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高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题


第一章 解三角形 1、正弦定理: 在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径,则 有:

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式: ① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin

C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ? 注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。 2、已知两角和一边,求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情况) 如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: C 当无交点则 B 无解、 当有一个交点则 B 有一解、 a 当有两个交点则 B 有两个解。 b 法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况: bsinA 当 a<bsinA,则 B 无解 A 当 bsinA<a≤b,则 B 有两解 D 当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解 注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式:

1 1 1 S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
4、余弦定理: 在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? ,
2 2 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论:

cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 , 2bc a 2 ? c2 ? b2 , 2ac a 2 ? b2 ? c2 . 2ab

cos ? ?

cos C ?

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)

1

6、如何判断三角形的形状: 设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2 ?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2 ?

③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ?

B A

7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标 A、B, 但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75 , ∠BCD=45 , ∠ADC=30 , O C ∠ADB=45 (A、B、C、D 在同一平面内),求两目标 A、B 之间的距离。 附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 练习题 一、选择题 1、在△ABC 中, a =10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( B A. 10 ? 3 B. 10 ) D. 10 3
O O O

D

?

3 ?1

?

C. 3 ? 1

2、三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形的另一边长为 A.52 B. 2 13 C.16 D.4 )

3、在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ?A ? ( C A
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90 0

B

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60 0

C

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D

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150 0

4 、在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( D ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 5、已知△ABC 中,a∶b∶c=1∶ 3 ∶2,则 A∶B∶C 等于( A.1∶2∶3 C. 1:3:2 B.2∶3∶1 D.3:1:2 C ) A )

6、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A. 5 B.6 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) C.7 D.8

2

7、在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 6 : 5 : 4 ,则 cos A ? ___________ a?b?c 8、在△ABC 中,A=60°, b=1, 面积为 3 ,则 = sin A ? sin B ? sin C 9、在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD ?

7 ,那么 BC= 2
7 ? ,且 C ? 60 ,又 △ABC 的 2

10、在 △ABC 中,已知角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,边 c ? 面积为
3 3 ,则 a ? b ? ________________ 2

三.解答题(2 小题,共 40 分) 13、在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB=

1 .(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 3

知识点巩固练习(一) 一、选择题 1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于(
0 0



A. 1

B. ? 1

C. 2 3

D. ? 2 3 )

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.

1 tan A

3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

D.等腰三角形

0 4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,

则底边长为(

)A. 2

B.

3 2

C. 3

D. 2 3 )
0

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

0

D. 30 或150 )

0

0

6.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是(
3

A. 90

0

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

二、填空题 1.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。
0

2.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________。
2 2 2

3.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________。
0 0

4.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么?

2.在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

3.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC 。

4

知识点巩固练习(二) 一、选择题 1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2:3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3: 2 :1 C. 1: 3 : 2 )

D. 2 : 3 :1

2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 3.在△ABC 中,若 A ? 2B ,则 a 等于( ) A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B D. 2b cos B 4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 ) )

5.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A. 90
0

B. 60

0

C. 135

0

D. 150

0

6.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? A. ?

1 5

B. ?

1 6

C. ?

1 7
0

13 ,则最大角的余弦是( 14 1 D. ? 8



二、填空题 1.若在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

2.若 A, B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 。 3.在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tan C ? _________。 4.在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。

5.在△ABC 中,若 a ? 三、解答题

3, b ? 2 , c ?

6? 2 , 则A ? _________。 2

1. 在△ABC 中, A ? 120 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。
0

5

2. 在锐角△ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? 1 。

3. 在△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A B C cos cos 。 2 2 2

4. 在△ABC 中,若 A ? B ? 120 ,则求证:
0

a b ? ? 1。 b?c a?c

5. 在△ABC 中,若 a cos

2

C A 3b ,则求证: a ? c ? 2b ? c cos 2 ? 2 2 2

6

知识点巩固练习(三)

一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( A. ( 2 ,2) B. ( ? 2 , 2 )
0



C. ( ?1, 2 ]

D. [ ? 2 , 2 ]

2.在△ABC 中,若 C ? 90 , 则三边的比 A. 2 cos

A? B 2

a?b 等于( ) c A? B A? B B. 2 cos C. 2 sin 2 2


D. 2 sin

A? B 2

3.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

4.在△ABC 中, ?C ? 90 , 0 ? A ? 45 ,则下列各式中正确的是(
0

0

0



A. sin A ? cos A B. sin B ? cos A

C. sin A ? cos B

D. sin B ? cos B


5.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ?A ? ( A. 90
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

6.在△ABC 中,若

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( tan B b 2
C.不能确定

) D.等腰三角形

A.直角三角形 B.等腰或直角三角形

二、填空题
1.在△ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若 cos A ? cos B ? cos C ? 1, 则△ABC 的形状是______________。
2 2 2

3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C, y ? sin A ? sin B, z ? cos A ? cos B, 则 x, y, z 的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若 a ? c ? 2b ,则 cos A ? cosC ? cos A cosC ?

