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江苏省淮安市清江中学2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷


2014-2015 学年江苏省淮安市清江中学高二 (上) 10 月月考数学 试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 6 分,满分 84 分) 1.在△ABC 中,已知 a=3,b=4,sinB= ,则 sinA= .

2.已知数列{an}的首项 a1=1,且 an=2an﹣1+1(n≥2) ,则 a5 等于 3.在△ABC 中,a=6,B=30°

,C=120°,则△ABC 的面积是 4.等差数列{an}中,a2=﹣5,d=3,则 a1 为 . .



5.在△ABC 中,如果(a+b+c) ?(b+c﹣a)=3bc,则角 A 等于 6.等差数列{an}中,a3=50,a5=30,则 a7= .



7. 已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a﹣1, a+1, 2a+3, 则此数列的通项 an 为 8.在△ABC 中, ,则∠B= .



9.在﹣1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则 a= 10.在△ABC 中,若 ,则最大角的余弦值等于

. . . .

11.在△ABC 中,a=5,B=105°,C=15°,则此三角形的最大边的长为 12.数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ }是等差数列,则 a11=

13.在△ABC 中,已知 b=3,c=3

,则 a= .



14.在△ABC 中,a+b=12,A=60°,B=45°,则 a=

二、解答题. (14+15+15+15+17=76 分) 15.在△ABC 中,A=30°,C=105°,a=10,求 b,c. 16.在△ABC 中, (1)已知 A=60°,b=4,c=7,求 a;

(2)已知 a=7,b=5,c=3,求 A. 17.在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求 a20,an. 18.根据下列条件解三角形:c= ,A=45°,a=2. ,求:

19.在四边形 ABCD 中,∠ADB=∠BCD=75°,∠ACB=∠BDC=45°,DC= (1)AB 的长 (2)四边形 ABCD 的面积.

2014-2015 学年江苏省淮安市清江中学高二(上)10 月 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 6 分,满分 84 分) 1.在△ABC 中,已知 a=3,b=4,sinB= ,则 sinA= .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理列出关系式,把 a,b,sinB 的值代入即可求出 sinA 的值.
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解答: 解:∵在△ABC 中,a=3,b=4,sinB= ,

∴由正弦定理 故答案为:

=

得:sinA=

=

= .

点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 2.已知数列{an}的首项 a1=1,且 an=2an﹣1+1(n≥2) ,则 a5 等于 31 . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 在递推公式中,令 n=2,求出 a2,令 n=3,得 a3,令 n=4,得 a4,令 n=5,得 a5 解答: 解:在 an=2an﹣1+1 中, 令 n=2,得 a2=2a1+1=3, 令 n=3,得 a3=2a2+1=7, 令 n=4,得 a4=2a3+1=15, 令 n=5,得 a5=2a4+1=31, 故答案为:31 点评: 本题考查数列递推公式的简单直接应用,属于基础题. 3.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积是 9 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 B 与 C 的度数求出 A 的度数,确定出 sinA 的值,再由 sinB 以及 a 的值,利用正 弦定理求出 b 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解:∵在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,即 A=30°,

∴由正弦定理

=

得:b=

=6,

则 S△ABC= absinC=9



故答案为:9 . 点评: 此题考查了正弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 4.等差数列{an}中,a2=﹣5,d=3,则 a1 为 ﹣8 . 考点: 等差数列. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的通项公式和已知数据可得. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a2=﹣5,d=3, ∴a1+d=a2,代值可得 a1+3=﹣5, 解得 a1=﹣8 故答案为:﹣8 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 5.在△ABC 中,如果(a+b+c) ?(b+c﹣a)=3bc,则角 A 等于 60° . 考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 首先对(a+b+c) ?(b+c﹣a)=3bc 化简整理得 b +c +﹣a =bc 代入余弦定理中即可求 得 cosA,进而求得答案. 解答: 解: (a+b+c) ?(b+c﹣a)=(b+c) ﹣a =b +c +2bc﹣a =3bc 2 2 2 ∴b +c +﹣a =bc ∴cosA= ∴∠A=60° 故答案为 60° 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是求得 b +c +﹣a 与 bc 的关系. 6.等差数列{an}中,a3=50,a5=30,则 a7= 10 . 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知求出等差数列的公差,代入等差数列的通项公式得答案. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 a3=50,a5=30,得 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

