o a ? 2 3 ? ? Q2

4 3

)

无穷远处一对电荷间的电势能

Q W2 ? ? 4?? 0 a

例:半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流I, 求半圆柱轴线(原圆柱体的中心轴线)处的磁感应 强度B. I 2I
y

解: 电流密度 j ?

dθ θ

dB

1 ?R 2 2

?

?R 2

1) 选取电流元 r ? r+dr, d?

dI ? jrd? dr ? 0 dI ? I 0 3) 求 投 影 合 dB ? ? 2 2 drd? 2?r ? R B ? 0 (由 对 称 性 )
X
x

By ?
?

??
0 0

R ?

?0 I ? R
2

? dB
2

2) 另选电流元如图
y

sin?drd? ?

2? 0 I

dB x ? dB cos? dB y ? dB sin?

? R
2

例:一半径为 a 的导体球,以恒定速率 v 运动,球 面上均匀分布着电荷 Q , 设 v《 c(真空光速), 求: 导体内外的磁场分布。 解:运动电荷的磁场 V 任选一点P,求P点磁场

? ? ? ? P ? 0 dqv ? r ? dB ? 球内 ?0 4?r 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? Q r0 ? dqv ? r 0 B ? ?? 0v ? B ? dB ? 2 2 4?r0 Q Q ? 4?r ? ? ? Qv ? ?0 ? ?r ? dq r 0 ?? 球外 B ? ? 0 v ? 2 2 ? Q 4 ? r 4 ? r 0 ?

? r0

.

? r

? 导体球上任选一dq到P点的矢径 r

?

? ?

例:设在讨论的空间范围内有均匀磁场B,在纸平面 上有一长为h的光滑绝缘空心细管MN,管的M端内有 一质量为m , 带电量为q > 0的小球P。开始时P相对管 静止,而后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀 速度u运动,那么,小球P从N端离开管后,在磁场中 做圆周运动的半径为R = ——。(不考虑重力及各种 阻力) N 解:小球受洛仑兹力作用如图 ? ? ? ? ?
? B

? ? ?

? ? ? ?u hP ? ? ? ? ? M ? ? ?

f f ? quB f ? ma a ? m 2 fh 2quBh 2 v ? 2ah ? ? m m
相对于磁场的合速度
2 v总 ? v 2 ? u2

mu 2qBh R? ? 1? qB qB mu

mv总

例:一球形电容器中间充以均匀电介质,该介质 缓慢漏电,在漏电过程中,传导电流产生的磁场 为Bc,位移电流产生的磁场为Bd,则 ( A) Bc ? 0, Bd ? 0. ( B) Bc ? Bd ? 0 + + + (C ) Bc ? 0, Bd ? 0 ( D) Bc ? Bd ? 0 - + + ? dI + + ? 解:传导电流密度 jc ? n + dS? ? ? jc 方 向 沿 径 向 , jc 具 有 球 对 称 性
取如图的两个元电流 i A , i B, OO ?为 其 对 称 轴 O -? 由对称性i A, i B 在P点的磁场为零 . P. 由此推广, + + + 所有电流元在 P点的总磁场为零 + + O OO?为任意轴, P为任意点,因此 Bc ? 0 + +

? ? ?D 位移电流密度 jd ? ?t

-

+ + + + +

-

? jd 方向沿径向,也具有球 对称性

+ + + -

同理分析 Bd ? 0

( D) Bc ? Bd ? 0

例:被电势差加速的电子从电子枪口 T 发射出来,其 初速度指向 x 方向。为使电子束能击中目标 M 点, (直线 TM 与 x 轴夹角为 ?),在电子枪外空间加一 均匀磁场 B , 其方向与 TM 平行,如图。已知从 T 到 M的距离为 d,电子质量为 m,带电量为 e. 为使 电子恰能击中M点,应使磁感应强度 B =? 解:电子被加速后 T
? U
B

d
M

2eU v? m ? 与B平 行 的 分 量 v // ? v cos? , ? 与B垂 直 的 分 量 v ? ? v sin ?,

x

电子绕一圈的周期 2?r 2?r T? ? v? v sin ?

电子从 T到M所 需 时 间 为 : d d t1 ? ? v // v cos?

