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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第41讲 解不等式


第一讲 解不等式 本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝 对值的不等式的解法. 解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理. 解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系,它们互相转化、相互渗 透,又有所区别. A 类例题 例 1 解不等式 ( x 2 ? x ? 1)(x ? 1)(x ? 4)(6 ? x) ? 0 解:对任

意 x, x ? x ? 1 ? 0 ,因此该式可省略,再把 6-x 变为 x-6,不等号方向作
2

相应改变,即原不等式与不等式 ( x ? 1)(x ? 4)(x ? 6) ? 0 同解. 用数轴标根法

-1

0

4

6

原不等式的解集为 {x | x ? ?1或4 ? x ? 6} 说明:高于二次的不等式称为高次不等式.解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解, 使每个因式成为一次或二次式,而且各因式中 x 的最高次数的那一项的系数应为正数. 链接:早年,人们解高次不等式都要列表,过程有点繁.1977 年美国人普鲁特和莫里 (M.H.protter, C.B.Morrey)将列表法简化为数轴上直接表示的方法,既快捷又方便,答案在 数轴上一目了然. 例 2 解不等式

1 1 ? x ?x | x|
2

解: (1)当 x>0 时,原不等式化为 ? x 2 ? x

? ? ? ?

1

1 ? 1 ?x ? 2 ? ?1 ? ?0 ? ? x ?1 ? ? x ?1 x ? x?0 ? x?0 x?0 ? ? ?

? x ? 2或x ? 1 ?? ? x ? 2或0 ? x ? 1 ; ? x?0
1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ?1 ? x ? 1或x ? 0 ?? (2)当 x<0 时,原不等式化为 ? x ? x ? x ? ? x ? 1 ? x?0 ? ? x?0 x?0 ? ?
? x ? 0.
综合(1) (2) ,原不等式的解集为 {x | x ? 0或0 ? x ? 1或x ? 2} 说明:解不等式讲究一个“化”字,也就是将原不等式化为同解的最简单的不等式.

解 分 式不 等式 时 都是 把它 化 成同 解的 整 式不 等式 . 例如 不等 式

f ( x) ? 1 与 不等式 g ( x)

f ( x) ? g ( x) ? 0 同解,也就是与 ? f ( x) ? g ( x)?.g ( x) ? 0 同解. g ( x)
一般情况下分式不等式是不能去分母的,但若能判定分母恒大于 0 或恒小于 0,则可以去 分母. 例 3 解不等式 2 x ? 5 ? x ? 1 解:原不等式化为 ? (1985 年 全国高考题.理科) (1)

?2 x ? 5 ? 0 ? x ?1 ? 0

? 2x ? 5 ? 0 ? x ?1 ? 0 或? (2) ?2 x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ?

5 ? 5 ?x ? ? 2 ? ? ? x ? ?1 2 ? x ? ?1 ? 5 ? ? x??2 ? 对于(2) ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 2 ?? 1 ? x ? 2 ? ? 5 因此,原不等式的解集为 {x | ? ? x ? 2} 2
对于(1) ? 说明:解无理不等式时,为了化成有理不等式,一般都有乘方.但这时候一定要注意式 子的取值范围, 否则乘方后会破坏不等式的同解性. 例如 x=1 是不等式 x ? ?10 解集中的一 个元素,而 x=1 就不是不等式 x ? (?10) 解集中的元素.
2

一般地,

? ? ( x) ? 0 f ( x) ? ? ( x) ? ? ? f ( x) ? ? ( x)
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? [? ( x)] 2 f ( x) ? ? ( x) ? ? 或? ?? ( x) ? 0 ? ? ( x) ? 0

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? ( x) ? ?? ( x) ? 0 ? f ( x) ? [? ( x)]2 ?
另外在解题过程忠,集合之间的“交”“并”关系也必须理清楚,这样才能保证答案的 、 正确性.

情景再现 1. 解不等式

x 2 ( x ? 1) ?0 2 ? x ? x2

2. 设 a>0,解关于 x 的不等式 a(a ? x) ? a ? 2x 3. 设函数 f ( x) ? B 类例题 例 4 解不等式 4 ? 6 ? 9
x x x

x 2 ? 1 ? ax ,其中 a>0,解不等式 f ( x) ? 1
(2000 年全国高考题.理科)

分析: 这是一个指数不等式. 注意到其底数 4、 9 有如下关系 ( ) ? ( ) , ? 6、
2

4 9

2 3

6 9

2 9 , ? 1, 3 9

因此类似于解指数方程,可以将不等式两边同除以 9 . 解:原不等式化为 ( ) ? ( ) ? 1
x x

x

4 9

6 9

令 ( ) ? u ,则 ( ) ? u
x x

2 3

4 9

2

(u ? 0) ,则有 u 2 ? u ? 1 ? 0 ?

