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2015年高考数学全国卷二理科(完美版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科 (新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A={-2,-1,0,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0},则 A∩B= (A) {-1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D)2 (D) {0,1,2}

2.若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a = (A)-1 (B)0 (C)1

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结 论不正确的是

(A)逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C)2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D)2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 = (B)42 (C)63 (D)84 1, ?1 ? log2 (2 ? x), x< 5.设函数 f(x)= ? x?1 ,则 f (-2)+ f (log212) = ?2 , x ? 1 (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (A)21

6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A)
1 8

(B)

1 7

(C )

1 6

(D)

1 5

7.过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =

(A)2 6

(B)8

(C)4 6

(D)10

8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18, 则输出的 a= (A)0 (B)2 (C)4 (D)14 9.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠ AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体 积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 (A)36π (B)64π (C)144π (D)256π 10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠ BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x) 的图像大致为

11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2 12.设函数 f ’(x)是奇函数 f (x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,x f ’(x)-f (x)<0,则 使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是 (A) (-∞,-1)∪(0,1) (B) (-1,0)∪ (1,+∞) (C) (-∞,-1)∪ (-1,0) (D) (0,1)∪ (1,+∞) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题 13.设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ=________.(用数字填写答案)
? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z= x+y 的最大值为____________.. ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?

15.(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =__________.

16.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=Sn Sn+1,则 Sn=________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 sin ?B (Ⅰ ) 求 ; sin ?C 2 (Ⅱ ) 若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2

18. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户, 得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

(Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的 评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

19. 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1, D1C1 上,A1E=D1F。过带你 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ )求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值

20. 已知椭圆 C:9x2+ y2 = m2 (m>0)错误!未找到引用源。 ,直线 l 不过原点 O 且不平行于 坐标轴,l 与 C 有 两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (I)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (II)若 l 过点(
m ,m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边行? 3

若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由.

21. 设函数 f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x1, x2∈ [-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做 答时请写清题号. (22).(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边 上的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. (I)证明:EF 平行于 BC (II) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? t cos? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t为参数,t ? 0) ,其中 0≤α<π ,在以 O ? y ? t sin ? , 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sinθ,曲线 C3:ρ= 2 3 cosθ . (I).求 C2 与 C3 交点的直角坐标 (II).若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 的最大值

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (I)若 ab>cd ,则 a ? b> c ? d ; (II) a ? b> c ? d 是 a ? b <c ? d 的充要条件.


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