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云南省玉溪第一中学2017届高三上学期期中考试试题 理数含答案


玉溪一中高 2017 届高三上学期第四次月考 理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ? x x ? 3n ? 2, n ? N? , B ? ?6,8,10,12,14? ,则集合 A ? B 中的元素个 数为( A.5 ) B.4 C.3 D.2 ) D.第四象限

2.复数 z ? (2 ? i)(1 ? 2i) 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3.下列说法错误的是( ) A.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” B.如果命题“ ? p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,则命题 q 一定是真命题 C.若命题: ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 D.“ sin ? ?

? 1 ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 6 2


? x2 ? 1 x ? 0 4.已知函数 f ( x) ? ? ,则下列结论正确的是( ? cos x x ? 0
A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) 是周期函数 B. f ( x) 的值域为 [?1, ??) D. f ( x) 是增函数

5.《张丘建算经》是中国古代的数学著作,书中有一道题为: “今有女善织,日 益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布, 现一月(按 30 天计)共织 390 尺布” ,则从第 2 天起每天比前一天多织( ) 尺布. 1 8 16 16 A. B. C. D. 2 15 31 29 6.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯 视图可能为: ①长、宽不相等的长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其 中正确的是( )

A.①②

B.②③

C. ①④

D.③④

? 7.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,则下列结论正确的是( ) 6 ? A. f ( x) 的图像关于直线 x ? 对称 3 ? B. f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称 6 ? C. f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数 6 ? D.把 f ( x) 的图像向右平移 个单位,得到一个奇函数的图像 6
8.函数 y ?
lg | x | 的图象大致是 x3





9.曲线 y ? e?2 x ? 1在点 (0, 2) 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为 ( ) 1 1 2 A. B. C. D. 1 3 2 3 10.等比数列 {an } 中,公比 q ? 2 , a1 ? a4 ? a7 ? ? a97 ? 11 ,则数列 {an } 的前 99 项的 和 S99 ? ( A.99 ) B.88 C.77 D.66 )

2sin 2 ? ? sin 2? ? 1 ? ?( 11.已知 tan(? ? ) ? ,且 ? ? (? , 0) ,则 ? 4 2 2 cos(? ? ) 4

A. ?

3 5 10

B. ?

2 5 5
??? ?2

C.

2 5 5

D.

3 10 10

12. ?ABC 中, 若动点 D 满足 CA ? CB +2 AB? 则点 D 的轨迹一定经过 ?ABC CD ? 0 , 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

??? ?2

??? ? ??? ?

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. ? ? ? ? 13.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?1, m) ,若 a ? b ,则 m ? .

?x ? y ? 0 ? 14.已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值为 ? y ?1 ?

.

15. 由曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线 x ? 0 , x ? 是 16. 设双曲线 .

?
2

所围成的平面图像的面积

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 与 x 轴垂直的直线 l a 2 b2

交两渐近线于 A , B 两点,与双曲线的其中一个交点为 P ,设坐标原点为 O ,若 ??? ? ??? ? ??? ? 2 OP ? mOA ? nOB (m, n ? R) ,且 mn ? ,则该双曲线的离心率为 . 9 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 AD 1 ? .记∠ ACD ? ? ,∠ BCD ? ? . AB 上,且 DB 3 AC sin ? ? (1)求证: ; BC 3sin ? ? ? (2)若 ? ? , ? ? , AB ? 19 ,求 BC 的长. 6 2 18. (本小题满分 12 分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况. 从 全体学生中,随机抽取 12 名进行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图 形式表示如下: 成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 1 0 8 2 8 6 7 7 8

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 分为优良. (1)写出这组数据的众数和中位数; (2)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行 体质健康测试,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列及数学期望. 19. (本题满分 12 分)

如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 D 是棱 AB 的中点, BC = 2, AA1 = 2 3 。
A

(1)求证: BC1 // 平面 A1 DC ; (2)求二面角 D - AC 1 - A 的平面角的正弦值. 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :
B D C B1

A1 C1

y2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F1 , F2 为椭圆的两个焦点,点 2 2 a b

P 在椭圆上且 ?PF 4 ? 2 3 . 过点 M (0, 3)的直线 l 与椭圆 C 相交于 1 F2的周长为

A, B 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右顶点 N ,求此时直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? 0) . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? (a ? 1) x ? 4 ? e ? 0 对任意 x ?[e, e2 ] 恒成立, 求实数 a 的取值范围 (e为 自然常数) ; (3)求证: ln(
1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ... ? ln( 2 ? 1) ? 1 (n ? 2, n ? N * ) . 2 2 3 4 n

