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高考数学复习 第八章 第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程


第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.表示直线方向的两个量 (1)直线的倾斜角 ①定义:
x轴 相交

平行 重合



②范围:[0,π ).

(2)直线的斜率 tan θ ①定义:若直线的倾斜角θ 不是90°,则其斜率k=__

_____; ②计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于
y2 ? y1 (x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 x轴,则k=_____________.

2.两条直线的平行、垂直与其斜率大小间的关系 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有 k1=k2 l1∥l2?_____; 平行 ②当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为_____.

(2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2? k1k2=-1 _______; ②如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率 垂直 为0时,l1与l2的关系为_____.

3.直线方程的五种形式 名 称 已知条件 方 程 适用范围

点斜式

斜率k与点 (x1,y1)
斜率k与直 线在y轴上 的截距b

y-y1=k(x-x1) ____________

不含直线x=x1

斜截式

y=kx+b _______

不含垂直于x 轴的直线





已知条件
两点 (x1,y1), (x2,y2) 直线在x轴、 y轴上的截 距分别为a, b





适用范围
不含直线 x=x1(x1=x2)和 直线y=y1(y1=y2)

两点式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ________________
(x1 ? x 2 , y1 ? y2 ) ______________
x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b _________________

截距式

不含垂直于坐 标轴和过原点 的直线
平面直角坐标 系内的直线都 适用

一般式

___________________

Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) )

(3)直线倾斜角α 的集合{α |0°≤α <180°}与直线集合建立 了一一对应关系.( )

(4)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2?l1∥l2.(

)

(5)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于 -1.( ) )

(6)平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程.(

【解析】(1)正确.直线的倾斜角仅反映了直线相对于x轴的倾 斜程度,不能确定直线的位置. (2)错误.当倾斜角α=90°时,其斜率不存在. (3)错误.倾斜角是0°的直线有无数条. (4)错误.当k1=k2时,l1与l2可能重合.

(5)错误.如果两条直线l1,l2中的一条与x轴平行(或重合),另 一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合),即两条直线中一条的 倾斜角为0°,另一条的倾斜角为90°,从而一条直线的斜率 为0,另一条直线的斜率不存在,但这两条直线互相垂直. (6)错误.当直线与x轴垂直时(没有斜率),不能用点斜式方程 表示. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×

1.直线l经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角α 是( (A)45° (C)135°或225° 【解析】选A.斜率 k ? (B)135° (D)0°
?1 ? 0 ? 1. 又0°≤α<180°, ?1 ? 0

)

?倾斜角α为45°.

2.某直线l的方程为9x-4y=36,则l在y轴上的截距为( (A)9 (B)-9 (C)-4 (D) ?
9 4 4 9

)

【解析】选B.l的方程9x-4y=36化为斜截式为 y ? x ? 9, 其截距 为-9.

3.已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和 D(0,a),若l1∥l2,则a=_______. 【解析】l1与l2的斜率分别为 k1 ? ?1 ? 1 ? 2,
k2 ? a ?0 ? ?a, 由l1∥l2可知:a=-2. 0 ?1 ?2 ? 1

答案:-2

4.直线l的倾斜角为30°,若直线l1∥l,则直线l1的斜率k1=____; 若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=_____. 【解析】由直线斜率的定义知,直线l的斜率k=tan30°
3 3 ≧l ∥l,? k1 ? k ? . . 1 3 3 ?1 ≧l2⊥l,?k2·k=-1,?k 2 ? ? ? 3. k 答案: 3 ? 3 3

=

5.过点M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程 为_______.