1 sin A sin C ? ______。 3

5.在△ABC 中,若 2 lg tan B ? lg tan A ? lg tan C, 则 B 的取值范围是_______________。 6.在△ABC 中,若 b ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos 2B 的值是_________。
2

三、解答题

7

1.在△ABC 中,若 (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,请判断三角形的形状。
2 2 2 2

2. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2 R(sin A ? sin C ) ? ( 2a ? b) sin B,
2 2

求△ABC 的面积的最大值。

3. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
2

,求 a : b : c

3 ?3 4.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ?tan C ?
为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

, AB 边上的高

8

答案 知识点巩固练习(一) 一、选择题 1.C 2.A 3.C

b ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3 a
0 ? A ? ? ,sin A ? 0

cos A ? sin( ? A) ? sin B, ? A, B 都是锐角,则 ? A ? B, A ? B ? , C ? 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

4.D 作出图形 5.D

1 b ? 2a sin B,sin B ? 2sin A sin B,sin A ? , A ? 300 或 1500 2
52 ? 82 ? 72 1 ? ,? ? 600 ,1800 ? 600 ? 1200 为所求 2?5?8 2

6.B 设中间角为 ? ,则 cos ? ? 二、填空题 1.

1 2
0

1 1 sin A sin B ? sin A cos A ? sin 2 A ? 2 2
b2 ? c 2 ? a 2 1 cos A ? ? ? , A ? 1200 2bc 2
A ? 150 , a b b sin A 6 ?2 ? ,a ? ? 4sin A ? 4sin150 ? 4 ? sin A sin B sin B 4

2. 120

3. 6 ? 2 4. 120
0

a ∶ b ∶ c ? sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,
令 a ? 7k , b ? 8k , c ? 13k cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ? , C ? 1200 2ab 2

三、解答题 1. 解: a cos A ? b cos B ? c cos C,sin A cos A ? sin B cos B ? sin C cos C

sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C, 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? 2sin C cos C
cos( A ? B) ? ? cos( A ? B), 2cos A cos B ? 0

cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?
所以△ABC 是直角三角形。

?
2

或B ?

?
2

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 2. 证明:将 cos B ? , cos A ? 代入右边 2ac 2bc
得右边 ? c(

a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 2a 2 ? 2b 2 ? )? 2abc 2abc 2ab
9

?


a 2 ? b2 a b ? ? ? 左边, ab b a

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

3.证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ? ∴ sin A ? sin(

?
2

,即

?
2

? A?

?
2

?B?0

? B) ,即 sin A ? cos B ;同理 sin B ? cos C ; sin C ? cos A 2 ∴ sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC
知识点巩固练习(二) 一、选择题 1.C

?

A?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?

1 3 2 : : ? 1: 3 : 2 2 2 2

2.A 3.D 4.D

A ? B ? ? , A ? ? ? B ,且 A, ? ? B 都是锐角, sin A ? sin(? ? B) ? sin B sin A ? sin 2B ? 2sin B cos B, a ? 2b cos B

lg

sin A sin A ? lg 2, ? 2,sin A ? 2cos B sin C cos B sin C cos B sin C

sin( B ? C) ? 2cos B sin C,sin B cos C ? cos B sin C ? 0,
sin( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形
5.B

(a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, (b ? c)2 ? a 2 ? 3bc,

b2 ? c 2 ? a 2 1 b ? c ? a ? 3bc, cos A ? ? , A ? 600 2bc 2
2 2 2

6.C

c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 9, c ? 3 , B 为最大角, cos B ? ?

1 7

二、填空题 1.

2 39 3

1 1 3 S?ABC ? bc sin A ? c ? ? 3, c ? 4, a 2 ? 13, a ? 13 2 2 2

a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2

10

2. ?

3. 2

sin( ? B) 2 A ? B ? , A ? ? B ,即 tan A ? tan( ? B) ? ? 2 2 2 cos( ? B) 2 cos B 1 1 , tan A ? ? ? , tan A tan B ? 1 sin B tan B tan B sin B sin C tan B ? tan C ? ? cos B cos C sin B cos C ? cos B ? sin C sin( B ? C ) 2sin A ? ? ? 1 cos B cos C sin A sin A 2

?

?

?