∴a7=a5+2d=30﹣20=10. 故答案为:10. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,是基础的计算题. 7.已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a﹣1,a+1,2a+3,则此数列的通项 an 为 2n﹣3 . 考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 a﹣1,a+1,2a+3 为等差数列{an}的前 3 项,利用等差数列的性质列出关于 a 的 方程,求出方程的解得到 a 的值,进而确定出此数列的首项及公差,根据首项与公差写出等 差数列的通项公式即可. 解答: 解:∵a﹣1,a+1,2a+3 为等差数列{an}的前 3 项, ∴2(a+1)=(a﹣1)+(2a+3) ,解得:a=0, ∴等差数列{an}的前 3 项依次为﹣1,1,3, ∴此等差数列的公差 d=1﹣(﹣1)=2,首项为﹣1, 则此数列的通项 an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3. 故答案为:2n﹣3 点评: 此题考查了等差数列的性质,以及等差数列的通项公式,熟练掌握性质及公式是解 本题的关键.

8.在△ABC 中,

,则∠B= 45° .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理可知 sinB=cosB,进而求得 B. 解答: 解:由正弦定理可知 ∵ ∴ ∴sinB=cosB ∴B=45° 故答案为 45° 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题. 9.在﹣1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则 a= 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 . , ,进而根据题设条件可知 ,推断出

分析: 在﹣1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,即﹣1,a,b,8 成等差 数列,利用等差数列的性质列出关于 a 与 b 的方程组,求出方程组的解集即可得到 a 与 b 的值. 解答: 解:根据题意得:﹣1,a,b,8 成等差数列, ∴2a=﹣1+b①,2b=a+8②, 由①得:b=2a+1, 将 b=2a+1 代入②得:2(2a+1)=a+8,即 3a=6, 解得:a=2, 将 a=2 代入得:b=2a+1=5, 则 a=2,b=5. 故答案为:2. 点评: 此题考查了等差数列的性质,利用了方程的思想,熟练掌握等差数列的性质是解本 题的关键.

10.在△ABC 中,若

,则最大角的余弦值等于 ﹣



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据已知比值设出 a,b,c,利用大边对大角得到 C 为最大角,利用余弦定理表示 出 cosC,将设出的三边长代入求出 cosC 的值即可. 解答: 解:根据题意设 a=k,b=2k,c= k, ∴最大角为 C, 利用余弦定理得:cosC= = =﹣ ,

则最大角的余弦值为﹣ . 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

11. 在△ABC 中, a=5, B=105°, C=15°, 则此三角形的最大边的长为



考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由三角形内角和定理,算出 A=180°﹣B﹣C=60°,再根据正弦定理 式子,算出 b= ,结合 B 为钝角,可得此三角形的最大边的长. 的

解答: 解:∵△ABC 中,B=105°,C=15°, ∴A=180°﹣105°﹣15°=60°

根据正弦定理

,得

∴b=

=

=

由于 B 为最大角,所以最大边长为 b= 故答案为: 点评: 本题给出三角形的两个角和一条边,求最大边长.着重考查了三角形内角和定理和 正弦定理等知识,属于基础题. 12.数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ }是等差数列,则 a11= .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先有条件求得 解答: 解:∵数列{ ∴ + =1,∴ 和 的值,再根据 = , + = = ,且 ,求得 a11 的值. + = ,

}是等差数列,

= ,∴a11 +1= ,∴a11= .

故答案为: . 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,得到 属于中档题. 13.在△ABC 中,已知 b=3,c=3 ,则 a= 6 . + = ,是解题的关键,

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 首先根据正弦定理得出 sinC 的值进而根据特殊角的三角函数值求出 C 的值, 从而得 出角 A 为直角,再根据勾股定理求出求出 a 的值. 解答: 解:根据正弦定理得

∴sinC=

=

=

∵C∈(0,π) ∠C=60° ∴∠A=90°

∴a =b +c ∴a=6 故答案为 6. 点评: 本题考查了正弦定理以及勾股定理,解题的关键是求出角 A 的值,属于中档题. 14.在△ABC 中,a+b=12,A=60°,B=45°,则 a= 36﹣12 .