(u ?

?1? 5 1? 5 ?1? 5 2 ?1? 5 ).(u ? )?0?u ? ? ( )x ? ? 原不等式的解为 2 2 2 3 2
3

x ? log 2 5 ? 1
说明: y ? ( ) 为减函数,疏忽了这一点,解的最后一步就会出错.解指数不等式一般应先解
x

2 3

出 a 的范围,进而再求 x 的范围. 例 5 若 0 ? a ? 1 ,解不等式 loga x ? 6 logx a ? 1 解:令 loga x ? u ,由对数换底公式 log x a ?

x

1 6 ,原不等式化为 u ? ? 1 ? u u

u2 ? u ? 6 ? 0 ? u (u ? 2)(u ? 3) ? 0 .由数轴标根法得: u

-3

0

2

? 3 ? u ? 0或u ? 2 ,注意到 0 ? a ? 1 ? 原不等式解集为{x | 1 ? x ? a ?3或0 ? x ? a 2 }

[来源:Zxxk.Com]

2 说明:由 u ? 2 ,得 log a x ? 2 ? x ? a ,注意到 y ? loga x 中, x ? 0 ,因此这部分的

结果应是 0 ? x ? a .如仅写成 x ? a 那就不正确了.
2 2

例 6 使 log2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围是___________ (2003 年全国高考题.理 科) 分析:不等式的左边是含 x 的对数式,右边是 x 的一次式,这种不等式用通常的推理方 法是无法求解的,因此考虑图象法. 解:如下图,在同一坐标系内分别作出函数 y ? log2 (? x) 与 y ? x ? 1 的图象(它们的共 同定义域为 x ? 0 ) 从图象上看出, . 当且仅当 ? 1 ? x ? 0 时,y ? x ? 1 的图象在 y ? log2 (? x) 图象的上方,因此 x 的取值范围为 ? 1 ? x ? 0 . y

y=log2(-x)

0

x

y= x+1(x<0)

例 7 解不等式 1. | x ? 3x | ? x ? 2 ? 0
2 2

2. | x ? 2 |? 2 x ? 1
2

(2004 年全国联赛四川省初赛)

3. | x ? 1 | ? | x ? 2 |? x ? 3 解:1. 原不等式化为 | x ? 3x |? 2 ? x ? x ? 3x ? 2 ? x
2 2 2 2 2

(1)
2

[来源:Zxxk.Com]

或 x ? 3x ? ?(2 ? x ) (2) 对于(1)解得 x ?

2 1 或x ? ?2 ,对于(2)解得 x ? ? .取其并集,因此原不等式解集为 3 2 2 1 {x | x ? ? 或x ? } 3 2
2. 原不等式化为 ?

? x 2 ? 2 ? 2x ? 1 ?x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ?? 2 2 ? x ? 2 ? ?(2 x ? 1) ? x ? 2 x ? 1 ? 0

?1 ? x ? 3 ? ,因此,原不等式解集为 {x | 2 ? 1 ? x ? 3} ?? ? x ? 2 ? 1或x ? ?1 ? 2

3. 分析: | x ? 1 |? 0 则 x ? 1 , | x ? 2 |? 0 则 x ? 2 .数 1 和 2 将数轴分为三段,依据绝 对值的定义,通过分段讨论把绝对值的不等式化为不含绝对值的不等式. 解法一 划分区间分类讨论:

x ?1 ? x ? 1 时,原不等式化为 ? ?x?0 ?1 ? x ? 2 ? x ? x ? 3 1? x ? 2 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式化为 ? ? x ?? ?x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 3 x?2 ? x ? 2 时,原不等式化为 ? ?x?6 ?x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3
综上,原不等式解集为 {x | x ? 0或x ? 6} 解法二 构造函数,画图象: 令 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | , g ( x) ? x ? 3 ,

? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? 可得 f ( x) ? ? 1 (1 ? x ? 2) ,在同一坐标系内作出 y ? f (x) 和 y ? g (x) 的图象,可 ?? 2 x ? 3 ( x ? 1) ?
求得 A(0,3) ,B(6,9) .因为 f ( x) ? g ( x) ,所以原不等式解集为 {x | x ? 0或x ? 6}

y B A y=f(x)

y=g (x)