?

4. 锐角三角形

C 为最大角, cos C ? 0, C 为锐角
2?

5. 60

0

8? 4 3 ?3 b ?c ?a 3 ?1 1 4 cos A ? ? ? ? 2bc 6? 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) 2 2 2? 2
2 2 2

三、解答题 1.解: S?ABC ?

1 bc sin A ? 3, bc ? 4, 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, b ? c ? 5 ,而 c ? b
所以 b ? 1, c ? 4 2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ? ∴ sin A ? sin(

?
2

,即

?
2

? A?

?
2

?B?0

?
2

? B) ,即 sin A ? cos B ;同理 sin B ? cos C ; sin C ? cos A

∴ sin A sin B sin C ? cos A cos B cos C, ∴ tan A ? tan B ? tan C ? 1 3. 证明:∵ sin A ? sin B ? sin C ? 2sin

sin A sin B sin C ?1 cos A cos B cos C

A? B A? B cos ? sin( A ? B) 2 2 A? B A? B A? B A? B ? 2sin cos ? 2sin cos 2 2 2 2 A? B A? B A? B ? 2sin (cos ? cos ) 2 2 2 C A B ? 2cos ? 2cos cos 2 2 2 A B C ? 4cos cos cos 2 2 2 A B C ∴ sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos cos cos 2 2 2
11

4.证明:要证

a 2 ? ac ? b 2 ? bc a b ? 1, ? ? 1 ,只要证 ab ? bc ? ac ? c 2 b?c a?c
2 2 2

即 a ? b ? c ? ab 而∵ A ? B ? 120 , ∴ C ? 60
0

0

cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 2 , a ? b 2 ? c 2 ? 2ab cos 600 ? ab 2ab

∴原式成立。 5.证明:∵ a cos 2

C A 3b ? c cos 2 ? 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3sin B ∴ sin A ? ? sin C ? ? 2 2 2 即 sin A ? sin A cos C ? sin C ? sin C cos A ? 3sin B
∴ sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B 即 sin A ? sin C ? 2sin B ,∴ a ? c ? 2b 知识点巩固练习(三)

一、选择题 1.C

sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ), 4
而0 ? A ??,

?

?
4

? A?

?
4

?

5? 2 ? ?? ? sin( A ? ) ? 1 4 2 4

2.B

3.D 4.D

a ? b sin A ? sin B ? ? sin A ? sin B c sin C A? B A? B A? B ? 2sin cos ? 2 cos 2 2 2 1 1 cos A ? , A ? 600 , S? ABC ? bc sin A ? 6 3 2 2
A ? B ? 900 则 sin A ? cos B,sin B ? cos A , 00 ? A ? 450 ,

sin A ? cos A , 450 ? B ? 900 ,sin B ? cos B
5.C

1 a 2 ? c 2 ? b2 ? bc, b2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc, cos A ? ? , A ? 1200 2
sin A cos B sin 2 A cos B sin A ? ? , ? ,sin A cos A ? sin B cos B cos A sin B sin 2 B cos A sin B
sin 2 A ? sin 2 B, 2 A ? 2 B或2 A ? 2B ? ?

6.B

二、填空题

12

1. 对

sin A ? sin B, 则

a b ? ?a?b? A? B 2R 2R

2. 直角三角形

1 (1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B) ? cos 2 ( A ? B) ? 1, 2 1 (cos 2 A ? cos 2 B) ? cos 2 ( A ? B) ? 0, 2
cos( A ? B) cos( A ? B) ? cos 2 ( A ? B) ? 0

cos A cos B cos C ? 0
3. x ? y ? z

A? B ?

?

2

,A?

?

2

? B,sin A ? cos B,sin B ? cos A, y ? z

c ? a ? b,sin C ? sin A ? sin B, x ? y, x ? y ? z

A?C A?C A?C A?C cos ? 4sin cos 2 2 2 2 A?C A?C A C A C cos ? 2cos , cos cos ? 3sin sin 2 2 2 2 2 2 1 C 2 A 则 sin A sin C ? 4sin sin 2 3 2 2 1 cos A ? cos C ? cos A cos C ? sin A sin C 3 A C ? ?(1 ? cos A)(1 ? cos C ) ? 1 ? 4sin 2 sin 2 2 2 A C A C ? ?2sin 2 ? 2sin 2 ? 4sin 2 sin 2 ? 1 ? 1 2 2 2 2 ? ? tan A ? tan C 2 5. [ , ) tan B ? tan A tan C , tan B ? ? tan( A ? C ) ? 3 2 tan A tan C ? 1 tan A ? tan C tan B ? ? tan( A ? C ) ? tan 2 B ? 1
4. 1

