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浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(二)数学(理)试题(含答案)


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2016 年高三教学测试(二)
理科数学
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封线内填写 学校、班级、学号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.

试题卷

参考公式: 棱柱的体积公式
V ? Sh ,

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式

V?

1 Sh , 3

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高. 棱台的体积公式

V?

1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) , 3

其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高. 球的表面积公式
S ? 4?R 2 ,

其中 R 表示球的半径. 球的体积公式

4 V ? ?R 3 , 3
其中 R 表示球的半径.

·1·

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第Ⅰ卷(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B= {2,5},则 A∩(?UB) = A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3}

2.设 l、m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l⊥m, m ? ? ,则 l⊥ ? C.若 l∥ ? , m ? ? ,则 l∥m 3. “ ? ? 2k? ? B.若 l⊥ ? ,l∥m,则 m⊥ ? D.若 l∥ ? ,m∥ ? ,则 l∥m

?
4

( k ? Z ) ”是“ tan? ? 1 ”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.函数 f ( x ) ?| x | ?
y

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a (其中 a ? R )的图象不可能 是 ... x y

y

y

O O x

x

O

x

O

x

B A C D 5.已知 ?a n ?是等差数列,公差为 2,?bn ? 是等比数列,公比为 2.若 ?bn ? 的前 n 项和为 a bn ,则 a1 ? b1 等于 A.1 B.2 C.3 D.4

6.如图,小于 90? 的二面角 ? ? l ? ? 中, O ? l , A, B ? ? ,且 ? AOB 为钝角, ?A' OB ' 是 ? AOB 在

? 内的射影,则下列结论错误 的是 ..
A. ?A' OB ' 为钝角 B. ?A' OB ' ? ?AOB C. ?AOB ? ?AOA ' ? ? D. ?B' OB ? ?BOA ? ?AOA ' ? ? 7.如图,双曲线

B
l
B'

O

A
A'

?
?
y

(第 6 题)

x2 y2 ? ? 1(a , b ? 0) 的右顶点为 A ,左右焦点 a 2 b2
F1

M
Q
O

R

P

分 别 为
x

A

F2

·2·

(第 7 题)

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F1 , F2 ,点 P 是双曲线右支上一点, PF1 交左支于点 Q ,交渐近线 y ?

b x 于点 R . M 是 PQ 的中 a

点,若 RF2 ? PF1 ,且 AM ? PF1 ,则双曲线的离心率是 A. 2 C.2 8.已知 0 ? x ? y , 2 ? x 2 ? y ? B. 3 D. 5

5 ,则下列不 正确的是 . 2
B. sin x 2 ? sin(2 ? y) D. sin x 2 ? cos( y ? 1)

5 A. sin x 2 ? sin( ? y ) 2
C. sin(2 ? x 2 ) ? sin y

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9. 已知 ? ? ?0, ? ? , 函数 f ( x ) ? cos 2 x ? cos(x ? ? ) 是偶函数, 则 ? = ▲ , f ( x ) 的最小值为 ▲ .

? 1 ?log2 x ( x ? 0) 10.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( f ( )) = ▲ ,方程 f ( x ) ? 2 的解为 2 ? ? x ? x ( x ? 0)
11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何 为 ▲ cm3,表面积为 ▲ cm2.
1 正视图 1 1 侧视图

▲ . 体的体积

俯视图

(第 11 题)

?x ? 1 ? 12.已知 x, y ? R 且满足不等式组 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,当 ? kx ? y ? k ? 1 ? 0 ?

k ? 1 时,

不等式组所表示的平面区域的面积为 ▲ .

▲ ,若目标函数 z ? 3 x ? y 的最大值为 7,则 k 的值为

·3·

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13.已知 a ? 0 , f ( x ) ? a cos?x ? (1 ? x ) sin?x, x ? [0,2] ,则 f ( x ) 所有的零点之和为
?a ( a ? b ) 14.设 max{a , b} ? ? ,已知 x, y ? R, m ? n ? 6 , ? b (a ? b)

▲ .

则 F ? max{| x 2 ? 4 y ? m |,| y 2 ? 2 x ? n |}的最小值为

▲ .

1 3 ) ,点 A 在 BD 下方的圆弧上, 则 15 .如图,设正△ BCD 的外接圆 O 的半径为 R( ? R ? 2 3
C

( AO ?

AB | AB |

?