【解析】当在两坐标轴上截距均为0时,设方程为y=kx,

又过M(3,-4),?有-4=3k,得 k ? ? 4 ,
3

?直线的方程为 y ? ? 4 x.
3

当在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线的方程为 ?
(a ? 0),由过点M(3,-4)得3+4=a,得a=7,

x a

y ?1 ?a

?方程为x-y-7=0.
综上可知直线方程为 y ? ? 4 x 或x-y-7=0.
3

答案: y ? ? 4 x 或x-y-7=0
3

考向 1

直线的倾斜角与斜率

【典例1】(1)(2013·天津模拟)直线xcos α + 3 y+2=0的倾斜 角的范围是( )
? 5? ? ? B[0, ][ , ?) ? 6 6 ? 5? ? D[ , ] ? 6 6 ? ? ? 5? ? A[ , ) ? ( , ] ? 6 2 2 6 5? ? C[0, ] ? 6

(2)若点A(1,1),B(3,5),C(a,7)三点共线,则a的值 为_____.

(3)(2013·太原模拟)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点
P(1,1)且与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围为 _________.

【思路点拨】(1)根据直线方程求出直线的斜率,由斜率的取 值范围求直线倾斜角的取值范围. (2)根据三点共线得kAB=kAC,由此求出a值. (3)先确定直线PA,PB的斜率,再数形结合求解,或先写出直 线l的方程,再由点A,B在直线l的异侧(或A,B之一在直线l上) 求解.

【规范解答】(1)选B.由xcos α+ 3 y+2=0得直线斜率
3 ≧-1≤cos α≤1, cos ?, 3 3 3 ?? ?k? . 3 3 设直线的倾斜角为θ,则 ? 3 ? tan ? ? 3 . 3 3 k??

? 结合正切函数在[0, ) ? ( ? , ?) 上的图象(如图所示)可知, 2 2

? 5 0 ? ? ? 或 ? ? ?<?. 6 6

(2)由斜率公式得 k AB ? 5 ? 1 ? 2.
3 ?1

≧A,B,C三点共线, ?kAB=kAC,
?2 ? 7 ?1 , 解得a=4. a ?1

答案:4

(3)方法一:因为A(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),
所以 k PA ? ?3 ? 1 ? ?4,
k PB 2 ?1 ?2 ? 1 3 ? ? , ?3 ? 1 4

如图所示:

因此,直线l的斜率k的取值范围为k≤-4或 k ? .

3 4

方法二:依题设知,直线l的方程为:y-1=k(x-1), 即kx-y+1-k=0, 若直线l与线段AB有交点,则A,B两点在直线l的异侧 (或A,B之一在直线l上), 故(2k+4-k)· (-3k+3-k)≤0, 即(k+4)(4k-3)≥0,解得:k≤-4或 k ? 3 .
4

答案:k≤-4或 k ? 3
4

【互动探究】本例题(3)中的条件变为:直线l: ? kx ? 3 与直 y
线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围如何?

【解析】直线l: ? kx ? 3 过定点 (0, 3). 作出两直线的图象, ? y
如图所示,从图中可以看出直线l的斜率的取值范围为
k> 3 . 3

【拓展提升】

1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系

2.斜率取值范围的两种求法
(1)数形结合法:作出直线在平面直角坐标系中可能的位置, 借助图形,结合正切函数的单调性确定. (2)构建不等式法:巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性 质,抓住斜率k满足的不等关系,构造不等式求解.

3.求倾斜角范围的两个关键点
(1)求:求出斜率k=tan α的取值范围. (2)看:借助正切函数图象数形结合得到倾斜角的取值范围.

【变式备选】已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤x≤3时,求 y ? 1
x ?1

的取值范围. 【解析】由 y ? 1 的几何意义知,它表示点A(1,-1)与线段CD上
x ?1

任一点P(x,y)连线的斜率,如图. ≧线段的端点为C(2,4),D(3,2),
4 ?1 2 ?1 3 ? 5, k AD ? ? , 2 ?1 3 ?1 2 3 y ?1 ? k AD ? k AP ? k AC ,即 ? ? 5. 2 x ?1 ? y ? 1 的取值范围是 3 ,5] [ . 2 x ?1 ? k AC ?