2?r 2?r T? ? v? v sin ?

d d t1 ? ? v // v cos?

mv ? mv sin ? 电子的回旋半径 r ? ? eB eB

电子击中M的条件是: t1 ? kT
2? cos? 联立解得: B?k d

k ? 1, 2,3,.....
2mU e

例:原点O(0, 0)处有一带电粒子源,以同一速率v 沿xy平面内的各个不同方向?(180???0)发射质量 为m, 电量为q(>0)的带电粒子,试设计一方向垂 直于xy平面,大小为B的均匀磁场区域,使由O发射 的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿x轴正方 向运动。(写出磁场边界线方程,并画出边界线) y
o? v
? ?B
设:磁场方向向下且无边界
任一粒子束,v, ? 其运动轨迹

?
P
O

mv R? qB

x

过o?作平行于y轴的直线 它与圆周交于P点

粒子在P点时,速度恰沿x方向,若在此之后 粒子不受磁力,则其将沿x轴正方向运动。

y o? v

? ?B

即P点应在磁场的边界上

P点 的 坐 标 : ? x ? ? R sin ? ? ? y ? ?( R ? R cos? )
不同?角发出的粒子,其P 点坐标均满足此方程

?
P
O

x

由上式: x 2 ? ( y ? R) 2 ? R 2

B

所有P点的轨迹方程, 也是磁场的边界方程

例:半径分别为R1与R2的两同心均匀带电半球面相 对放置(如图),两半球面上的电荷密度?1与?2满足 关系 ?1 R1 = - ?2 R2 1) 试证明小球面所对的圆截面S为一等势面 。 2)求等势面S上的电势值。 1)均匀带电球面内场强为零 ? ? R2 E左 ? E右 ? 0,与实际矛盾 o
R1

E右

E左

因此场强必定都垂直于截面

s

在S上 : ?U ?

2)S上任一点的电势 U=U0 2 2 2?R2 ? 2 2?R1 ?1 1 Uo ? ? ? ( R2? 2 ? R1 ? 1 ) ? 0 4?? 0 R2 4?? 0 R1 2? 0

?

? ? E ? dl ? 0

S为 等 势 面

法拉第电磁感应定律

d? ?i ? ? dt
楞次定律

感应电动势的两种基本形式:

动生电动势 & 感生电动势

闭合回路中感应电流的方向,总是使它所激发的磁场来 阻止引起感应电流的磁通量的变化。 动生 感生

? ? ? ? i ? ? (v ? B) ? dl
a

b

?B E感 ? dl ? ? ? ? dS ? ?t L S

例:如图一矩形管,画斜线的前后两侧面为金属板, 其他两面(上下面)为绝缘板,用导线将两金属板相 连,金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为 ?的水银流过矩形管,流速为v0. 设管中水银的流速与 管两端压强差成正比,已知流速为v0时的压强差为P0。 在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场,磁感 应强度为B。求加磁场后水银的流速v ? 解:设加磁场后水银的流速v B
水银中产生感生电动势 b a
a 水银的电阻: R?? bl

? ? Bva
?

l

感应电流I ?

R

?

Bvbl

?

水银所受磁场力: F ? BIa ?

B 2 vabl

F B 2 vl 管两端附加压强差 P? ? ? ab ?

?

与 v反 向

管 两 端 的 实 际 压 强 差P : 0 ? P?
P0 ? P ? v B 2l 据题设 ? ? 1? v v0 P0 ?P0

v?

v0 v0 B 2 l 1? ?P0

例:一矩形线框由无电阻的导线构成,其边分别与x,y 轴平行,边长分别为a和b,以初速v0 沿x正方向运动, 当t=0时进入磁感应强度为B的均匀磁场,磁场方向如 图,充满x>0的空间,设线圈的自感为L,质量为m, 并设b足够长,求线圈的运动与时间的关系。(不考 虑重力,框的电阻不计)。 解:线框进入磁场后 y? ? ? ? ? 动 生 电 动 势 ? ? vBa b v0 ? ? ? ? ? a

? ? ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

有电流产生 ,方向沿 y

F ? IaB

方向: ?x

F ? ma

dv v变 ? I变 ? 产 生? ( ?) ? IaB ? m L 方向反 dt

由全电路欧姆定律,线 圈R ? 0
dI vBa ? L ?0 dt

? ? ? L ? IR ? 0
?

dv ? IaB ? m dt

d 2v B 2a 2 由上两式: ?? v 谐振动二阶微分方程 2 mL dt 2 2 A B a 2 sin( ?t ? ? ) ? ? v ? A cos(?t ? ? ) x ? mL ? 由初始条件: t ? 0时, x ? 0, v ? v0 ? A ? v0, ? ? 0

dI d 2v ? ? aB ? m dt dt 2

dI vBa ? dt L

x?

v0

?

sin( ?t )

x?0

直流电路
1)在电路的任一节点处,流入的电流强度之和等 于流出节点的电流强度之和
——节点电流定律(基尔霍夫第一定律) 2)在稳恒电路中,沿任何闭合回路一周的电势降 落的代数和等于零。 ——回路电压定律(基尔霍夫第二定律) 欧姆定律的微分形式
? ? 1 J ? ?E ? ?