AD | AD |

) ? AC 的最小值为 ▲ .
O

D A
(第 15 题)

B

B

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 △ ABC 中 , 设 边 a , b , c 所 对 的 角 为 A, B , C , 且 A, B , C 都 不 是 直 角 ,

(bc ? 8) cos A ? ac cos B ? a 2 ? b2 .
(Ⅰ)若 b ? c ? 5 ,求 b , c 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

17. (本题满分 15 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 2 ,BC ? CC1 ? 1 , 点 P 是 CD 上的一点,PC ? ? PD . (Ⅰ)若 A1 C ? 平面 PBC 1 ,求 ? 的值; (Ⅱ)设 ?1 ? 1 , ? 2 ? 3 所对应的点 P 为 P1 , P2 ,
·4·

D1
A1 B1

C1

二 面 角

D A

P
B

C

(第 17 题)

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P1 ? BC 1 ? P2 的大小为 ? ,求 cos ? 的值.

18. (本题满分 15 分) 已知 m ?R,函数 f ( x) ? ? x 2 ? (3 ? 2m) x ? 2 ? m . (Ⅰ)若 0 ? m ?

1 ,求 | f ( x ) | 在 [ ?1,1] 上的最大值 g ( m ) ; 2

(Ⅱ)对任意的 m ? (0,1] ,若 f ( x ) 在 [0, m ] 上的最大值为 h( m ) ,求 h( m ) 的最大值.

19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C1 :
C1 交于 A, B 两点.
x2 y2 ? ? 1 ,直线 l1 : y ? kx ? m ( m ? 0 )与圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切且与椭圆 16 4

y
4 ,求 m 的值; 3
C

(Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标为

A
O

(Ⅱ)过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C , D 两点,设
·5·

B

x

D
(第 19 题)

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| AB |? ? | CD | ,求 ? 的最小值.

20. (本题满分 15 分) 已知点列 Pn ( x n ,
2 ) 与 An (an ,0) 满足 xn ? 1 ? xn , Pn Pn?1 ? An Pn?1 ,且 Pn Pn ?1 ? An Pn ?1 ,其中 xn

n ? N*, x1 ? 1 .
(Ⅰ)求 xn ? 1 与 xn 的关系式;
2 2 2 2 (Ⅱ)求证: n2 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ? 4n .

y

P1 P2
O

P3

A1

A2

x

(第 20 题)

2016 年高三教学测试(二)
理科数学
合题目要求的) 1. D; 5. B; 2. B; 6. D; 3. A; 7. C; 4. C; 8. C.

参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

·6·

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8. 解析: 因为 x ? 0 ,x 2 ? x ? x 2 ? y ? 又 y?

11 ? 1 5 ? 1.2 .2 ? x 2 ? y ? y 2 ? y , , 所以 0 ? x ? 所以 y ? 1 , 2 2

5 5 ,所以 1 ? y ? . 2 2 5 5 3 ? 5 得 0 ? x 2 ? ? y ? ? ,所以 sin x 2 ? sin( ? y ) ,故 A 正确; 2 2 2 2 2

由 x2 ? y ?

由 2 ? x2 ? y 得

?
2

? 1.44 ? x 2 ? 2 ? y ? ?

1 ? ? ? ,所以 sin x 2 ? sin(2 ? y) ,故 B 正确; 2 2

对于 C,取 2 ? x 2 ? 由 x2 ? y ?

?
2



?
2

? y?

1?? 时,显然不成立,所以 C 不正确; 2

5 5 ? ? ? 得 0 ? x 2 ? ? y ? ? 1 ? y ? ,所以 sin x 2 ? sin( ? 1 ? y) ? cos(1 ? y ) ,故 D 正确. 2 2 2 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36 分) 9. 0, ? 13. 2;

9 ; 8

10. 0;-2 或 4; 14.

11.

? 11?
2 , 4



12.

8 ;2; 3

1 ; 2
AB | AB | ? AD | AD |

15. ?

1 . 2
AC | AC | ) ? AC ? 1 | AC |2 ? | AC | 2

15.解析:因为 ( AO ?

) ? AC ? ( AO ?

?

1 1 1 (| AC | ?1) 2 ? , 因为 3 R ?| AC |? 2R ,所以 | AC |? 1 时,取到最小值 ? . 2 2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 14 分) 在 △ ABC 中 , 设 边 a , b , c 所 对 的 角 为 A, B , C , 且 A, B , C 都 不 是 直 角 ,

(bc ? 8) cos A ? ac cos B ? a 2 ? b2 .
(Ⅰ)若 b ? c ? 5 ,求 b , c 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,求△ ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ) (bc ? 8) ?
b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ? ac ? ? a2 ? b2 2bc 2ac

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 8? ? ? a2 ? b2 2 2bc 2 b2 ? c2 ? a 2 ? 8 ? b2 ? c2 ? a 2 ?0, 2bc

∵△ ABC 不是直角三角形,∴ bc ? 4 ? 0

·7·

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?b ? 1 ? b ? 4 故 bc ? 4 ,又∵ b ? c ? 5 ,解得 ? 或? ?c ? 4 ? c ? 1

(Ⅱ)∵ a ? 5 ,由余弦定理可得
5 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2bc ? 2bc cos A ? 8 ? 8 cos A ,所以 cos A ?