考向 2

两条直线平行、垂直的关系

【典例2】(1)(2012·浙江高考)设a∈R,则“a=1”是“直线

l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(
(A)充分不必要条件

)

(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2)(2013·济南模拟)记直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x
+(m+2)y-3=0相互垂直时m的取值集合为M,直线x+ny+3=0与直 线nx+4y+6=0平行时n的取值集合为N,则M∪N=______. (3)已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺 次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.

【思路点拨】(1)先求出两条直线平行的条件,再判断a=1与此
条件的关系. (2)根据两直线垂直、平行满足的条件,分别求出集合M,N, 然后再求M∪N. (3)先分别求出四边形ABCD四条边所在直线的斜率,再分别验 证对边是否平行,邻边是否垂直,依此判断ABCD的形状.

【规范解答】(1)选A.若两直线平行即l1∥l2,则a(a+1)2×1=0,解得a=-2或a=1,而当a=1时,l1∥l2,所以“a=1”是 “直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件. (2)当直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直 时,m满足(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得 m ? 1 或m=-2,
2

故 M ? {?2, 1 }.
2

直线x+ny+3=0与直线nx+4y+6=0平行,当n=0时,显然两直线
不平行;当n≠0时,两直线平行的充要条件是 1 ? n ? 3 ,即
n 4 6

n=-2,所以N={-2}.
1 故M∪N ? {?2, }. 2 1 答案:{?2, } 2

(3)A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图: 由斜率公式可得
5?3 1 ? , 2 ? (?4) 3 0?3 1 k CD ? ? , ?3 ? 6 3 0?3 k AD ? ? ?3, ?3 ? (?4) 3?5 1 k BC ? ?? , 6?2 2 k AB ?

?kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合, ?AB∥CD.

由kAD≠kBC, ?AD与BC不平行. 又≧kAB?kAD= 1 ×(-3)=-1,
3

?AB⊥AD, 故图形ABCD为直角梯形.

【拓展提升】两直线平行、垂直的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1.

(2)已知两直线的一般方程 若斜率存在,可利用直线方程求出斜率,然后判断平行或垂直, 或利用以下方法求解: l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0) A1A2+B1B2=0

直线方程

l1与l2垂直的充要条件

直线方程

l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2 A1 B1 ? (A 2 B2 ? 0) A 2 B2 A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2

l1与l2平行的充分条件
l1与l2相交的充分条件 l1与l2重合的充分条件

【变式训练】(1)若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,
则直线l的方程为_______.

【解析】方法一:直线2x-3y+4=0的斜率为 k ? 2 ,
3

设所求直线的斜率为k′, ≧所求直线与直线2x-3y+4=0垂直,?k·k′=-1,
3 ?所求直线方程为 y ? 2 ? ? 3 (x ? 1), ? k? ? ? , 2 2

即:3x+2y-1=0.

方法二:由已知,设所求直线l的方程为:3x+2y+C=0.
又l过点(-1,2),?3×(-1)+2×2+C=0, 得:C=-1,所以所求直线方程为3x+2y-1=0. 答案:3x+2y-1=0

(2)已知△ABC的三个顶点坐标为A(2,4),B(1,-2),
C(-2,3),则BC边上的高AD所在直线的斜率为______. 【解析】k BC ? 3 ? (?2) ? ? 5 , 又BC⊥AD,
?2 ? 1 3

? k AD ? ?

1 3 ? . k BC 5

答案: 3
5

考向 3

直线的方程

【典例3】(1)(2013·成都模拟)若直线l:(a+1)x+y+2-a=0

(a∈R)在两坐标轴上截距相等,则a的值为_______.
(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、

y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图
所示,求△ABO的面积的最小值及此

时直线l的方程.

【思路点拨】(1)要分截距均为0,均不为0两种情况讨论.
(2)先设出AB所在的直线方程,再求A,B两点的坐标或得到系 数满足的关系,将△ABO的面积用引入系数表示,最后利用相 关的数学知识求出最值.