?

?电导率 ?电阻率

l l R?? ? S ?S

例:在图面内两固定直导线正交,交点相连接,磁感 应强度为B 的均匀磁场与图面垂直,一边长为a的正 方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动,滑动时导 线框的A, B 两点始终与水平直导线接触,竖直直导线 则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电 阻值均为 r,试问:1)导线框的C, D两点移至竖直导 线上时,流过竖直导线CD段的感应电流是多少?2) 此时导线框所受的总安培力为多大? I左 C I右 ? ? B C C I

v

I左

I右

A

B

A

2ar
B

2ar

2ar

?
D

?

a
D

a
D

I左

C

I右

解:左右两侧动生电势 动均为

I

2ar

2ar

2ar

? ? 2vBa cos

?
4

? 2 vBa

?
D

?
2 vBa ar ? 2 ar

由基尔霍夫定律,或并 串联电路

I ? I左 ? I右
? 2 vB r ? 2r

I?

?
R

?

? 2arI右 ? 2arI ? ? ? 0 ? 2arI左 ? 2arI ? ? ? 0

2)导线框所受磁场力等于CD段导线所受的磁场力(也可根 据 I左, I右 具体计算各边受力) 2

F ? IB 2 a ?

?1 ? 2 ? r

2 B va

例:半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间 作线性变化B=kt(k=225/? T/s). 用分别为 30 ?与60 ? 的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外, 下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用30 ?的直电阻丝MON相连。 求:1) 电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电 阻丝MON上电流为零。 解:总的电动势 M ? ? dB 2 ? ? E ? dl ? ?R ? 9V ? ? dt L ? ? ? 60 ? 30 ? O K ? ? ? 30??? ? 1 ? ? 2 ? 4.5 V

?

N

M 30 ?
? ? ? ? ? ?O ? ? 30???

1) K 断开,电流方向如图

I 3 ? I1 ? I 2
60 ? K

N
M

? I1 ? I 2
30 ? 30 ? 60 ?

? I3

? I4 R

4 .5 解出: I2 ? ? 150 U MN ? 30 I 2 ? ?0.9V 2) K 合上,令I2 = 0, I4 如图
由I 2 ? 0 ? U MN ? 0 得 :I 1 ?

? 2 ? 60 I 3 ? 30 I 2 ? 0 ? 1 ? 30 I 2 ? 30 I 1 ? 0

?1
N

?2

?3

?1
30

I3 ?

?2
60

I 4 ? I1 ? I 3

R?

?3
I4

? 60

例:10根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络, 试求:A,B 两点间的等效电阻RAB.
R R A R R R R R I2 R R B R

设:总电流为 I , 由对称性知 AC与EB,AF与DB电流相同

C
I1 A

D
I-I1 I1

B I 由节点电流关系得其他电流

I2-I1 I - I2-I1

由对称性 I - I2= I2 由AC间电压

U AB 1 R AB ? ? ? 2 RI 1 ? RI 2 ? R( I ? I 1 ) I I
R AB 15 ? R 8

I

I-I1 F I - I2 E

?

2RI1=R(I-I1)+R(I2-I1)

I I2 ? 2

3 I1 ? I 8

例:如图电路,每两点间实线所示短导线的电阻为 1?, 则A,B两端点间的电阻为 A O C A O C B D D 据对称性可将原电路等效成下 图实线与虚线电路的并联,两 电路的电阻相同
R?r? 1 1 1 ? 2r 2r ? r ? 3r

B

总电阻为: 1 R 3 3 R AB ? ? ? r ? ?? ? 1 1 2 2 2 ? R R

例:无限长密绕螺线管半径为r,其中通有电流,在螺 线管内部产生一均匀磁场B,在螺线管外同轴地套一粗 细均匀的金属圆环,金属环由两个半环组成,a、b为 其分界面,半圆环电阻分别为R1 和 R2,且R1 >R2,,如 图,当B增大时,求: Ua > < = Ub a a
R1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

R1 R2
? 2

R2
? 2

??

?

b ? ? 2 dB E ? dl ? ?r dt

I?

?