0

x

说明:本例三个小题的解法在对待含绝对值的不等式上,具有普遍意义,是通法. 链接:一般地, | f ( x) |? g ( x) 与 f ( x) ? g ( x) 或 f ( x) ? ? g ( x) 同解, | f ( x) |? g ( x) 与

? f ( x) ? g ( x) 同解.有些不等式用图象法既准确又直观,在特定条件下这种做法别的方法 ? ? f ( x) ? ? g ( x)
不能取代. 例 8 设实数 a,b 满足不等式 || a | ?(a ? b) |?| a? | a ? b || ,试确定 a,b 的正、负. 解:由已知得 [| a | ?(a ? b)] ? (a? | a ? b |) ?
2 2

a 2 ? 2 | a | .(a ? b) ? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a | a ? b | ?(a ? b) 2 ? a. | a ? b |?| a | .(a ? b) ,由于
| x |? x ,因此立得 a ? 0 ? ?(?a). | a ? b |?| a | .(a ? b) ,约去-a 得 ? | a ? b |? a ? b
? a ? b ? 0 ? b ? ?a ? 0 ,a 为负数且 b 为正数.
链接:如 a,b 是实数,则 | a |?| b |? a 2 ? b 2 .这是去掉绝对值的又一途径. 情景再现 4. 不等式 1 ? 2 ? 3 的解是__________
x x

(2003 年上海高中数学奥林匹克)

5. 设 y ? log1 [a 2 x ? 2(ab) x ? b 2 x ? 1] ( a ? 0 , b ? 0 ) ,求使 y 为负值的 x 的取值范
2

围. 6. 求函数 y ?

(上海 1998 年高考题)

2 ? log 1 ? tan x 的定义域.
2

(上海 1989 年高考题)

7. 1)不等式 | x |3 ?2 x 2 ? 4 | x | ?3 ? 0 的 解集是__________ (2003 年全国联赛题) 2)不等式组 ? 3 ? x

x?0 2 ? x 的解集为__________ (1997 年全国高考题) ?| | ?3 ? x 2 ? x ? ? ?

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

3) | x 2 ? 2 x ? 3 |? x ? 1的解集为__________ C 类例题 例 9 若关于 x 的不等式

x 2 ? (2a 2 ? 2) x ? a 2 ? 4a ? 7 ? 0 的解集 是一些区间的并 x 2 ? (a 2 ? 4a ? 5) x ? a 2 ? 4a ? 7

集,且这些区间的长度的和不小于 4,则实数 a 的取值范围为__________ (2001 年上海高中数学奥林匹克) 分析:区间的长度取决于数轴上点与点的距离.因此本题应从整体着眼研究根的分布, 应用韦达定理.如果求一个个根的数值势必会陷入繁冗的计算之中,解题效率极低. 解 : ? a ? 4a ? 7 ? ?(a ? 2) ? 3 ? 0 , 令 f ( x) ? x ? (2a ? 2) x ? a ? 4a ? 7 ,
2 2 2 2 2

g ( x) ? x 2 ? (a 2 ? 4a ? 5) x ? a 2 ? 4a ? 7 ,则方程 f ( x) ? 0 及 g ( x) ? 0 都各有两个实根,
容易判断这两个方程的根有两正两负,而且互不相等. 设 f ( x) ? 0 的根为 x1 , x2 , x1 x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x 2 .又设 g ( x) ? 0 的根为 x3 , x4 , 则 x3 x4 ? 0 ,令 x3 ? x 4 ,由韦达定理 ( x3 ? x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ?(a 2 ? 4a ? 5) ? 2a 2 ? 2
[来源:Z,xx,k.Com]

? x ? x2 ? a 2 ? 4a ? 7 ? 0 ,所以 x3 ? x4 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 .我们证明 ? 4 ? x3 ? x1
反证:

设 x4 ? x2 ?

x4 x x ? 1 ,又 4 ? 1 ? 1 ( x3 ? 0 ) ? x1 ? x3 ,这样便有 x2 x 2 x3

? x4 ? x2 ? x3 ? x4 ? x1 ? x2 , 此与 已有 事实 x3 ? x4 ? x1 ? x2 矛 盾 ,故 x4 ? x2 . 再 由 ? ? x3 ? x1
x4 ? x2 及 x1 x2 ? x3 x4 ,得 x3 ? x1 .因此有 x1 ? x3 ? 0 ? x2 ? x4 .
原不等式等价于 f ( x).g ( x) ? 0 ,由数轴标根法,得原不等式解为 ( x1 , x3 ) ? ( x2 , x4 ) ,区 间长度之和为 x4 ? x2 ? x3 ? x1 ? ( x3 ? x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 4a ? 7 .

