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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第3章 三角函数、解三角形3 Word版含解析]


[命题报告· 教师用书独具] 考查知识点及角 度 定义域、 值域问题 奇偶性、周期性 单调性 一、选择题 1.已知函数 f(x)=sin x 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 a+b cos 2 的值为( A.0 C.1 ) 2 B. 2 D.-1 2 1、3 基础 题号及难度 中档 4、10、12 5、6、7、8 11 9 稍难

/>a+b π π? ? 解析: 因为由题易知[a, b]=?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z), 所以 cos 2 =cos2kπ ? ? =1. 答案:C 2.(2013 年蓬莱模拟)已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与 直线 y=2 的交点的横坐标为 x1,x2,若|x1-x2|的最小值为 π,则( π A.ω=2,θ=2 1 π C.ω=2,θ=4 1 π B.ω=2,θ=2 π D.ω=2,θ=4 )

π 解析: y=2sin(ωx+θ)为偶函数且 0<θ<π, 则 y=2cos ωx, θ=2, 所以 y=2cos ωx,y∈[-2,2].故 y=2 与 y=2cos ωx 的交点为最高点,于是最小正周期为 π. 2π 所以 ω =π,所以 ω=2,故选 A. 答案:A

1 3.(2013 年惠州模拟)函数 y=log2(cos x)的一个单调递减区间是( A.(-π,0) π? ? C.?0,2? ? ? B.(0,π) ? π ? D.?-2,0? ? ?

)

1 解析:由题易知 cos x>0,当函数 μ=cos x 为增函数时,函数 y=log2(cos x) 1 ? π ? 为减函数,则函数 y=log2(cos x)的单调递减区间为?-2+2kπ,2kπ?(k∈Z),结 ? ? 合选项可知选 D. 答案:D 4.M,N 是曲线 y=πsin x 与曲线 y=πcos x 的两个不同的交点,则|MN|的最 小值为( A.π C. 3π ) B. 2π D.2π

解析:本题是三角函数的最值问题.两函数的图象如图所示,则图中 |MN| π 5 最小,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1=4,x2=4π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsin x1 2 2 -πcos x2|= 2 π+ 2 π= 2π, ∴|MN|= π2+2π2= 3π.选 C.

答案:C 5. (2013 年北京海淀模拟)已知函数 f(x)=cos2x+sin x, 那么下列命题中是假 命题的是( )

A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 B.f(x)在[-π,0]上恰有一个零点 C.f(x)是周期函数 ?π 5 ? D.f(x)在?2,6π?上是增函数 ? ?

?π? ? π? 解析:∵f?2?=1,f?-2?=-1,即 f(-x)≠f(x), ? ? ? ? ∴f(x)不是偶函数.∵x∈R,f(0)=1≠0,∴f(x)不是奇函数,故 A 为真命题; 令 f(x)=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x=0,则 sin2x-sin x-1=0,解得 sin x= 1- 5 1± 5 2 ,当 x∈[-π,0]时,sin x= 2 ,由正弦函数图象可知函数 f(x)在[-π, 0]上有两个零点,故 B 为假命题;∵f(x)=f(x+2π),∴T=2π,故函数 f(x)为周期 函数,C 为真命题;∵f′(x)=2cos x· (-sin x)+cos x=cos x· (1-2sin x),当 x∈ 1 ?π 5π? ?π 5 ? ?2, 6 ?时,cos x<0, <sin x<1,∴f′(x)=cos x· ?2,6π?上 (1 - 2sin x )>0 ,∴ f ( x ) 在 2 ? ? ? ? 是增函数,D 为真命题.故选 B. 答案:B 二、填空题 nπ 6.已知 f(n)=sin 3 (n∈N*),则 f(1)+f(2)+…+f(2 012)=________. π 3 2π 3 4π 解析: 由题意知 f(1)=sin3= 2 , f(2)=sin 3 = 2 , f(3)=sin π=0, f(4)=sin 3 =- 3 5π 3 7π π 3 ,f(5)=sin =- ,f(6)=sin 2π=0,f(7)=sin =sin = …由此可得 2 3 2 3 3 2

函数 f(n)的周期 T=6, 所以 f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335×[f(1)+f(2)+…+f(6)] +f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)= 3. 答案: 3 7 . 函 数 f(x) = sin πx + cos πx + |sin πx - cos πx| 对 任 意 的 x ∈ R 都 有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为________. 解析:依题意得,当 sin πx≥cos πx 时,f(x)=2sin πx;当 sin πx<cos πx 时, f(x)=2cos πx.由已知可知 f(x1),f(x2)分别是函数 f(x)的最小值与最大值,结合函数 3 y=f(x)的图象可知,|x2-x1|的最小值是4. 3 答案:4 8.已知直线 y=b(b>0)与曲线 f(x)=sin x 在 y 轴右侧依次的三个交点的横坐 标 x1,x2,x3 成等比数列,则 b 的值为________.
2 解析:依题意得,x2=π-x1,x3=2π+x1,∵x2 =x3x1,∴(π-x1)2=x1·(2π+

