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3.1.2均值不等式(1)


3.2 均值不等式

重要不等式: 如果a,b∈ R, 那么a2+b2≥2ab
(当且仅当a=b 时取“=”) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2
当a ? b时, ( a ? b) ? 0 ? ?? 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0?
2

a ? b ? 2ab
2 2

1.指出定理适用范围: 2.强调取“=”的条件:

a, b ? R

a?b

如果a, 均值不等式:

a?b + b∈R ,那么 2

? ab

(当且仅当a=b时,式中等号成立)
2 2 证明: ∵ ( a ) ? ( b) ? 2 a b

∴a ? b ? 2 ab
a?b ? ab 即: 2
a?b ? ab 当且仅当a=b时 2

a?b 为a,b 的算术平均数, 称 2 称 ab 为a,b 的几何平均数。

注意1.适用的范围:a, b 为非负数.
2.语言表述:两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
a?b 3.我们把不等式 ? ab (a≥0,b≥0) 2

称为基本不等式

几何直观解释: 令正数a,b为两条线段的长,用几何作图
a?b 的方法,作出长度为 和 2

ab

的两条线段,然后比较这两条线段的长。 具体作图如下: (1)作线段AB=a+b,使AD=a,DB=b, (2)以AB为直径作半圆O; (3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C

(4)连接AC,BC,CA,则

a?b OC ? 2

CD ? ab
当a≠b时,OC>CD,即 当a=b时,OC=CD,即
a?b ? ab 2
A

a?b ? ab 2 C
a+b 2 ab

aO

D

b

B

a?b 把 2 看做两个正数a,b 的等差中项, ab 看做正数a,b的等比中项,

那么上面不等式可以叙述为:
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。

b a 例1、已知ab>0,求证: ? ? 2 a b

并推导出式中等号成立的条件。
b a b a ? ?2 ? ?2 a b a b b a 当且仅当 ? ,即a 2 =b 2时等号成立 a b

a b 证明:因为ab ? 0, 所以 ? 0, ? 0 b a

因为ab ? 0, 所以式中等号成立的条件是a ? b

练习1、已知 a, b ? R ,求证

?

1 1 ( a ? )(b ? ) ? 4 a b

? a , b ? R 练习2已知 ,求证: ab ? 4a ? b ? 4 ? 8 ab

证明:
(a ?1)b ? 4(a ?1) ? (a ?1)(b ? 4) ? 2 a ? 2 4b ? 8 ab

当且仅当

a ? 1, b ? 4

取 “=”

例2、(1)一个矩形的面积为100m2.问这个 矩形的长、宽各为多少时,矩形周长最短? 最短周长是多少?

(2)已知矩形的周长为36m,问这个矩形 的长、宽各为多少时,它的面积最大? 最大面积是多少?

练习1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小 值,并说明此时x,y的值.

解: 4x ? 6 y ? 2 4x ? 6 y ? 2 24 ? 24 ? 48
当且仅当 4x ? 6 y 时等号成立

又xy ? 24, x ? 0, y ? 0 所以x ? 6, y ? 4
此时4 x ? 6 y的最小值为48

练习2.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值. 8

练3:设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿对角线AC 对折,折过去后,AB交DC于点P,设AB=x,求?ADP的最大 面积以及相应的x的值。

DP ? a, PC ? AP ? x ? a
? AD ? 12 ? x,?(12 ? x) ? a ? ( x ? a)
2 2 2

B

D

P

C

72 1 72 ? a ? 12 ? S ?ADP ? ? (12 ? x) ? (12 ? ) 2 x x

A

? x ? 6 2, ?ADP 的最大面积为108 ? 72 2

72 ? 108 ? 6( x ? ) ? 108 ? 72 2 x


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