x1

x3

0

x2

x4

由题设 a ? 4a ? 7 ? 4 ? a ? 3或a ? 1 ,这就是 a 的取值范围.
2

说明:以上过程稍长,主要是对根的分布情况作了严格论证,解填空题,只要关键之处 能把握得准,中间过程可大大压缩. 例 10 设 a0 为常数,对任意 n ? 1 的正整数 a n ?

1 n [3 ? (?1) n ?1 .2 n ] ? (?1) n .2 n.a 0 ,且有 5

an ? an?1 ,求 a0 的取值范围.
解:由 an 的表达式,a n ? a n ?1 ? 整数 n , an ? a n?1 等价于 (?1) i)
n ?1

(据 2003 年全国高考天津卷试题改编)

2 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 .3.2 n ?1 ? (?1) n .3.2 n?1.a0 ,对于任意正 5
(1)
2k ?2

3 (5a 0 ? 1) ? ( ) n ? 2 2

3 (5a 0 ? 1) ? ( ) 2 k ?3 2 3 2 k ?3 1 3 2 k ?3 1 1 3 2 k ?3 1 ? a0 ? ( ) ? ,( ) ? 的最小值 为 单 调 增 , 因 此 此 时 a0 应 小 于 ( ) 2 5 2 5 5 2 5 1 1 2 1 ( k ? 1 )时, a 0 ? . ? ,得 a 0 ? . 3 5 3 5 3 2 k ?1 (5a 0 ? 1) ? ( ) 2 k ? 2 ii) 当 n ? 2k (k ? 1,2,...)时, (1)式即为 (?1) 2 1 3 1 1 3 1 ? a 0 ? ? ( ) 2 k ? 2 ? ,此时 a0 应大于 ? ( ) 2 k ? 2 ? 的最大值( k ? 1 )时, 5 2 5 5 2 5 1 2 0 1 a 0 ? ? ( ) ? ,即 a0 ? 0 . 5 3 5
当 n ? 2k ? 1 (k ? 1,2,...)时, (1)式即为 (?1)

1 ? 1 ?a 0 ? 对 n 取奇数或偶数时,总有 an ? a n?1 ,那么 ? 3 ? a 0 ? (0, ) . 3 ? a0 ? 0 ?

说明:由于 an 与 a n ?1 的差式中含有 (?1) n ?1 ,而 (?1) n ?1 的符号不确定,因此对 n 分奇数和 偶数讨论就是顺理成章的事,当然也是解这道题的必经之路. 例 11 解不等式 a(a ? 2x) ? 1 ? x 解:原不等式化为 一、 ?

(a ? 0)

?a ? 2 x ? 0 ? 1? x ? 0



a ? 2x ? 0 ? ? 1? x ? 0 二、 ? ?a ( a ? 2 x ) ? (1 ? x) 2 ?
[来源:Zxxk.Com]

a 1)如0 ? a ? 2, 解集为? ? ?x ? 不等式组一化为 ? ? a 2 2)如0 ? a ? 2, 解集为 ? x ? 1 ? x ?1 ? 2 a ? x? ? 2 ? 不等式组二化为 ? x ?1 ? x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? a 2 ? 0 (? ? 8a(a ? 1)) ? ?
1) ? ? 0 时,即 0 ? a ? 1 ,解集为 ? .

a ? x? ? ??0 ? 2) ? 时,原不等式二化为 ? ,由于 2 ?1 ? a ? 2 ?1 ? a ? 2a(a ? 1) ? x ? 1 ? a ? 2a(a ? 1) ?
1 ? a ? 2a(a ? 1) ? a ( a ? 2 时取等号) ,因此不等式解为 2

1 ? a ? 2a(a ? 1) ? x ? 1 ? a ? 2a(a ? 1)
3) ?

x ?1 ? ?? ? 0 时 , 原 不 等 式 二 化为 ? ,由于 ?1 ? a ? 2a (a ? 1) ? x ? 1 ? a ? 2a (a ? 1) ?a ? 2

,因此不等式解为 1 ? a ? 2a(a ? 1) ? x ? 1 . 2a(a ? 1) ? a ( a ? 2 时) 将不等式组一、二并便得原不等式解为:

0 ? a ? 1 时, x ? ? .
1 ? a ? 2 时, 1 ? a ? 2a(a ? 1) ? x ? 1 ? a ? 2a(a ? 1) .

a ? 2 时, 1 ? a ? 2a (a ? 1) ?

a . 2

说明:对含参数的不等式,除去原有的基本解法之外,还要学会讨论,讨论要把握住时 机和线索.本题就是以 a 的取值为线索,条理清楚有分有合,不重复不遗漏,步步紧扣,一气

呵成.善于讨论是学好数学的必备基本功. 例 12
b b 1. 设 a, m ? 1 , a ? b ? 0 ,证明 log a ? log a m m

2. 解不等式 log5 (1 ? 1. 证明: loga ? loga m ?
b bm

x x ) ? log16

lg b lg b ? lg m lg b(lg a ? lg m) ? lg a(lg b ? lg m) ? ? lg a lg a ? lg m lg a(lg a ? lg m)

?

m lg m(lg b ? lg a) ? 0 ,因此 log b ? log b m . a a lg a(lg a ? lg m)

2. 分析:原不等式等价于不等式 lo g (1 ? 5

x ) ? lo g4 x ,直觉告诉我们 x ? 16 时,

,画个图象试试: lo g5 (1 ? x ) ? lo g4 x .令 x ? u ( u ? 0 ) y y=log5(1+u)

0 y=log4u

4

u

据图象猜测 0 ? x ? 16 时, log5 (1 ? 解:1) 0 ? x ? 16 时, 4 ?

x ) ? log4 x .
x 1 x (1? ) 4 1 4.(1? ) 4

x ,据本题 1 所证, log4 ? log

? log5 (

x ? x) 4

? log5 (

16 ? x ) ? log5 (1 ? x ) ,因此 0 ? x ? 16 是原不等式的解. 4

2) x ? 16 时, log4 x ? log5 (1 ?

x)
m

a a x 3)x ? 16 时, x ? 4 , 据本题 1,b ? 1 时,log b ? log b m , 可得 log4 ? log

5 4? 4

5 ( x. ) 4

? log5 ( x ?

x 16 ) ? log5 ( x ? ) ? log5 (1 ? x ) . 4 4

综合 1) ,2) ,3)知,原不等式的解是 0 ? x ? 16 . 情景再现 8. 解不等式 3 loga x ? 2 ? x loga x ? 1 ( a ? 0, a ? 1 ) (1999 年全国高考试题)

x 9. 已知 c ? 0 ,设 P:函数 y ? c 在 R 上单调递减.Q:不等式 x ? | x ? 2c |? 1的解集

为 R.如果 P 和 Q 有且仅有一 个正确,求 c 的取值范围.

(2003 年全国高考试题)

10. 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 2 ,且 a n ?1 ?

2a n ? 1 ( n ? z? ) ,求使不等式 3

| an?1 ? an |? 10?9 成立的最小正整数 n . (2005 年上海 TI 杯高二年级数学奥林匹克)
习题一 A类 1. 解不等式

1 ?x x

2. 设集合 A ? {x || x ? a |? 2} , B ? {x | 围.

2x ? 1 ? 1} ,若 A ? B ,求实数 a 的取值范 x?2
(1999 年上海高考试题)

3. 解不等式 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) B类 4. 已知 a ? 0, a ? 1 ,试求使方程 loga ( x ? ak) ? loga2 ( x ? a ) 有解的 k 的取值范围.
2 2

(1989 年全国高考试题) 5. 解不等式

x 1? x2

?

1? x2 ?0 1? x2

6. 设 f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3 x ? ... ? (n ? 1) x ? n x .a ,其中 a 是实数,n 是任意给定的自然 n

数,且 n ? 2 .如果 f (x) 当 x ? (??,1] 时有意义,求 a 的取值范围. (1990 年全国高考试题) 7. 已知对实数 a,b,不等式 a cos x ? b cos 3x ? 1 无解,求证 | b |? 1 .

8.

x ? R ,解不等式

| x ? 4 | ? | x ?1| | x ? 3 | ? | x ? 2 | ? | x ?3| ?| x ?2| | x?4|
(2000 年莫斯科大学数力系入学试题)

9. 解不等式 2 5.6 x ? 2.9 x ? 3.4 x ? 3x ? 2 x?1 C类
x x 10. 解不等式 log 4 x 2 . log 8 x 2 ? 1
2 4

11. 已知 x ? (1,2) 总满足关于 x 的不等式

lg 2ax ? 1,求实数 a 的取值范围. ? lg( a ? x)

12. 关于 x 的不等式 ax ? a 2 ? x ? 3a ( a ? 0 )在 [?4,?3] 上恒成立,求实数 a 的取 值范围.