3 , 8

所以 sin A ?

1 55 55 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? . 2 4 8

所以△ ABC 面积的最大值是 17. (本题满分 15 分)

55 3 ,当 cos A ? 时取到. 4 8

如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 ,
BC ? CC1 ? 1 ,点 P 是 CD 上的一点, PC ? ? PD .

D1
A1 B1

C1

(Ⅰ)若 A1 C ? 平面 PBC 1 ,求 ? 的值;

D A

P
B

C

(Ⅱ)设 ?1 ? 1 , ? 2 ? 3 所对应的点 P 为 P1 , P2 ,
P1 ? BC 1 ? P2 的大小为 ? ,求 cos ? 的值.

(第 17 题)

二 面 角

解:法一: (Ⅰ)∵ A1C ? BC1 若 A1C ? PB ,则 A1C ? 平面 P B C 1 ,只要 AC ? PB 即可 在矩形 A B C D 中,

1 CP BC 1 ,解得 CP ? , ? ? ; ? 2 3 BC AB

(Ⅱ)过 C 作 CH ? BC1 交 BC1 于 H ,连接 P1 H , P2 H ,则 ?P1 HP2 就是所求二面角的一个平 面角 ? ∵ P1 C ? 1 , P2 C ?
?P1 HC ? ∴t a n 3 2 2 3 , CH ? 2 2

,t a n ?P2 HC ? 2

tan ? ? t a n? (P2 HC ? ?P1 HC ) ?

4 2 2 ,所求余弦值为 . 8 33
z
D1
B1

法二: (Ⅰ)建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,

C1

·8·A1

D

P

C

y

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B(1,2,0), C1 (0,2,1), A1 (1,0,1), C (0,2,0)

设 P (0,
?

2 ,0) ,若 A1 C ? 平面 PBC 1 , 1? ?
?

A1C ? ( ?1,2,?1) , BC1 ? ( ?1,0,1) ,

BP ? (?1,2 ?

?

2 ,0) ,则 1? ?

? ? ? 1 ? A1C ? BP ? 0 ,解得 ? ? ? ? ? 3 ? A C ? BC ? 0 1 ? 1

(Ⅱ) P1 (0,2,0) , P2 (0,1,0) 设平面 BC1 P1 与平面 BC1 P2 的法向量分别是 n1 , n2
?? ? ? ? n1 ? BP1 ? 0 ,解得 n1 ? (1,?1,1) ?? ? ? n ? BC ? 0 1 ? 1

z
D1
A1 B1

C1

D A

P1

P2

C

y

x

B

? ? ?? ? ? n1 ? n2 4 2 ? n 2 ? BP2 ? 0 ,解得 n 2 ? ( 3,?2,3) , cos? ? ? ? ?? ? ? 33 ? n ? BC ? 0 | n1 | ? | n2 | 1 ? 2

18. (本题满分 15 分) 已知 m ?R,函数 f ( x) ? ? x 2 ? (3 ? 2m) x ? 2 ? m . (Ⅰ)若 0 ? m ?
1 ,求 | f ( x ) | 在 [ ?1,1] 上的最大值 g ( m ) ; 2

(Ⅱ)对任意的 m ? (0,1] ,若 f ( x ) 在 [0, m ] 上的最大值为 h( m ) ,求 h( m ) 的最大值. 解: (Ⅰ)∵对称轴为 x ?

3 ? 2m ?1 2

∴ g( m ) ? max{| f ( ?1) | ,| f (1) | } ? max{| 3m ? 2 | ,| 4 ? m | }
? m a x2{? 3m ,4 ? m }

又∵ (4 ? m ) ? ( 2 ? 3m ) ? 2 ? 2m ? 0 ∴ g( m ) ? 4 ? m . (Ⅱ)函数的对称轴为 x ?

3 ? 2m ,且函数开口向下 2
·9·

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3 ? 2m 3 , ? 0 ,即 m ? (舍去) 2 2 3 3 ? 2m 17 3 ? 2m ? m ,即 ? m ? 1 , h(m) ? f ( ) ? m 2 ? 2m ? 2 4 2 4

②0? ③

3 ? 2m 3 ? m ,即 0 ? m ? , h(m) ? f (m) ? ?3m2 ? 4m ? 2 4 2
, 当m ?
10 2 时,取得最大值 3 3

17 3 ? 2 ? m?1 ? m ? 2m ? 4 4 ∴ h( m ) ? ? 3 ? ? 3m 2 ? 4m ? 2 0 ? m ? 4 ?
19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C1 :
C1 交于 A, B 两点.

