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浙江省富阳市场口中学高三数学复习练习:转化与化归思想]


一、选择题: e4 e 5 e6 1. , , (其中 e 为自然常数)的大小关系是( 16 25 36 e4 e5 e6 A. < < 16 25 36 e5 e4 e6 C. < < 25 16 36 e6 e5 e4 B. < < 36 25 16 e6 e4 e5 D. < < 36 16 25 A+B =sinC,给出以下

四个论断:① 2 )

2.在△ABC 中,已知 tan

1 tanA· =1;②0<sinA+sinB≤ 2;③sin2A+cos2B=1;④cos2A+ tanB cos2B=sin2C. 其中正确的是( A.①③ ) B.②④ C.①④ D.②③

x 2 y2 3.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,过 F1 a b 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABF2 为锐角三角 形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.( 2-1, 2+1) B.(1, 3) D.(1,1+ 2) ) )

4.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是 ( A.1 B.-1 C.2k+1 D.-2k+1 )

5.设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是( A.-2 2 B.- 5 3 3 C.-3 7 D.- 2

|a | 6. 已知非零向量 a, b, 若 a+2b 与 a-2b 互相垂直, 则 等于( |b |

)

1 A. 4

B.4

1 C. 2

D.2

二、填空题: 7.已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y +8≤0},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为________. 8.将组成篮球队的 12 名队员名额分配给 7 个学校,每校至少 1 名,不同的分配方法种类有________种. 9.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t), 那么 f(2),f(1),f(4)的大小关系是________.
? ?a,a≥b 10.对 a,b∈R,记 max{a,b}=? ,函数 f(x)=max{|x ? ?b,a<b

+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________. 三、解答题: 11.

四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示. (1)在四棱锥中,E 为线段 PD 的中点,求证:PB∥平面 AEC; PF (2)在四棱锥中,F 为线段 PA 上的点,且FA=λ,则 λ 为何值时, PA⊥平面 DBF?并求此时几何体 F-BDC 的体积.

? π?? ? π? ? π?? 12.已知函数 f(x)=2cos?x+3??sin?x+ 3?- 3cos?x+ 3??. ? ?? ? ? ? ??

(1)求 f(x)的值域和最小正周期; ? π? (2)若对任意 x∈?0,6?,使得 m[f?x?+ 3]+2=0 恒成立,求实数 ? ? m 的取值范围.

13.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0),其中 f(0)=3,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数 f(x)的解析式; (2)若 c=-6, 函数 f(x)的两个极值点为 x1, x2 满足-1<x1<1<x2<2. 设 λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数 λ 的取值范围.

1 12.(13 分)已知函数 f(x)= x3+x2-2. 3 (1)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点(an, an+1 2-2an+1)(n∈N*)在函数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (2)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题 给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. e4 e5 e6 1. , , (其中 e 为自然常数)的大小关系是( 16 25 36 e4 e5 e6 A. < < 16 25 36 e5 e4 e6 C. < < 25 16 36 e6 e5 e4 B. < < 36 25 16 e6 e4 e5 D. < < 36 16 25 )

e4 e4 e5 e 5 e6 e6 ex 解析:由于 = 2, = 2, = 2,故可构造函数 f(x)= 2,于 16 4 25 5 36 6 x e4 e5 e6 是 f (4)= ,f(5)= ,f(6)= . 16 25 36
x e· x -e · 2x e ?x -2x? ?e ? 而 f′(x)=?x2?′= = ,令 f′(x)>0 得 x<0 或 4 x x4 ? ? x 2 x x 2

e4 x>2,即函数 f(x)在(2,+∞)上单调递增,因此有 f(4)<f(5)<f(6),即 16 e5 e 6 < < ,故选 A. 25 36 答案:A 2.在△ABC 中,已知 tan A+B =sinC,给出以下四个论断:① 2

1 tanA· =1;②0<sinA+sinB≤ 2;③sin2A+cos2B=1;④cos2A+ tanB cos2B=sin2C. 其中正确的是( A.①③ C.①④ )