本节情景再现解答 1. 原不等式化为 ?

? x 2 ( x ? 1)( 2 ? x ? x 2 ) ? 0 ? 2 ? x ? x2 ? 0

? x 2 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ?? x ? ?1且x ? 2 ?

-1

0

1

2

原不等式解集为 {x | x ? 0或x ? ?1或1 ? x ? 2}

a?x?0 ? ?a?x?0 ? a ? 2x ? 0 2. 原不等式化为 ? (1)或 ? (2) , ?a ? 2 x ? 0 ?a ( a ? x ) ? ( a ? 2 x ) 2 ?
对于(1)解得 3. 价于 ?

a a ? x ? a ,对于(2)解得 0 ? x ? ,因此原不等式解集为 {x | 0 ? x ? a} 2 2

, x 2 ? 1 ? 1 ? ax ,由此得 ax ? 0 (已知常数 a ? 0 ) 1 ? ax ? 0 ,所以原不等式等

x?0 ? x 2 ? 1 ? (1 ? ax ) 2 ? ?? 2 ,所以当 0 ? a ? 1 时,所给不等式的解集为 x?0 ?(a ? 1) x ? 2a ? 0 ?

2a } ;当 a ? 1 时,所给不等式的解集为 {x | x ? 0} 1? a2 1 x 2 x 1 1 2 1 4. 原不 等式化为 ( ) ? ( ) ? 1 ,当 x ? 1 时, ( ) ? ( ) ? 1 ,所以 x ? 1 不是不等式 3 3 3 3 1 x 1 1 2 x 2 1 1 x 2 x 1 2 的解. x ? 1 时, ( ) ? ( ) , ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? (? 1) ,因此 x ? 1 也不 3 3 3 3 3 3 3 3 1 x 1 1 2 x 2 1 1 x 2 x x x 是不等式的解.x ? 1 时,( ) ? ( ) ,( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? 1 , 也就是 1 ? 2 ? 3 , 3 3 3 3 3 3 因此原不等式的解为 x ? 1 {x | 0 ? x ?
5. 据已知 a
2x

? 2(ab) x ? b 2 x ? 1 ? 1 ? a 2 x ? 2.a x .b x ? b 2 x ? 0 ?

a a a a a ( ) 2 x ? ( ) x .2 ? 1 ? 0 ? [( ) x ? 1 ? 2 ].[( ) x ? 1 ? 2 ] ? 0 ? ( ) x ? 2 ? 1 b b b b b
1 0 当 a ? b 时,解为 x ? R . 2 0 当 a ? b 时,解为 x ? log a ( 2 ? 1) .
b

3 当 a ? b 时,解为 x ? log a ( 2 ? 1) .
0
b

6. 原问题化为解不等式组 ?

?2 ? log1 x ? 0 ? ? ? t an x ? 0
2

0? x?4 ? ? ? ,所以函数 y ?? ?k? ? x ? k? ? 2 , k ? z ?

的定义域为 (0,

?
2

) ? [? ,4]

7. 1) x ? R , x 2 ?| x | 2 ,由原不等式分解可得 (| x | ?3)(| x | 2 ? | x | ?1) ? 0 ,由此得所 求不等式解集为 (?3,

1? 5 5 ?1 )?( ,3) 2 2

? ? x?0 ? x?0 ?2 ? x 3 ? x ? ? 2)原不等式化为 ? ? ? ? x ? 0 ? 0 ? x ? 6 ,此即原不等式的解. ?2 ? x 3 ? x ?x 2 ? 6 ? 0 2? x x?3 ? ? ? ?2 ? x x ? 3 ?
? x 2 ? 2x ? 3 ? x ? 1 ?1 ? x ? 2 ?? ? 1 ? x ? 2 ,因此原不等式的 3)原不等式化为 ? 2 ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) ? x ? R
解集为 {x | 1 ? x ? 2}

2 ? loga x ? ? 3 3 loga x ? 2 ? 0 ? ? 1 ? ? 2 loga x ? 1 ? 0 ?? loga x ? 8. 原不等式等价于 ? 2 ?3 log x ? 2 ? (2 log x ? 1) 2 ? 3 a a ? ?loga x ? 或 loga x ? 1 ? 4 ?
2 3