2

2

2

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 a+b=12,得到 b=12﹣a,再由 sinA 与 sinB 的值,利用正弦定理列出关系式,即 可求出 a 的值. 解答: 解:∵在△ABC 中,a+b=12,即 b=12﹣a,A=60°,B=45°,

∴由正弦定理

=

得:a=

=



解得:a=36﹣12 , 故答案为:36﹣12 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 二、解答题. (14+15+15+15+17=76 分) 15.在△ABC 中,A=30°,C=105°,a=10,求 b,c. 考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由 A 与 C 的度数求出 B 的度数,再由正弦定理即可求出 b,c 的值. 解答: 解:∵A=30°,C=105°, ∴B=45°, ∵ ∴b= =10 , ,c= =5 +5 .

点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 16.在△ABC 中, (1)已知 A=60°,b=4,c=7,求 a; (2)已知 a=7,b=5,c=3,求 A. 考点: 余弦定理;解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)利用已知的两边和其夹角,利用余弦定理求得 a 的值; (2)在△ABC 中,由 a=7,b=5,c=3,利用余弦定理可得 cosA=的值,从而得到 A 的值. 解答: 解: (1)∵A=60°,b=4,c=7, ∴a= =

(2)∵a=7,b=5,c=3, ∴cosA= ∴ 点评: 本题考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,正确运用余弦定理是关键. 17.在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求 a20,an. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接由已知利用等差数列的通项公式列方程组求解首项和公差,然后代入等差数列 的通项公式得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中, 由 a5=10,a12=31,得 ,解得: , =﹣ ,

∴an=a1+(n﹣1)d=3n﹣5. a20=a1+19d=55. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,是基础的计算题. 18.根据下列条件解三角形:c= ,A=45°,a=2.

考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据正弦定理,结合三角形的边角关系即可求出三角形的内角和边长.

解答: 解:∵ ∴C=60°或 120°,

,∴sinC=

=



当 C=60°时,B=180°﹣A﹣C=75°,b=

=

=

1;

当 C=120°时,B=180°﹣A﹣C=15°,b=

=

=

﹣1.

故 b= 1,C=60°,B=75°,或 b= ﹣1,C=120°,B=15°. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,利用正弦定理是解决本题的关键. 19.在四边形 ABCD 中,∠ADB=∠BCD=75°,∠ACB=∠BDC=45°,DC= (1)AB 的长 ,求:

(2)四边形 ABCD 的面积.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由∠BCD﹣∠ACB 求出∠ACD 度数,再由∠BDC 度数求出∠DAC 度数,进而得到 ∠ACD=∠DAC,利用等角对等边得到 AD=DC= ,在三角形 BCD 中,求出∠CBD 的度数,利用 正弦定理列出关系式,求出 BD 的长,在三角形 ABD 中,利用余弦定理即可求出 AB 的长; (2)利用三角形面积公式分别求出三角形 ABD 与三角形 BCD 面积,之和即为四边形 ABCD 面积. 解答: 解(1)∵∠BCD=75°,∠ACB=45°, ∴∠ACD=30°, 又∵∠BDC=45°, ∴∠DAC=180°﹣(75°+45°+30°)=30°, ∴AD=DC= , 在△BCD 中,∠CBD=180°﹣(75°+45°)=60°, 由正弦定理得: ∴BD= = = ,
2 2 2

,即

=



在△ABD 中,由余弦定理得:AB =AD +BD ﹣2×AD×BD×cos75°=5, ∴AB= ; (2)由题意得:S△ABD= ×AD×BD×sin75°= 则四边形 ABCD 的面积 S=S△ABD+S△BCD= . ,S△BCD= ×CD×BC×sin75°= ,

点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解 本题的关键.


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