sin A ? sin C ? 2sin B, 2sin

tan 3 B ? tan B ? tan A ? tan C ? 2 tan A tan C ? 2 tan B

tan 3 B ? 3tan B, tan B ? 0 ? tan B ? 3 ? B ?
6. 1

?
3

b2 ? ac,sin 2 B ? sin A sin C , cos(A ? C ) ? cos B ? cos 2B

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1 ? 2sin 2 B

? cos A cos C ? sin Asin C ? cos B ?1 ? 2sin Asin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? cos B ? 1
? cos( A ? C ) ? cos B ? 1 ? 1
三、解答题 1. 解:

a 2 ? b 2 sin( A ? B) a 2 sin A cos B sin 2 A ? , ? ? a 2 ? b 2 sin( A ? B) b 2 cos A sin B sin 2 B
13

cos B sin A ? ,sin 2 A ? sin 2 B, 2 A ? 2 B或2A ? 2 B ? ? cos A sin B
∴等腰或直角三角形 2. 解: 2 R sin A ? sin A ? 2 R sin C ? sin C ? ( 2a ? b)sin B,

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B, a 2 ? c 2 ? 2ab ? b 2 ,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab, cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 2 ? , C ? 450 2ab 2

c ? 2 R, c ? 2 R sin C ? 2 R, a 2 ? b2 ? 2 R 2 ? 2ab, sin C
2 R 2 ? 2ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab, ab ? 2R2 2? 2

S?

1 2 2 2R2 ab sin C ? ab ? ? , S max ? 2 4 4 2? 2

2 ?1 2 R 2

另法: S ?

1 2 2 ab sin C ? ab ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B 2 4 4

?

2 ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? 2 R 2 sin A sin B 4

1 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2
1 2 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? ] 2 2 2R2 2 ? ? (1 ? ) 2 2
? Smax ? 2 ?1 2 R 此时 A ? B 取得等号 2

3. 解: sin A ? sin C ? 2sin B, 2sin

A?C A?C A?C A?C cos ? 4sin cos 2 2 2 2

sin

B 1 A?C 2 B 14 B B 7 ? cos ? , cos ? ,sin B ? 2sin cos ? 2 2 2 4 2 4 2 2 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?

3? B ? B ? ,C ? ? 4 2 4 2

sin A ? sin(

3? 3? 3? 7 ?1 ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4 4

14

sin C ? sin( ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4

?

?

?

7 ?1 4

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? (7 ? 7 ) : 7 : (7 ? 7 )
4. 解: (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac, cos B ?

1 , B ? 600 2

tan( A ? C ) ?

tan A ? tan C 3? 3 ,? 3 ? , 1 ? tan A tan C 1 ? tan A tan C

tan A tan C ? 2 ? 3 ,联合 tan A ? tan C ? 3 ? 3
? A ? 750 ? ? A ? 450 ? tan A ? 2 ? 3 ? ? tan A ? 1 ? ? 或? 或? 得? ,即 ? 0 0 ? tan C ? 1 ? ?C ? 45 ?C ? 75 ? ? tan C ? 2 ? 3 ? ?
当 A ? 75 , C ? 45 时, b ?
0 0

4 3 ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A
4 3 ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A

当 A ? 45 , C ? 75 时, b ?
0 0 0 0 0

∴当 A ? 75 , B ? 60 , C ? 45 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), 当 A ? 45 , B ? 60 , C ? 75 时, a ? 8, b ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1) 。
0 0 0

解三角形单元测试题 一、选择题: 1、在△ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于( ) A. 30° B.45° C.60° 2、在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A. 10 ? 3 B. 10 D.120° ) D. 10 3 )

?

3 ?1

?

C. 3 ? 1

3、在△ABC 中,a= 2 3

,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于(

A.30° B.60° C.30°或 120° D. 30°或 150° 4、在△ABC 中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( ) A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 5、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为( )
2 2 2

A.

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3

15

6、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( ) A. ?8,10 ? B.

?

8 , 10

?

C.

?

8 ,10

?

D.

? 10 ,8?

8、在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 9、△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解,则 x 的取值范围( )

4 3 3 10、 在△ABC 中, 周长为 7.5cm, 且 sinA: sinB: sinC=4: 5: 6,下列结论: ① a :b: c ? 4:5: 6
A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ? D. 2 ? x ? ② a : b : c ? 2 : 5 : 6 ③ a ? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm 中成立的个数是 A.0 个 ④ A: B :C ? 4:5: 6 ( B.1 个 C.2 个 D. 3 个 ) ) 其

4 3 3

11、在△ABC 中, AB ?