当 a ? 1 时,得所求解是 {x | a 3 ? x ? a 4 } ? {x | x ? a} 当 0 ? a ? 1 时,得所求解是 {x | a ? x ? a } ? {x | 0 ? x ? a}
x 9. 函 数 y ? c 单 调 减 ? 0 ? c ? 1 , 不 等 式 x ? | x ? 2c |? 1 的 解 集 为 R ? 函 数

3 4

2 3

?2 x ? c ( x ? 2c) y ? x? | x ? 2c | 在 R 上 恒 大 于 1 . 因 为 x? | x ? 2c |? ? ,所以 ? 2c ( x ? 2c)
1 1 . 如果 P 正确 , Q 不正确 , 0 ? c ? . 且 则 如 m i n 2 2 1 果 P 不正确,且 Q 正确,则 c ? 1 .所以 c 的取值范围是 (0, ] ? [1,?? ) ,本题也可以使用图 2

x? | x ? 2c | ? 2c ,于是应有 2c ? 1 ? c ?

象法. 10. 容易求得该数列的通项公式为 a n ? 1 ? ( )

2 3

n ?1

,| ( ) ? ( )
n

2 3

2 3

n ?1

|? 10 ?9 ?

1 2 n?1 2 9 ? lg 3 ( ) ? 10?9 ? (n ? 1) lg ? ?9 ? lg 3 ? n ? 1 ? ? n ? 49 ? 4 ,所以所求最小 3 3 3 lg 3 ? lg 2
正整数 n ? 50

本节习题解答 1. 原不等式等价于

x2 ?1 ? 0 ? x( x ? 1)(x ? 1) ? 0 ,得 x ? ?1或0 ? x ? 1 x
2x ? 1 ?1 x?2

2. 由 | x ? a |? 2 得 a ? 2 ? x ? a ? 2 ,所以 A ? ?x | a ? 2 ? x ? a ? 2} ,由 得, B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,因为 A ? B ,所以 ? 3. 图象法, y ? ( x ? 1)(3 ? x) 及 y ? a ? x y y y

?a ? 2 ? ?2 ,于是 0 ? a ? 1 ? a?2?3

0

1

3 x

0

1

3 x

0

1

3 x

y

y

0

1

3 x

0

1

3 x

a ? 1 时,无解. 1 ? a ? 3 时,解为

5 ? 13 ? 4a ? x ? a . a ? 3 时,解为 2 ? x ? 3 . 2

3?a?

13 13 5 ? 13 ? 4a 5 ? 13 ? 4a ?x? 时,解为 . a? 时,无解. 4 4 2 2

?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 ?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 (1) ? x ? ak ? 0 ?? 4. 原方程的解 x 应满足 ? ,由(1)得 x ? ak ? 0 (2) 2 2 ? ? x ?a ?0 ?

2kx ? a(1 ? k 2 ) , k ? 0 时无解. k ? 0 时,解为 x ?

a(1 ? k 2 ) ,将此代入(2)得, 2k

a(1 ? k 2 ) 1? k 2 k 2 ?1 ? ak ? 0 ? ?k ?0? ? 0 ? k ? ?1或0 ? k ? 1 . 即 当 k 在 集 合 2k 2k k
(??,?1) ? (0,1) 内取值时,原方程有解.
5. 解法一:原不等式化为 x 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

x?0 ? ? ?1 ? x ? 0 3 ? ? 2 3 ?? x ?1 ? 0 ?? 3 ?x?0 1)如 x ? 0 ,则有 ? ? ?x? 3 ?(1 ? x 2 ) 2 ? x 2 (1 ? x 2 ) ? 3 3 ? ? x?0 ? ? x?0 ? 2 2)如 x ? 0 ,则有 ? 2 或 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? 0 .综合 1) ,2)得原不等式的解 ? x ? 1 ? 0 ? x 2 (1 ? x 2 ) ? 0 ?
为x??

3 . 3

解法二:三角代换,令 x ? tan ? ,? ? (?

? ?