? R1 ? R2 ?? U a ? U b ? R1 I ? ? 2 2?R1 ? R2 ?
?

b

R1 ? R2

R1 ? R2

Ua ? Ub

例:一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的 底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动, 现环受一扰动 偏离竖直面0.1弧度, 并开始倒下. 已知B=0.5T, 环半径 r1=4cm, 截面半径r2 =1mm, 金的电导率? =4.0?107/?· m, 设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时 时都与磁力矩平衡,求环倒下所需的时间t. ? ? ? d? ? ?M ? Pm ? B 当环倒下时 ?变 ? ? ? ?i? dt R 2 1 )当?时 ? ? ?r1 B sin? S d? d? 2 2 ) ? ? ? ?r1 B cos? dt dt 2?r1 2r1 ? B 3 ) R ? ? 2 2 ? ?r2 ? r2

N

4) i ?

?
R

?

? r22 r1?B cos? d?
2 dt

5) M ? PB sin(

?
2

? ? ) ? iSBcos? ?

? r22 r13? 2 B 2 cos 2 ? d?
2 dt

6) 环 倒 下 过 程 中 重 力 矩 时 与 磁 力 矩 平 衡

? r22 r13? 2 B 2 cos 2 ? d?
2 dt

? Fr1 sin?

t?

?

?

2 0.1

? r22 r12? 2 B 2 cos 2 ? d? 2 F sin?
B
?

S

? 2.11 (s )

N

例:在光滑的水平面上,有一可绕竖直的固定轴O自由 转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L,回 路总电阻为R,在OMN区域内为均匀磁场B,方向如图, 已知OA边进入磁场时的角速度为?,则此时导体回路 内的电流 i =___,因此导体回路所受的电磁阻力矩M=__.
N
? ? ? ? ? ? ? ?? ? B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O

B

? ? 1) ? ? (V ? B ) ? dl

?

?
M

A

2)

l ? ? ?lBdl ? ? VB d ?
0

L

?BL2
2

N

3)
? ? ? ? ? ? ? ?? ? B? ? ? ? ? V ? ? ? ? dl ? dF ? A

i? 方向:O?A ? R ? ? dF ? idlB dF ? idl ? B
L

4)

dM ? dF ? l

M ?

? iBldl ?
0

?B 2 L4
4R

由于自己线路中的电流的变化 而在自己的线路中 产生感应电流的现象叫自感现象,这样产生的感应 电动势叫自感电动势。 自感系数(简称自感)

? ?I

d? dI ?i ? ? ? ?L dt dt
L??

? L? I

?i
dI dt

单位电流的变化对应 的感应电动势 (普遍定义)

1. L的值取决于回路的大小、形状、线圈匝数以及周围 磁介质的分布。 2. 单位:亨利(H) 3. di / dt 相同,L 越大,εL 越大,回路中电流越不容易改 变,L → 回路本身的“电磁惯性”。 4. 自感电动势总是阻碍回路本身电流的变化。 两个载流回路中电流发生变化时相互在对方回路中激起 感生电动势的的现象叫互感现象,这样产生的感应电动 势叫互感电动势。 ?21 ? M 21i1 ?12 ? M12 i2

? 21 ? ?

d?21 di ? ? M 21 1 dt dt

? 12 ? ?

d?12 di ? ? M 12 2 dt dt

M12 ? M 21 ? M

互感系数

例:一半径为 a 的小圆线圈,电阻为R,开始时与一 个半径为b(b>>a)的大线圈共面且同心,固定大线 圈,并在其中维持恒定电流 I,使小线圈绕其直径以 匀角速 ? 转动如图(线圈的自感忽略)。 求:1)小线圈中的电流; 2)为使小线圈保持匀角速转动,须对它施加的力矩 3)大线圈中的感应电动势 解:1) b>> a ,小线圈内的磁场近似均匀 ? ? I ? ?0 I ? ? B ? S ? BS cos? ? ? ?a 2 cos?t 2b a ?0 I b d? 2 ? ? a ? sin ?t ?1 ? ? ? 2b dt

i?

?1
R

?

