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高中数学必修2空间几何体


年级 课程标题 一校

高一 空间几何体 林卉

学科 二校

数学 黄楠

编稿老师 审核

刘聚林 王百玲

一、考点突破
本讲内容在高考中主要以选择题、 填空题为主, 分值在 5 分左右, 难度较低, 属容易题, 重点考查空间几何体的三视图和体积、 表面积的计算, 尤其是给定三视图求空间几何体的体 积或表面积,更是近几年高考的热点。

二、重难点提示
重点:空间几何体的结构特征、三视图及表面积和体积的计算。 难点:由三视图还原实物图,进而解决表面积或体积问题。

空间几何体的结构特征 空间几何体 空间几何体的三视图和直观图 空间几何体的表面积与体积 综合应用

能力提升类
P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三 例 1 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点
棱锥 P ? ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________。

一点通:正视图反映几何体的长和高,侧视图反映几何体的宽和高。 解:依题意得三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图分别是一个三角形,且这
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两个三角形的底边长都等于正方体的棱长, 底边上的高也都相等, 因此三棱锥 P-ABC 的正 视图与侧视图的面积之比等于 1。 例 2 (1)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 ( )

A. 8 ?

8π 3

B. 8 ?

? 3

C. 8 ? 2?

D. 8 ?

2? 3


(2)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的表面积为(

A. 4π B. 5π C. 8π D. 9π 一点通: 根据已知的三视图想象出空间几何体, 然后由几何体的组成和有关几何体的体 积公式或表面积公式进行计算。 解: (1)由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体,即一个正方体中间去掉一个圆 锥体,所以它的体积是

V ? 8?

2? ,故选 D。 3
2 2

(2)由三视图知该器物是一个球体与圆锥体的组合体,其表面积等于球的表面积与圆 锥体的侧面积以及底面积的和,所以其表面积 S ? 4π ?1 ? π ?1? 15 ? 1 ? π ?1 ? 9π , 故选 D。

综合运用类
例 1 已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示,则下列图形中,可以
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是该几何体的俯视图的图形有(



A. ①②③⑤

B. ②③④⑤

C. ①②④⑤

D. ①②③④

一点通: 由正视图和侧视图看出几何体的前面和左面的轮廓, 然后再想象实物图的可能 情况,最后得到俯视图。 解:根据给出的正(主)视图和侧(左)视图可知,该组合体由上、中、下三个几何体 组合而成,由于正(主)视图和侧(左)视图中三层均为矩形,所以这些几何体可能是一些 长方体、底面为直角三角形的直三棱柱或由圆柱组合而成。而第⑤个俯视图中,有两处与已 知不符,一是上层几何体的俯视图不正确,由于上层几何体的正(主)视图与侧(左)视图 为两个相同的矩形, 所以其俯视图中矩形的两边长应该相等; 二是下层几何体的俯视图不正 确,如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形,则在正(主)视图中底层的矩形应有一 条中位线,这与已知不符,所以排除⑤,故选 D。 例 2 (1)已知一个实心铁质的几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图都是 半径为 3 的圆,将 6 个这样的几何体熔铸成一个实心正方体,则该正方体的表面积为( A. 216 3 ? 2 B. 216 3 ? C. 210 3 ? 2 D. 210 3 ? )

(2)如图①所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体。当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为 20 cm, 当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为( )

A. 29 cm B. 30 cm C. 32 cm 一点通:利用体积相等来解决。

D. 48 cm

解: (1)由所给几何体的正(主)视图、侧(左)视图和俯视图都是半径为 3 的圆知该 几何体为半径为 3 的球,这样的 6 个球熔铸成一个实心正方体,设其棱长为 a ,则 4 6× π× 33=a3,∴a ? 6 3 ? , S ? 6a 2 ? 2163 π 2 ,故选 A。 3 (2)设这个简单几何体的总高度为 x cm,则由两次不同的放置方式中没有液体的部分 体积相等得 ( x ? 20) ? ? ?1 ? ( x ? 28) ? ? ? 3 ,解得 x ? 29 。因此,这个简单几何体的总高
2 2

度为 29 cm,故选 A。

思维拓展类
例 1 某几何体的一条棱长为 7 , 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6 的

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线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, 则a ?b 的 最大值为( A. 2 2 ) B. 2 3 C. 4 D. 2 5

一点通:构造长方体模型,寻找 a , b 之间的关系,利用基本不等式来解决。 解:由三视图的意义,长度为 7 的一条棱可视为长、宽、高分别为 x 、 y 、 z 的长方 体的对角线,而共点的三个面的对角线分别为