, ) ,原不等式化为 2 sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? 0 2 2

1 ? ? 3 3 ? sin ? ? ? , (? ? ? ? ) ? tan? ? ? ,即 x ? ? . 2 6 2 3 3
6.

f (x) 当 x ? (??,1] 时 有 意 义 的 条 件 是 1 ? 2 x ? 3x ? ... ? (n ? 1) x ? n x .a ? 0 , 即

k 1 2 n ?1 x a ? ?[( ) x ? ( ) x ? . . . ( ? ) ,n ? 2 ,? ( ) x 在 (??,1] 上都是增函数, 从而它在 x ? 1 时 n n n n 1 2 n ?1 1 1 ) ? ? (n ? 1) ,因此 a ? ? ( n ? 1) 就是 a 的取值范围. 取得最大值 ? ( ? ? ... ? n n n 2 2 ? 2? 7. 依题意,对任意实数 a, b, x 均有 a cos x ? b cos 3x ? 1 ,取特殊值 x ? 0, ? , , ,依 3 3 ? a ?b ?1 ?? a ? b ? 1 ? a ??1 ? a ? b ? 1 ? ?1 ? a ? b ? 1 ? ? a ? 次有 ? ? b ? 1 ? ? , 相加得 ? 3 ? 3b ? 3 , | b |? 1 . 即 ? 1 ? ? b ? 1 ?? 2 ? 2b ? a ? 2 2 ? ? ? 2 ? ?? a ? b ? 1 ? 2 ?

| x ? 3 |?| x ? 2 | ? ? x?4 8. 原不等式化为 ? (1) ?( x ? 4) 2 ? | x ? 1 | . | x ? 4 |? ( x ? 3) 2 ? ( x ? 2) 2 ? | x ? 3 |?| x ? 2 | ? ? x?4 或? (2) ?( x ? 4) 2 ? | x 2 ? 5 x ? 4 |? ( x ? 3) 2 ? ( x ? 2) 2 ?
不等式组(1)无解,不等式组(2)的解为 3 ? x ? 4 或 4 ? x ? 7 .综 上,原不等式的解为

{x | 3 ? x ? 4或4 ? x ? 7}

? x 3 x x x ? 5.6 x ? 2.9 x ? 3.4 x ? 0 ?(3 ? 2 .2 )(3 ? 2 ) ? 0 ? ? 9. 原不等式化为 ? 2.2 x ? 3 x ?? 3 x ? 2.2 x ?(2 x ?1 ? 3 x ) 2 ? 4(5.6 x ? 2.9 x ? 3.4 x ) ? (3.3 x ? 4.2 x ) 2 ? 0 ? ? ?

3 ? x ? 0 ? x ?1 ?2 ? 3 x ? .2 x ? ?? ? ? x ? log 4 ,因此原不等式的解为 2 3 ? 3.3 x ? 4.2 x ? 3 2 ? ?
4 {x | 0 ? x ? 1且x ? log 3 } 3 2
10. 令 | x |? u ,原不等式化为 log2u u.(2 log2
2u

u) ? 1 ?
?0?

2 lg u. lg u (lg u ? lg 2)(lg u ? lg 2 2 )

?1?

(lg u ? 3 lg 2)(lg u ? lg 2) (lg u ? lg 2)(lg u ? lg 2 2 )

lg(2 2 ) ?1 ? lg u ? lg 2 ?1 或 ? lg 2 ? lg u ? 3 lg 2 ?

2 1 2 ?| x |? 或 ?| x |? 8 ,因此原 4 2 2

不等式解为 {x | ?

1 2 2 1 2 2 ?x?? 或 ?x? 或 ? x ? 8或 ? 8 ? x ? ? } . 2 4 4 2 2 2

11. x ? (1,2) , 2ax ? 0 ,所以 a ? 0, a ? x ? 1 ,因此原不等式化为 lg 2ax ? lg(a ? x)

? 2ax ? a ? x ,即 a ?

x ? 2x ? 1

1 2? 1 x

,在 x ? (1,2) 上恒成立,而

2 ? 3

1 2? 1 x

? 1 ,因此 a 的

取值范围为 0 ? a ?

2 . 3
2

x ? 3a ? 0 ? ? ax ? a 2 ? 0 12. 先求出不等式的解 ax ? a ? x ? 3a (a ? 0) ? ? ,解此 ?ax ? a 2 ? x 2 ? 6ax ? 9a 2 ?
不等式得: a ? 0 时, 当 不等式的解为 (5a,??) ; a ? 0 时, 当 不等式的解为 (2a, a] . a ? 0 当 时,原不等式在[-4,-3]上不成立;当 a ? 0 时, a 满足的充要条件为 [?4,?3] ? (2a, a]

?2a ? ?4 ?? ? ?3 ? a ? ?2 ,这就是所求的取值范围. ? a ? ?3


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