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。

22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程 ? ( ? 为参数) .以 O 为 ? y ? sin ?
极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程;

? ? (2)若直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 与曲线 C 的 3 3
交点为 O, P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 (1)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 (2)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? f (2a) ? af ( x)

玉溪一中高 2017 届高三上学期第四次月考 理科数学参考答案
一、选择题:DADBD CCDBC BA 1 3 2 二、填空题:13. 14. ?1 15. 2 2 ? 2 16. . 2 4 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. AC AD ? 17.解: (Ⅰ) 在 ?ACD 中,由正弦定理,有 sin ?ADC sin ? 在 ?BCD 中,由正弦定理,有
BC BD ? sin ?BDC sin ?

因为 ?ADC ? ?BDC ? ? ,所以 sin ?ADC ? sin ?BDC AD 1 AC sin ? ? , 所以 ? 因为 …………………….. BC 3 BC 3 sin ?

6分

sin AC ? ? 2 ?2 (Ⅱ)因为 ? ? , ? ? ,由(Ⅰ)得 ? 6 2 BC 3sin ? 3 6
设 AC ? 2k , BC ? 3k , k ? 0 , 由余弦定理, 代入,得到 19 ? 4k 2 ? 9k 2 ? 2 ? 2k ? 3k ? cos 负) ,所以 BC ? 3 .…………….. 12 分 …………….. 3分
2? ,13k 2 ? 6k ? 19 ? 0 解得 k ? 1(舍 3

?

18.解: (Ⅰ)这组数据的众数为 87,中位数为 84;

(Ⅱ)抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为

,…………….. ,

4分
3 4

故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为

? ? B(3, )

3 1 P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k (k ? 0,1, 2,3) 所以 ? 的分布列为 4 4

0
1 64

1
9 64

2
27 64

3
27 64

……………..
E? ? 3 ? 3 9 ? …………….. 4 4

10 分

12 分

G ,连结 DG . 19. (Ⅰ)证明:连结 AC1 交 AC 1 于点

在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 ACC1 A1 是平行四边形,∴ AG ? GC1 . ∵ AD ? DB ,∴ DG ∥ BC1 . ∵ DG ? 平面 A1DC , BC1 ? 平面 A1DC , ∴ BC1 ∥ 平面 A1DC . …………….. 4分

(2)过点 A 作 AO ? BC 交 BC 于 O , 过点 O 作 OE ? BC 交 B1C1 于 E .因为平面
ABC ? 平面 CBB1C1 ,所以 AO ? 平面 CBB1C1 .分别以 OB, OE, OA 所在的直线为 x

轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,因为 BC = 2, AA1 = 2 3 , ?ABC 是等边三 角形, 所以 O 为 BC 的中点.则 O ? 0,0,0? ,A 0, 0, 3 , C ? ?1,0,0? ,A1 0, 2 3, 3 ,
1 3 D( , 0, ) , 2 2

?

?

?

?

……………..

6分

? ??? ? ? ??? ? 3 ? 3 ?n ? CD ? 0, 设平面 A1 DC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ???? ∵ CD ? ( , 0, ) , 2 2 ? ?n ? A1C ? 0.
?3 3 ???? z ? 0, ? x? ∴ ?2 取x ? 3, 得平面 A1DC 的一个法 AC ? (?1, ?2 3, ? 3) , 2 1 ?? x ? 2 3 y ? 3 z ? 0. ? ? 向量为 n ? 3,1, ?3 . …………….. 8分

?

?

?? 同理可求平面 ACA1 的一个法向量为 n1 ?

?

3, 0, ?1 .

?

