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解析几何强化训练6


解析几何强化训练 1
2

6

已知抛物线 y =4x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点,若

线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 D(x0,0) (1)求 x0 的取值范围. 答案:由题意易得 M(-1,0) 设 过 点 M 的 直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k ≠ 0) 代 入 y =4x 得 k x +(2k -4)x+k =0 (1) 再设 A(x1,y1),B(x2,y2),
x1 ? x2 ? 4 ? 2k 2 , x1 ? x2 ? 1
2 2 2 2 2



y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

4 k

2 ? k2 2 , ). 2 k ∴AB 的中点坐标为 k ( y? 2 1 2 ? k2 ? ? (x ? ), 令y ? 0得 k k k2

那么线段 AB 的垂直平分线方程为
x? k2 ? 2 k
2

即x0 ?

k2 ? 2 k
2

? 1?
2

2 k2

.
4 2

又方程(1)中Δ =(2k -4)2-4k >0,∴0<k <1,
2

∴k

2

? 2,? x0 ?3.

(2)△ABD 能否是正三角形?若能求出 x0 的值,若不能,说明理由
3 | AB | . 2 答案:若Δ ABD 是正三角形,则有点 D 到 AB 的距离等于

16(1 ? k 2 )(1 ? k 2 ) k4

.

|AB| =(1+k )(x1-x2) =(1+k2)[(x1+x2) -4x1x2]=
| k2 ? 2 | k2 ?k ? 2k 2 ? 2 k 1? k2 2 1? k2 k

2

2

2

2

点以 AB 的距离 d=

1? k2

?

3 4(k 2 ? 1) 3 16(1 ? k 4 ) | AB |2 得 : ? ? 2 4 k2 k4 据d 4
3 2 ∴4k +k -3=0,(k +1)(4k -3)=0, ∴k = 4 ,满足 0<k <1.
4 2 2 2 2

11

∴△ABD 可以为正△,此时 x0= 3 2
2

.

经过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A、B 两点.

(1)若线段 AB 的中点为 M(x,y),直线的斜率为 A,试求点 M 的坐标,并求点 M 的轨迹 方程; 答案:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 AB 的方程为:y=k(x-1)k≠0) 把 y=k(x-1)代入 y =4x 得:
k 2 x 2 ? ( 2 k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 4
2
2

k ? x1 ? x2 k 2 ? 2 ? ?x ? 2 ? 2 k 2 ? 点M的坐标为M ( k ? 2 , 2 ) ?? k2 k y ? y2 2 ? y? 1 ? ? 2 k ?

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)

4 k

消去 k 可得点的轨迹方程为:y =2x-2(x>0)
1 (2)若直线 l 的斜率 k>2,且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为 5 ,试确定 m 的取值

2

范围.

3

在以 O 为坐标原点的直角坐标系中,已知点 T(-8,0),点 M 在 y 轴上,点 N 在 x

轴的正半轴上,且满足 TM ? MP ? 0, MP ? PN. (1)当 M 在 y 轴上移动时,求点 P 的轨迹 C; 答案:设点 P(x,y)由
??? ? ? ??? ?
MP PN

,知 P 是 M、N 中点,又 M 在 y 轴上,N 在 x 轴

正半轴上,故 M 坐标为(0,2y),N 个坐标为(2x,0).(x>0)

?? ?? ? (8,2 y ), ?? ?? ? ( x,? y )
TM TM MP

?? ?? ? ?? ?? ? 0 ,
PM

得 8x-2y 即 y =4x(x>0)

2=0

2

故点 P 的轨迹是(0,0)为顶点,以(2,0)为焦距的抛物线.(除去原点) (2)若动直线 l 经过点 D(4,0),交曲线 C 与 A、B 两点,求是否存在垂直于 x 轴直线 l'被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l'的方程,若不存在,请说明理 由. 答案:设 AD 中点为 H,垂直于 x 轴的直线 l′的方程为 x=a. 以 AD 为直径的圆交 l′于 E、F 两点。EF 的中点为 G
1 1 2 因为|EH|= |AD| 2
( x1 ? 4) 2 ? y12

x1 ? 4 ?a| (其中(x1,y1)为坐标) ,|HG|= 2 |

1 1 2 2 4 所以|EG|2=|EH|2= [(x1-4) +yx2]- 4 [(x1-2a) +4] 1 1
2

1
2

= 4 [(x1-4)2+4x1]- 4 [(x1-2a) +8(x1-2a)+16]= 4 [4ax1-12x1-4a +16a] =(a+3)x1-a2+4a 所以当 a=3 时,以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值,l′的方程 x=3.


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