B.②④ D.②③

A+B C? ? 1 C - ?=sinC, 解析: 因为 tan =sinC, 所以 tan?90° = 2sin 2? C 2 2 ? tan 2

C cos , 2 C cos 2 C C 即 C =2sin cos . 2 2 sin 2 C C 1 因为 0° <C<180° ,所以 cos ≠0,则有 sin2 = , 2 2 2 2 C 即 sin = ,解得 C=90° ,则有 0° <A,B<90° . 2 2 1 1 ①tanA· =tanA· =tan2A. tanB tan?90° -A? 当 A≠45° 时,tan2A≠1.所以结论①错.②因为 0° <A,B<90° ,所 以 sinA+sinB>0.又 sinA+sinB=sinA+cosA, 而(sinA+cosA)′=cosA -sinA=0, 解得 A=45° .当 0° <A<45° 时, cosA-sinA>0; 当 45° <A<90° 时,cosA-sinA<0. 因此当 0° <A<90° 时,sinA+sinB 在 A=45° 时取到极大值,所以 sinA+sinB≤sin45° +cos45° = 2.即②正确.③sin2A+cos2B=sin2A+ sin2A = 2sin2A. 当 A≠45° 时 , sin2A + cos2B = 2sin2A≠1. 因 此 结 论 ③ 错.④cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin290° =sin2C.即④正确,故 选 B. 对于相当数量的数学问题,解答的过程都是由繁到简的转化过 程.本题是一道三角判断题,由所给的已知条件直接判断四个结论是 困难的,因此对所给已知条件进行适当的化简变形是必不可少的.通 过使用诱导公式、同角公式、倍角公式以及方程的思想,最终解得 C =90° .于是原问题等价于“在 Rt△ABC 中,C=90° ,给出以下四个论 断: ①tanA· cotB=1; ②0<sinA+sinB≤ 2; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A +cos2B=sin2C.判断其中正确的论断.”

本题是由繁到简进行等价转化的典型试题. 答案:B x 2 y2 3.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,过 F1 a b 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABF2 为锐角三角 形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(1, 3) D.(1,1+ 2)
2

)

C.( 2-1, 2+1)

? b? 解析:易求 A?-c, a ?,△ABF2 为锐角三角形,则∠AF2F1<45° ? ?

b2 即 a <2c,e2-2e-1<0,1- 2<e< 2+1,又 e>1,故 1<e<1+ 2. 答案:D 4.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( A.1 B.-1 D.-2k+1 )

C.2k+1

解析:利用换元的方法,转化为二次函数在闭区间上的最值. 答案:A 5.设 a,b∈R,a2+2b2=6,则 a+b 的最小值是( A.-2 2 C.-3 B.- 5 3 3 )

7 D.- 2

解析:令 a= 6sinα,b= 3cosα 转化为三角函数问题. 答案:C |a | 6. 已知非零向量 a, b, 若 a+2b 与 a-2b 互相垂直, 则 等于( |b | )

1 A. 4 1 C. 2

B.4 D.2

|a | 解析:(a+2b)· (a-2b)=0?|a|=2|b|, =2. |b | 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上. 7.已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y +8≤0},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为________. 解析:由题意得 A={y|y>a2+1 或 y<a},B={y|2≤y≤4},我们不 妨先考虑当 A∩B=?时 a 的取值范围.如图:

? ?a≤2 由? 2 ? ?a +1≥4 ? ?a≤2 得? , ?a≥ 3或a≤- 3 ?

∴a≤- 3或 3≤a≤2.

即 A∩B=?时,a 的取值范围为 a≤- 3或 3≤a≤2.而 A∩B≠? 时, a 的取值范围显然是其补集,从而所求范围为 {a|a>2 或- 3

<a< 3}. 答案:{a|a>2 或- 3<a< 3} 点评:一般地,我们在解题时,若正面情形较为复杂,就可以先 考虑其反面,再利用其补集求得其解,这就是“补集思想”. 8.将组成篮球队的 12 名队员名额分配给 7 个学校,每校至少 1 名,不同的分配方法种类有________种. 解析:转化为分组问题.用隔板法共有 C6 11=462. 答案:462 9.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t), 那么 f(2),f(1),f(4)的大小关系是________. 解析:数形结合. 答案:f(2)<f(1)<f(4)
? ?a,a≥b 10.对 a,b∈R,记 max{a,b}=? ,函数 f(x)=max{|x ? ?b,a<b

+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________. 解析:转化为函数问题. 答案: 3 2

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0), 其中 f(0)=3,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数 f(x)的解析式;

(2)若 c=-6, 函数 f(x)的两个极值点为 x1, x2 满足-1<x1<1<x2<2. 设 λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数 λ 的取值范围.

解:∵f(0)=3,∴d=3. (1)据题意,f′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f′(-1)=f′(3)=-36 知 x=1 是二次函数 f′(x)图象的对称 轴, 又 f′(5)=f′(-3)=0, 故 x1=-3,x2=5 是方程 f′(x)的两根. 设 f′(x)=m(x+3)(x-5), 将 f′(-1)=-36 代入得 m=3, ∴f′(x)=3(x+3)(x-5)=3x2-6x-45, 比较系数得:a=1,b=-3,c=-45. 故 f(x)=x3-3x2-45x+3 为所求. (2)据题意,f(x)=ax3+bx2-6x+3, 则 f′(x)=3ax2+2bx-6, 又 x1,x2 是方程 f′(x)=0 的两根, 且-1<x1<1<x2<2,a>0, f′?-1?>0 ? ?f′?1?<0 则? f′?2?>0 ? ?a>0 3a-2b-6>0 ? ?3a+2b-6<0 ,即? 6a+2b-3>0 ? ?a>0

.