π π 2 x1),解得 x1=4,∴b=sin4= 2 . 2 答案: 2 ?π ? 9.(2013 年苏州模拟)有一种波,其波形为函数 y=sin?2x?的图象,若在区间 ? ? [0,t]上至少有两个波峰(图象的最高点),则正数 t 的最小值是________. 5 5 2π 解析:设函数的周期为 T,则由题意知4T≤t,即4× π ≤t,解得 t≥5. 2 答案:5 三、解答题 10.函数 f(x)=cos x+2|cos x|在[0,2π]上与直线 y=m 有且仅有 2 个交点,求 m 的取值范围. π? ?3 ? ? 0 , ? ? 3cos x , x ∈ ∪? π,2π?, ? 2? ? ? ?2 ? 解析:f(x)=? ?π 3 ? , π?, ? ?-cos x,x∈? ?2 2 ? 如图:

由图可知:当 m=0 或 1<m≤3 时,直线 y=m 与 f(x)的图象有且仅有 2 个交 点. 11.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x π =8. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间. π 解析:(1)∵x=8是函数 y=f(x)的图象的对称轴, π π π ? ? ∴sin?2×8+φ?=± 1.∴4+φ=kπ+2,k∈Z. ? ?

π ∴φ=kπ+4,k∈Z. 3π 又∵-π<φ<0,∴φ=- 4 . 3π? ? (2)由(1)知 y=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 由题意得 2kπ-2≤2x- 4 ≤2kπ+2,k∈Z, π 5π ∴kπ+8≤x≤kπ+ 8 ,k∈Z. 3π? ? ∴函数 y=sin?2x- 4 ?的单调递增区间为 ? ? π 5π? ? ?kπ+8,kπ+ 8 ?,k∈Z. ? ? 12.(能力提升)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x, ?π ? x∈?2,π? ? ? (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解析:(1)令 f(x)=0,得 sin x· ( 3sin x+cos x)=0, 3 所以 sin x=0 或 tan x=- 3 . 3 5π ?π ? ?π ? 由 sin x=0,x∈?2,π?,得 x=π;由 tan x=- 3 ,x∈?2,π?,得 x= 6 . ? ? ? ? 5π 综上,函数 f(x)的零点为 6 或 π. 3 1 (2)f(x)= 2 (1-cos 2x)+2sin 2x π? 3 ? =sin?2x-3?+ 2 . ? ? π ?2π 5π? ?π ? 因为 x∈?2,π?,所以 2x-3∈? 3 , 3 ?. ? ? ? ? π 2π π 所以当 2x-3= 3 ,即 x=2时,f(x)的最大值为 3; π 3π 11π 3 当 2x-3= 2 ,即 x= 12 时,f(x)的最小值为-1+ 2 .

[因材施教· 学生备选练习] 1.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分 图象如图所示,△EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f(1)的值为( )

3 A.- 2 C. 3

6 B.- 2 D.- 3

解析:因为函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是奇函数,所以 f(0)= π 3 Acos φ=0,解得 φ= .因为△EFG 是边长为 2 的等边三角形,所以 A=2× = 2 2 T 3,2=2,即 2π π π π T=4,所以 ω= 4 =2,所以 f(x)=- 3sin 2x,故 f(1)=- 3sin 2=- 3. 答案:D 1 ? π? ?π ? 2.(2013 年郑州模拟)已知曲线 y=2sin?x+4?· cos?4-x?与直线 y=2相交,若 ? ? ? ? 在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 P1,P2,P3,…,则|P→ 1P5|等于( A.π C.3π B.2π D.4π )

π ? π? ?π ? ? π? 解析:注意到 y=2sin?x+4?cos?4-x?=2sin2?x+4?=1-cos 2(x+4)=1+sin ? ? ? ? ? ? 2π 2x, 又函数 y=1+sin 2x 的最小正周期是 2 =π, 结合函数 y=1+sin 2x 的图象(如 图所示)可知,|P→ 1P5|=2π,选 B.

答案:B

? π π? 3.(2013 年保定摸底)在区间?-2,2?上随机取一个数 x,则使得 tan x∈ ? ? ? ? 3 ?- , 3?的概率为( 3 ? ? 1 A.3 1 C.2 ) 2 B.π 2 D.3

? ? 3 ? π π? 解析:区间?-2,2?的长度为 π,当 tan x∈?- , 3? ? ? ? 3 ? π ? π π? 时,x 的取值范围是?-6,3?,区间长度为2,故由几何概型的概率计算公式 ? ? 1 可得所求的概率为2. 答案:C


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