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高三三角函数专题复习习题(附高考真题及答案)


一、角的概念及任意角的三角函数

3π? ? 3π 1.已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的 ? ? 值为( π A.4 ) 3π B. 4 5π 7π C. 4 D. 4

6、若

,且





A.

B.

C.

D.

7、[2014·全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1, 3),则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________.
三、三角函数图像及性质

5 sin ? ? ? 13 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等 2.(2015 福建卷) .若

于(

12 )A. 5

12 ? B. 5

5 5 ? C. 12 D. 12

二、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差公式、诱导公式

? π π? 8、[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 2 个单位长度, 3? ? 所得图像对应的函数( ) ?π 7π ? A.在区间? , ?上单调递减 ?12 12 ? ?π 7π ? B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? ? π π? D.在区间?- , ?上单调递增 3? ? 6

3.化简cos10° =( cos80° A.-2 1 B.-2

1 sin235° -2

) C.-1 D.1

? π π? C.在区间?- , ?上单调递减 3? ? 6

1 5? ? 4.已知 cos ? ? tan(? ), 则 sin( ? ? ) 等于 3 4 2

A.

2 3

B.一

1 3

C.

1 3

D. ?

2 2 3

9、已知 ? 是实数,f(x)=cosx·cos(x+ 3 ),则“ 移 ? 个单位后关于 y 轴对称”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?

??

?
3 ”是“函数 f(x)向左平

?π ? 5 5.[2014·江苏卷] 已知 α∈? ,π?,sin α = . 5 ?2 ? ?π ? (1)求 sin? +α?的值; ?4 ? ? 5π ? (2)求 cos? -2α?的值. ?6 ?

10、如图所示为函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象,其中 A,B 两点之间 的距离为 5,那么 f(-1)=( A.-1 C. 3 π? ? ) ?ω>0,0≤φ≤2?
? ?

B.- 3 D.1

11、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y= ? ? π? π? cos|2x| ,② y= |cos x| ,③y= cos ?2x+ ? ,④y= tan ?2x- ? 中,最小正周 6? 4? ? ? 期为π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
2 12、 (2015 浙江卷) 、函数 f ? x? ? sin x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是 最小值是 .

四、解答题



15、[2014· 湖南卷] 如图 14 所示,在平面四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DE 2π π =1,EC= 7, EA=2,∠ADC= 3 ,∠BEC= 3 . (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

四、解三角形 11、[2014· 全国卷] △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 1 3acos C=2ccos A,tan A=3,求 B= . 12、在 中, , 为 . 边上的点,且 , ,则 的面积的最大值为

? ? π π?图像上每 13.[2014· 重庆卷 13] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω >0,- 2 ≤φ <2? ? ?

π 一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 6 个单位长度
?π? ? 得到 y=sin x 的图像,则 f? ? 6 ?=________. ? ?

(湖南卷)16. (本小题满分 12 分) 如图 3, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点, AB ? AD, 记?CAD ? ? , ?ABC ? ? . (Ⅰ)证明: sin ? ? cos2? ? 0 ;
A

(Ⅱ)若 AC ? 3DC ,求 ? 的值.

A+B 14.在△ABC 中,已知 tan 2 =sinC,给出以下四个结论: tanA ①tanB=1;②1<sinA+sinB≤ 2;③sin2A+cos2B=1;④cos2A+cos2B =sin2C. 其中正确的是________.
B

D 图3

C

17、[2014· 天津卷] 在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 6 已知 a-c= 6 b,sin B= 6sin C. (1)求 cos A 的值; ? π? (2)求 cos?2A- ?的值. 6? ?

π α 1 2 19、(10 分)已知 0<α<2<β<π,tan2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sinα 的值; (2)求 β 的值.

18、 (2014?南昌模拟)已知向量 =( f(x)= ? .

sin ,1) , =(cos ,cos2 ) .记

? 2 20、【2015 高考重庆,理 18】 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? ? x ? sin x ? 3 cos x 2 ? ?
(1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)讨论 f ? x ? 在 ?