则点(a,b)的可行区域如图. ∵λ=(a-3)2+(b+1)2, ∴λ 的几何意义为点 P(a,b)与点 A(3,-1)的距离的平方,观察 图形易知点 A 到直线 3a+2b-6=0 的距离的平方 d2 为 λ 的最小值 d2 ?3×3-2×1-6?2 1 = = , 13 32+22
?1 ? 故 λ 的取值范围是?13,+∞?. ? ?

1 12.(13 分)已知函数 f(x)= x3+x2-2. 3 (1)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点(an, an+1 2-2an+1)(n∈N*)在函数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (2)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值. 1 解:(1)证明:∵f(x)= x3+x2-2.∴f′(x)=x2+2x, 3
* 点(an,a2 n+1-2an+1)(n∈N )在函数 y=f′(x)的图象上,

又 an>0(n∈N*),∴(an+1-an)(an+1-an-2)=0, ∴Sn=3n+ n?n-1? ×2=n2+2n, 2

又∵f′(n)=n2+2n,∴Sn=f′(n),

故点(n,Sn)也在函数 y=f′(x)的图象上. (2)f′(x)=x2+2x=x(x+2), 由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)

f′(x) f (x )



0 极大值



0 极小值



注意到|(a-1)-a|=1<2,从而 2 ①当 a-1<-2<a,即-2<a<-1,f(x)的极大值为 f(-2)=- ,此 3 时 f(x)无极小值; ②当 a-1<0<a, 即 0<a<1 时, f(x)的极小值为 f(0)=-2, 此时 f(x) 无极大值; ③当 a≤-2 或-1≤a≤0 或 a≥1 时, f(x)既无极大值又无极小值.
3.

四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示. (1)在四棱锥中,E 为线段 PD 的中点,求证:PB∥平面 AEC; PF (2)在四棱锥中,F 为线段 PA 上的点,且 =λ,则 λ 为何值时,PA⊥平面 DBF?并求此 FA 时几何体 F-BDC 的体积. 解:

(1)证明:四棱锥 P-ABCD 的直观图如图所示. 连接 AC、BD,设交点为 O,连接 OE, ∵OE 为△DPB 的中位线, ∴OE∥P B. ∵EO?平面 EAC,PB?平面 EAC,∴PB∥平面 AEC. (2)过 O 作 OF⊥PA,垂足为 F. 在 Rt△POA 中, PO=1,AO= 3,PA=2, ∵PO2=PF· PA,1=2PF, 1 3 PF 1 ∴PF= ,FA= ,λ= = . 2 2 FA 3 又∵PA⊥BD,∴PA⊥平面 BDF.

PF 1 = 时,在△PAO 中,过 F 作 FH∥PO, FA 3 3 3 则 FH⊥平面 BCD,FH= PO= . 4 4 1 S△BCD= ×2× 3= 3. 2 1 1 3 3 ∴V= S△BCD· FH= × 3× = . 3 3 4 4 π π π x+ ??sin?x+ ?- 3cos?x+ ??. 4.已知函数 f(x)=2cos? ? 3?? ? 3? ? 3?? (1)求 f(x)的值域和最小正周期; π? (2)若对任意 x∈? ?0,6?,使得 m[f?x?+ 3]+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. π π π x+ ?cos(x+ )-2 3cos2?x+ ? 解:(1)f(x)=2sin? ? 3? ? 3? 3 2 π 2 π ? ? ? ? ? =sin? ?2x+ 3 ?- 3?cos?2x+ 3 ?+1? 2π? 2π? ? =sin? ?2x+ 3 ?- 3cos?2x+ 3 ?- 3 π 2x+ ?- 3. =2sin? 3? ? π? ∵-1≤sin? ?2x+3?≤1. π? 2π ∴-2- 3≤2sin? ?2x+3?- 3≤2- 3,T= 2 =π. 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. π? π ?π 2π? (2)当 x∈? ?0,6?时,2x+3∈?3, 3 ?, π? ? 3 ? 故 sin? ?2x+3?∈? 2 ,1?, π? 此时 f(x)+ 3=2sin? ?2x+3?∈[ 3,2]. 2 由 m+2=0 知,m≠0,且 f(x)+ 3=- , m 2 + 3≤0 m 2 ∴ 3≤- ≤2,即 , m 2 +2≥0 m 当

? ? ?

2 3 解得- ≤m≤-1. 3 2 3 ?. 即实数 m 的取值范围是?- ? 3 ,-1?


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