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l1 : y ? kx ? m ( m ? 0 )与圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切且与椭圆 16 4

y
4 ,求 m 的值; 3
C

(Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标为

A
O

(Ⅱ)过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C , D 两点,设
| AB |? ? | CD | ,求 ? 的最小值.
x2 y2 ? ?1得 解: (Ⅰ) l1 : y ? kx ? m 代入 C 1 : 16 4

B

x

D
(第 19 题)

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4(m 2 ? 4) ? 0 , ? ? 0 恒成立,
8km ? x ? x2 ? ? ? ? 1 1 ? 4k 2 ,所以 ? 4km ? 4 ①, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 1 ? 4k 2 3 ? x1 x 2 ? 4( m ? 4) 2 ? 1 ? 4k ?

又d ?

|k ?m| 1? k2

? 1 ,得 k ?

1 ? m2 ②,联立①②得 m 4 ? m 2 ? 2 ? 0 , 2m

解得 m ? 2 .
2 2 4 16k 2 ? m 2 ? 4 2 4 16k ? m ? 4 | AB | ? 1 ? k ? ,所以 , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 | x1 ? x2 |?

把 l2 : y ? kx 代入 C 1 :

x2 y2 8 16 ? ? 1 得 x2 ? ,所以 | CD |? 1 ? k 2 ? , 2 16 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

·10·

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所以 ? ?

1 m2 | AB | 16k 2 ? m 2 ? 4 1 m2 ? 4 ? ? ? 4? 2 | CD | 2 1 ? m2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4( ) 2m

?

1 m4 1 1 6 4? 4 ? 4? ? , 1 1 2 3 2 3 m ? m2 ? 1 2 ( 2? ) ? 2 4 m
6 2 , ? 取最小值 . 4 3

当 m ? 2, k ? ?

20. (本题满分 15 分) 已知点列 Pn ( x n ,
* n ? N , x1 ? 1 .

2 ) 与 An (an ,0) 满足 xn ? 1 ? xn , Pn Pn?1 ? An Pn?1 ,且 Pn Pn ?1 ? An Pn ?1 ,其中 xn

y

(Ⅰ)求 xn ? 1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)求证: n ?
2 2 x2

P1
2 xn ?1

?

2 x3

? ??

? 4n .
O

2

P2
A1

P3

A2

x

(第 20 题)











Pn Pn?1 ? ( x n?1 ? x n , ( x n ?1 ? x n , 2 x n ?1 ?

2 2 2 ? ) , An Pn?1 ? ( x n?1 ? a n , ) x n ?1 x n x n ?1

2 2 4 ) ? ( xn ? 1 ? an , ) ? 0 得 x n ?1 ? a n ? 2 ①, xn xn ? 1 x n ?1 ? x n

又 ( xn ? 1 ? xn )2 ? (

2 xn ? 1

?

2 2 4 ) ? ( xn ? 1 ? an )2 ? 2 ② xn xn ? 1
2 xn ?1

把①代入②,得 ( x n?1 ? x n ) 2 (1 ? 得 ( x n ?1 ? x n ) 2 ?
4
2 xn ?1

4 4 4 ) ? 2 (1 ? 2 ), 2 2 ? xn x n ?1 x n ?1 ? x n
2 . x n ?1

,所以 x n?1 ? x n ?

(Ⅱ) x n?1 ? x n ?
2 所以 xn ?1 ? 1 ? n

2 ,所以 2 ? xn?12 ? xn xn?1 ? xn?12 ? xn 2 , x n ?1
i ?1 2

? ?x
i ?1

? xi

2

? ? 2n ,所以 x

n?1

? 2n ? 1 ,

2 2 2 2 x2 ? x3 ? ?? x n ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ? n .

·11·

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又 n ? 2 时, xn?1 ? x2 ? 因为
2 2i ? 1 ? 4

?
i ?2

n

( xi ?1 ? xi ) ?
?

?
i ?2

n

2 ? xi ?1

?
i ?2

n

2 2i ? 1



4 2i ? 2i ? 2

2i ? 1 ? 2i ? 1

? 2 2( i ? 1 ? i ) ,

所以 xn ? 1 ? x2 ?

? (2
i?2

n

2( i ? 1 ? i ) ? 2 2( n ? 1 ? 2 )

所以 xn ?1 ? 8n ? 8 ? 2 ,所以 x n?1 2 ? 8n ? 8 ? 4 ? 4 8n ? 8 ? 8n ? 4 ,
2 2 2 2 又 x 2 ? 2 ,所以 x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ? 4[1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? 4n .

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·12·


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