?0 I
2bR

? ?a 2? sin ?t

2)当载流线圈所受外力矩等于磁力矩,线圈匀速转动 ? ? ? ? M 外 ? M 磁 ? Pm ? B

M外

? ?0 I ? a ? ? 2 ? iSB sin ?t ? ? ? sin ?t ? ? 2b ? R
2

2

3)当小线圈 I 变化时,大线圈中有互感电动势 通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数M ?0 ? M? ? ? ?a 2 cos?t
小 线 圈 电 流 的 磁 场 ,过 通大 线 圈 的 磁 通 量 ?0 ?0 I 2 ?? ? M i ? ? ?a cos?t ? ? ?a 2? sin ?t 2bR 2b 2 2 4 2 ?0 ? a ? I d?? di ? ?? ? ?M ?? cos 2?t 2 dt dt 4b R
I 2b

例:一无限长圆柱,偏 轴平行地挖出一圆柱空 间, 两圆柱轴间距离 OO ? ? d , 图中所示为垂直于轴线 的 截面,用? 表示两圆柱间存在的均 匀磁场的方向, ? 设磁感应强度 B随时间t线性增长,即 B ? kt ( k为常数) 现在空腔中放一与 OO ?成60 0 角,长为 L的金属棍 AO ?B, 求:沿棍的感生电动势 ? AB 解:整个磁场可视为圆柱O内的 均匀磁场B和空腔内 – B 的叠加 E ? ? 1 ? ? 空腔内的感应电场由这两部分产生 B ? r1 r E2 ? ? ? 2 ? ?o. d . o d B ?

? ? A ? ? ?

? E ? dl
L

??

?? dt ? dS
S

r1 dB E1 ? 2 dt

r2 dB E2 ? 2 dt

y E1 r1

? E
r2

E2 x

E
L

? ? O? O ? ? ? ? ? ? ? E ? E1 ? E2 ? ? E1 sin ? i ? E1 cos? j ? E2 sin ? i ? E2 cos ? j

O

O?

?

? ?

?

? r ?? ? r ? r ? ? ? dB ?? r1 1 2 2 ? ?? ? sin ? i ? cos? j ? ? ? sin ? i ? cos ? j ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? dt ?? 2

? d dB ? E? j 2 dt ? ? d dB 3 0 ? ? E ? dl ? L cos 30 ? kLd L 2 dt 4

?

例:半径为R两板相距为d的平行板电容器,从轴 线接入圆频率为 ?的交流电,板间的电场E与磁场 ? H的相位差为 —— 2 ,从电容器两板间流入的电磁场 0 。(忽略边缘效应) 平均能流为——
d
R

例:一无限长密绕螺线 管的半径为 R, 单位长度内的匝数为n, di 通以随时间变化的电流i ? i ( t ), 且 ? C (常量), dt 则管内的感生电场强度 E in ? __ , 管外的感生电场强度 E out ? __

Ein

解:长直密绕螺线管内B=?0ni R r
1 )
2

i 变 ? B变 ? 产生涡旋电场 E

Eout

? ?
L

? ? E ? dl ? ?

r

L

??
S S

? ? E in ? dl ? ?

??

? ? dB ? dS dt ? ? dB ? dS dt

2) Eout ? 2? r ? ?0 nC? R
E out ?

? 0 nCR 2
2r

dB E in 2?r ? ?r 2 ? ? 0 nC?r 2 dt

E in ?

? 0 nC
2

r

例:两根电阻可略,平行放置的竖直固定金属长导轨相距 l,上端与电动势为?、内阻为r的直流电源连接,电源正、 负极位置如图所示。另有一根质量m、长l、电阻R的匀质 导体棒,两端约束在两导轨上,可无摩擦地上下滑动。设 空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B,方向已在图中 示出,将导体棒静止释放,试求导体棒朝下运动过程中的 最大加速度amax和最大速度vmax。 ? r
解:依题意,由欧姆定律知,开始 时导体棒中电流从左到右,大小为
I?
B

?
R?r

m, l, R
B

在磁场中受竖直向下的安培力
F ? IBl

那么,导体棒获得的向下加速度最大值为

amax ?

F ? Bl ?g? ?g m m( R ? r )

? r
B

导体棒向下加速后,某时刻速度记 为v,对应有感应电动势
? i ? Blv

m, l, R
B

方向与电源电动势相反。当v足够 大时,?i > ?,导体棒中电流反向, 即从右到左,大小为
I'?

?i ? ?
R?r

?

Blv ? ? R?r
F ' ? I ' Bl ?

其受磁场竖直向上的安培力为 当F’值等于mg时,导体棒停止向下加速,力达到平 Blvmax ? ? 衡,速度达到最大,即有 Bl ? mg 于是可解得
vmax mg ( R ? r ) ? ? ? 2 2 Bl Bl

Blv ? ? Bl R?r

R?r

答:球心O处电势为
Q 4?? 0 R ? q Q ? 2q ? 4?? 0 R / 2 4?? 0 R

过O点的等势面为以q为中心的球面,故面积为
?R? 4? ? ? ? ? R 2 ?2?
2

解:

解:


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