?

(Ⅰ)若 f(x)= ,求 cos( ﹣x)的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2a﹣c) cosB=bcosC,若 f(A)= ,试判断△ ABC 的形状

? ? 2? ? 上的单调性. , ?6 3 ? ?

15、(1)在△ CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CD· DE· cos∠EDC, 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD- 6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). EC CD 在△ CDE 中,由正弦定理,得 = . sin∠EDC sin α 2π 3 CD·sin 3 2× 2 21 于是,sin α = = = EC 7 ,即 7 21 sin∠CED= 7 . π (2)由题设知,0<α < 3 ,于是由(1)知, 21 2 7 cos α = 1-sin2α = 1-49= 7 . 2π 而∠AEB= 3 -α,所以 ?2π ? 2π 2π ?=cos cos∠AEB=cos? cos α + sin - α 3 3 sin α ? 3 ? 1 3 =-2cos α + 2 sin α 1 2 7 3 21 7 =-2× 7 + 2 × 7 = 14 . EA 2 在 Rt△EAB 中,cos∠AEB= BE=BE,故 2 2 BE= = =4 7. cos∠AEB 7 14
2 16、(1).如图 3, 即 sin ? ? cos 2? ? 0 . (2) .在 ?ABC 中,由正弦定理得 ?? ?



2 3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0.解得 sin ? ?

3 3 或 sin ? ? ? 2 3 . .

?0 ? ? ?

?
2

? ,

s? i? n

3 ? ? ? ?, 2 3

b c 17、解:(1)在△ ABC 中,由sin B=sin C,及 sin B= 6sin C,可得 b= 6 6 c.又由 a-c= 6 b,有 a=2c. b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以 cos A= = = 2bc 4. 2 6c2 6 10 (2)在△ ABC 中,由 cos A= 4 ,可得 sin A= 4 .于是 cos 2A=2cos2A-1 1 15 =-4,sin 2A=2sin A·cos A= 4 . ? π π 15- 3 π? 所以 cos?2A- ?=cos 2A·cos 6 +sin 2A·sin 6 = . 8 6? ? 18 、 (Ⅰ)∵向量 解 : ∴f(x)= ∵ = ,∴ = ,∴ , .

∴ ∴ ( Ⅱ ) ∵ ( 2a ﹣ c ) cosB=bcosC ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
?

?

? (? ? 2? ) ? 2? ?

?

,? sin ? ? sin(2? ? ) ? ? cos 2 ? 2 2 ,

∵sinA>0,∴cosB= ∵B∈(0,π) ,∴B= ∵ ∴A= ,∴ 或 A=π(舍去)∴C= ∴ 或

DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ? 2 由(1)得 sin ? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin ? ),

∴△ABC 为正三角形.

α 1 19、解:(1)∵tan2=2, 4 ∴tanα= = = , ?1?2 3 2α 1-tan 2 1-?2?
? ?

α 2tan2

1 2×2

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 2? ? 20、(I)由题意知 f ? x ? ? ? 2 2
? sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2

? sinα =4, 由?cosα 3 ?sin2α+cos2α=1,
4 ? 4? 解得 sinα=5?sinα=-5舍去?. ? ? (2)由(1)知 cosα= 1-sin2α=
?4? 3 1-?5?2=5, ? ?

由?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z



?
2

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 4 4

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ?

? ?

?

?

π 又 0<α<2<β<π,∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 10 , ∴sin(β-α)= 1-cos2?β-α?= 于是 sinβ=sin[α+(β-α)] =sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α) 4 2 3 7 2 2 =5× 10 +5× 10 = 2 .
?π ? 3π 又 β∈?2,π?,∴β= 4 . ? ?

单调递减区间是 ?

3? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?

1-?

? 2?2 7 2 ?= 10 , ? 10 ?


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