………

10 分

? ?? ? 设二面角 D - AC 1 - A 的大小为 ,则 cos ? ? cos ? n, n1 ? ?
∵ ? ? ? 0, ? ? , ? sin ? ?
2 13 …………….. 13

6 3 13 . ? 13 13 ? 2

12 分

c 3 ? 且2a ? 2c ? 4 ? 2 3,? a ? 2, c ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 a 2 ………… 2 y ? 椭圆方程为x 2 ? ?1 4 ??? ? ??? ? (2)由()知 1 N ( 1, 0)且根据题意知NA ? NB ? 0 ??? ? ??? ? 当l 斜率不存在时,A(0, 2), B(0, ? 2),? NA ? (?1, 2), NB ? (?1, ? 2) ??? ? ??? ? ? NA ? NB ? ?3 ? 0,不符合条件 20.(1)
…………….. 6分 当l 斜率存在时,设斜率为k,设l方程为y ? kx ? 3, 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ??? ? ??? ? ? NA ? ( x1 ? 1, y1 ), NB ? ( x2 ? 1, y2 )
y2 联立y ? kx ? 3和x ? ? 1得(4 ? k 2)x 2 ? 6kx ? 5 ? 0 4 2 ?由? ? 16k ? 80 ? 0得k 2 ? 5
2

4分

6k 5 , x1 x2 ? 2 4?k 4 ? k2 …………….. 9分 x1 ? x2 ? ?

36 ? 4k 2 ? y1 y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 ? 4 ? k2 ??? ? ??? ? ?3k 2 ? 6k ? 45 ? NA ? NB ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? ?0 4 ? k2 ? k ? ?3或k ? 5, 均满足k 2 ? 5
2

? l方程为y ? ?3x ? 3或y ? 5 x ? 3
…………….. 12 分
' , f ( x) ?

21.解: (1)函数的定义域为

a (1 ? x ) , x

2分 3分 4分

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (0,1] ,单调减区间为 [1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 [1, ??) ,单调减区间为 (0,1] ; (2)令 F ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ? (a ? 1) x ? 4 ? e ? a ln x ? x ? 1 ? e ,

则 F ' ( x) ?

a?x a?x ? 0 ,则 x ? ?a ,令 F ' ( x) ? x x

5分

(a)若 ? a ? e ,即 a ? ?e 则 F ( x) 在 [e, e2 ] 是增函数,
F ( x)max ? F (e2 ) ? 2a ? e2 ?1 ? e ? 0

a?

e ? e2 ? 1 2

无解.

6分

(b)若 ?a ? e2 即 a ? ?e2 ,则 F ( x) 在 [e, e2 ] 是减函数,

F ( x)max ? F (e) ? a ? 1 ? 0 a ? ?1 所以 a ? ?e2

7分

(c)若 e ? ?a ? e2 ,即 ?e2 ? a ? ?e , F ( x) 在 [e, ?a] 是减函数, 在 [?a, e2 ] 是增函数,

F (e2 ) ? 2a ? e2 ? 1 ? e ? 0 可得 a ?
e ? e2 ? 1 2

e ? e2 ? 1 2

F (e) ? a ? 1 ? 0 可得 a ? ?1

所以 ?e2 ? a ?

e ? e2 ? 1 综上所述 a ? 2

8分

(3)令 a ? ?1 (或 a ? 1 )此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由 (1) 知 f( x) ?? n l x ?x ?3 在 [1, ??) 上单调递增, ∴当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f (1) 9分 10 分

即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1, ??) 成立, ∵ n ? 2, n ? N * ,则有 ln( 所以 ln(
1 1 1 1 1 ? 1) ? 2 ? ? ? , 2 n n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ... ? ln( 2 ? 1) 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ...( ? ) ? 1? ? 1 12 分 2 2 3 3 4 n ?1 n n

22、解:(1)曲线 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1

,极坐标方程为 ? ? 2cos?

? ? ? 2 cos ? ? ? ------4 分(2)设 P( ?1 ,?1 ) ,则有 ? ? 解得 ?1 ? 1,?1 ? 3 ?? ? 3 ?

--6 分

? ? 2 ? sin(? ? ) ? 3 3 ? ? ? 3 设 Q( ?2 ,?2 ) ,则有 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? --8 分 ? 3 ? ?? ? 3 ?
所以 PQ ? 2 23.解: (I) . --10 分 ,当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即

; 当

时, 原不式等价于 1≤2, 即

; 当 x>2 时, 原不式等价于 2x-3

≤2,即

,原不等式的解集为

.

--5 分

(II)因为 a ? 0 ,所以

f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 ? ax ? 2 ? ax ? 2a ? (ax ? 2) ? (ax ? 2a) ? 2a ? 2 ? f (2a)
所以 f (ax) ? f (2a) ? af ( x) 成立.-10 分


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