3 , AC ? 1 ,∠A=30°,则△ABC 面积为 (
3 4
C.

A.

3 2

B.

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2


12、已知△ABC 的面积为 A.30°

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则∠A 等于 ( 2

B.30°或 150° C.60°

D.60°或 120° )

13、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 ( A.

A 14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空 20 米 150 0 30 米 地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米 a 元,则 购买这种草皮至少要( ) A. 450a 元 B.225a 元 C. 150a 元 D. 300a 元 B C 15、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小 时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方 向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) A.

14

B. 2 14

C. 15

D. 2 15

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

16、飞机沿水平方向飞行,在 A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为 30°,向前飞行 10000 米, 到达 B 处, 此时测得目标 C 的俯角为 75°, 这时飞机与地面目标的水平距离为 ( ) A. 5000 米 B.5000 2 米 C.4000 米 D. 4000 2 米 )

17、在△ABC 中, a ? sin10 °, b ? sin 50 °,∠C=70°,那么△ABC 的面积为( A.

1 64

B.

1 32

C.

1 16

D.

1 8

16

18、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A. 5 B.6 C.7 D. 8 19、已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 1 ? x ? 5 20、在△ABC 中,若 B. 5 ? x ? 13 C. 0 ? x ? )



5

D. 13 ? x ? 5 )

cos A cos B sin C ,则△ABC 是( ? ? a b c

A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三角形

二、填空题 21、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ? 22、在△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2, B ? 150°,则 b= 23、在△ABC 中,A=60°,B=45°, a ? b ? 12 ,则 a= ;b=

24、已知△ABC 中, a ? 181, b ? 209 , A ? 121°,则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为 1 和 3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径 为 .

26、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 三、解答题 27、在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 BC 边的长分别为 20, 下,求相应角 C。

20 3 ,5 的情况 3

28、 在△ABC 中, BC=a, AC=b, a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, 且 2 cos? A ? B ? ? 1 。
2

求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

17

29、在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2? 2 。 2 2 a b a b

30、在△ABC 中, a ? b ? 10 ,cosC 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,求△ABC 周长的最
2

小值。

解三角形单元测试答案 一、选择题 1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 二、填空题 21、 1 : 3 : 2 24、无解 三、解答题 22、7 25、1 16-20. ACCBB

23、 36 ? 12 6 , 12 6 ? 24 26、120°

27、解:由正弦定理得 sin C ?

AB sin A 10 ? BC BC 1 (1)当 BC=20 时,sinC= ;? BC ? AB ? A ? C ? C ? 30 ° 2
(2)当 BC=

3 20 3 时, sinC= ; 2 3

? AB ? sin 45? ? BC ? AB ?C 有两解 ?C ? 60? 或 120° (3)当 BC=5 时,sinC=2>1; ?C 不存在 1 28、解: (1) cos C ? cos?? ? ? A ? B ?? ? ? cos? A ? B ? ? ? ?C=120° 2
18

(2)由题设:

?a ? b ? 2 ? ? ab ? 2

3

? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120 ?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

29、 证明:

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 ? ?
由正弦定理得:

sin 2 A sin 2 B ? a2 b2

?

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b
2

30、解:? 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

? x1 ? 2, x2 ? ?

1 2 ? cos C ? ? 1 2

又? cosC 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根 由余弦定理可得: c ? a ? b ? 2ab ? ? ?
2 2 2

? 1? 2 ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2?

则: c ? 100 ? a?10 ? a ? ? ?a ? 5? ? 75
2 2

当 a ? 5 时,c 最小且 c ?

75 ? 5 3

此时 a ? b ? c ? 10 ? 5 3

?△ABC 周长的最小值为10 ? 5 3
31、解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C ?cos A ? cos B ? 可得 2 sin
2

?△ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 1 1 (2)内切圆半径 r ? ?a ? b ? c ? ? ?sin A ? sin B ? 1? 2 2
? 2 ? ?? 1 sin? A ? ? ? ? 2 4? 2 ? 2 ?1 2

C ? 1 ? cosC ? 0 即 C=90° 2

? 2 ?1? ? ?内切圆半径的取值范围是 ? ? 0, 2 ? ? ?

19

1.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

? ?
2 2

) ,则 sin x ? x ? tan x . ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

(3) | sin x | ? | cos x |? 1 . 2.同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
3.正弦、余弦的诱导公式
n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

sin? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?

(n 为偶数) (n 为奇数)

n ? 2 ( ? 1) co s ? , n? ? co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数)

4.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决
定, tan ? ?

b ). a

45.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos? .
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

20


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