6 、 a 、 b ,依题意 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 7 ,

x 2 ? y 2 ? b2 , y 2 ? z 2 ? a 2 , x 2 ? z 2 ? 6 , 2 2 ∴14 ? 2( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? a2 ? b2 ? 6 ,从而 a ? b ? 8
由a ?b ?
2 2

( a ? b) 2 2 2 得: a ? b ? 2( a ? b ) ? 4 ,当且仅当 a ? b 时等号成立, 2

故 a ? b 的最大值为 4,选 C。 例 2 如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱。当圆柱的侧面积最大时,球的表面积 与该圆柱的侧面积之差是 。

一点通:搞清球的半径与圆柱的底面半径和高的关系是解决本题的关键。 解:设圆柱的底面半径为 r ,则圆柱的高为 2 R2 ? r 2 , 故圆柱的侧面积为

S 侧 ? 2π ? r ? 2 R 2 ? r 2 ? 2π ? 2 r 2 ( R 2 ? r 2 ) ? 2π ? [r 2 ? ( R 2 ? r 2 )] ? 2πR 2

2 R 时等号成立,此时圆柱的侧面积最大为 2? R 2 ,则 2 2 2 2 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 4? R ? 2? R ? 2? R 。
当且仅当 r =R ? r ,即 r ?
2 2 2

1. 在画三视图时,要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别 从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓,再验证几何体的轮廓线,看到的画 实线,看不到的画虚线,并且注意务必做到长对正、高平齐、宽相等。 2. 根据三视图想象空间几何体,通常是根据俯视图去判断是多面体还是旋转体,再结合 正视图和侧视图确定具体的结构特征,最终确定是简单几何体还是组合体。 3. 求几何体的表面积时,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台、球,再通过这些基 本的柱、锥、台、球的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积。

问题:怎样画一个组合体的三视图? 答:首先明确组合体的结构特征,弄清组合体是由哪些基本几何体组成的,是采用什么

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方式构成的。确定好表面的交线、外部可见轮廓线、内部不可见轮廓线。定好正视、俯视、 侧视的方向,注意用好“长对正、高平齐、宽相等”的作图原则,便可完成三视图的绘制。

(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A. 32

B. 16+16 2

C. 48

D. 16+32 2 )

2. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为(

A. 280 B. 292 C. 360 D. 372 3. 已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该 三棱锥的侧视图可能为( )

4. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



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5. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(



①正方形

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A. ① ② B. ① ③ C. ① ④ D. ② ④ *6. 如图,一个正三棱柱的侧(左)视图是边长为 3的正方形,则它的外接球的表面积 等于( )

A. 8π 二、填空题

B.

25π 3

C. 9π

D.

28π 3

7. 如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和 菱形,则该几何体的体积为________。

8. 一个几何体的三视图如图所示, 已知正 (主) 视图是底边长为 1 的平行四边形, 侧 (左) 视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形,则该几 何体的体积 V 是________。

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9. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________。

10. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为 2 3 , 它的三视图中的俯视图如右图 所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是____________。

*11. 下图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题:

① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图。 其中真命题的序号是________(写出全部正确命题的序号) 三、解答题 12. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8, 高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形。

6

8

(1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S 。 13. 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比。

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一、选择题 1. B 2. C 3. B 4. B 5. D 6. B 提示:结合直观图和侧(左)视图可知该正三棱柱的底面正三角形的高为 3,正三 棱柱的高为 3,正三棱柱的外接球的球心位于上下底面正三角形中心连线的中点上,连接 球心和底面三角形的顶点及底面三角形的中心,根据勾股定理可得外接球的半径 R = 所以正三棱柱外接球的表面积为 S ? 4πR ?
2

5 3 , 6

25π 。 3

二、填空题 7. 2 3 8. 9. 3 10. 2 3 11. ① ② ③ 提示:只需① 底面是等腰直角三角形的直三棱柱,让其直角三角形直角边对应 的一个侧面平卧;② 直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺;③ 圆柱平躺,即可使 得三个命题均为真命题。 三、解答题

3

12. 解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心 的四棱锥 V-ABCD;
(1) V ?

1 ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3
2

( 2 )该四棱锥的两个侧面 VAD 、 VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 ,另两个侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 ?2?
2

?6? h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2? 1 1 因此 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2
2

2

13. 解:第一个球、第二个球、第三个球的直径分别是正方体的棱长、面对角线长、体对
角线长,设这三个球的半径分别为 r1 、 r2 、r3 ,正方体的棱长为 a ,则 2r 1 ? a, 2r 2 ?
2 2 2 2 2

2a,
2

2r3 ? 3a ,故这三个球的表面积之比为 S1 : S2 : S3 ? 4πr1 : 4πr2 : 4πr3 ? r1 : r2 : r3
a 2 2 3 2 ? ( )2 : ( a) : ( a) ? 1 : 2 : 3 2 2 2

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