【规范解答】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截 距均为0,?a=2; 当直线不过原点时, 由截距相等且均不为0, 得
a?2 ? a ? 2, 即a+1=1,?a=0. a ?1

综上可知,a=0或a=2. 答案:0或2

(2)方法一:由题可设直线l的方程为
则A(a,0),B(0,b).

x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

≧l 过点P(3,2), ? ? 1, ?
2a , 且a>3,b>2. a ?3 1 1 2a a2 从而 S? ABO ? a ?b ? a ? ? . 2 2 a ?3 a ?3 (a ? 3)2 ? 6(a ? 3) ? 9 故有 S? ABO ? a ?3 b?

3 a

2 b

? (a ? 3) ?

9 9 ? 6 ? 2 (a ? 3)? ? 6 ? 12, a ?3 a ?3

当且仅当 a ? 3 ? 9 ,
a ?3

即a=6时,(S△ABO)min=12, 此时 b ? 2 ? 6 ? 4,
6?3

?此时直线l的方程为

x y ? ? 1, 即2x+3y-12=0. 6 4

方法二:依题意知,直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 则有 A(3 ? 2 ,0), B(0, 2 ? 3k),
1 2 ? S? ABO ? (2 ? 3k)(3 ? ) 2 k 1 4 ? [12 ? (?9k) ? ] 2 (?k) 1 4 1 ? [12 ? 2 (?9k)? ] ? (12 ? 12) ? 12, 2 (?k) 2 当且仅当 ?9k ? 4 ,即k ? ? 2 时,等号成立,S△ABO取最小值12. ?k 3
k

此时,直线l的方程为2x+3y-12=0.

方法三:由题可设直线方程为 x ? y ? 1(a>0,b>0),
a b

代入P(3,2),得 3 ? 2 ? 1 ? 2 6 ,
a b ab

得ab≥24,从而S△ABO= 1 ab ? 12,
2

当且仅当 3 ? 2 时,等号成立,S△ABO取最小值12,
a b 此时 k ? ? b ? ? 2 , a 3

?此时直线l的方程为2x+3y-12=0.

【互动探究】在本例题(2)的条件下,求l在两坐标轴上的截距
之和最小时直线l的方程.

【解析】设l的斜率为k(k<0),则l的方程为y=k(x-3)+2,
令x=0得B(0,2-3k),

令y=0得 A(3 ? 2 ,0),
k

?l在两轴上的截距之和为
2 2 ? 5 ? (?3k) ? (? )] 5 ? 2 6 [ ? k k (当且仅当 k ? ? 6 时,等号成立), 3 6 时,l在两轴上截距之和最小, ?k ? ? 3 2 ? 3k ? 3 ?

此时l的方程为 6x ? 3y ? 3 6 ? 6 ? 0.

【拓展提升】 1.利用待定系数法求直线方程的三个步骤

【提醒】选方程时一定要注意方程的适用条件.

2.直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方 程中的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函 数的性质解决. (2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式 的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、 基本不等式等)来解决.

【变式备选】△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),
C(-2,3),求:(1)BC所在直线的方程. (2)BC边上中线AD所在直线的方程. (3)BC边的垂直平分线DE的方程.

【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,
由两点式得BC所在直线的方程: y ? 1 ? x ? 2 ,
3 ?1 ?2 ? 2

即x+2y-4=0.
(2)设BC中点D的坐标为(x,y),

则 x ? 2 ? 2 ? 0, y ? 1 ? 3 ? 2.
2 2

BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2)两点, 由截距式得AD所在直线方程为 x ? y ? 1,
?3 2

即2x-3y+6=0.

(3)直线BC的斜率 k1 ? ? ,
则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2, 由点斜式得直线DE的方程为2x-y+2=0.

1 2

【易错误区】忽视斜率不存在致误 【典例】(2013?重庆模拟)已知l1:3x+2ay-5=0, l2:(3a-1)x-ay-2=0,则使l1∥l2的a的值为_____.

【误区警示】本题易出现的错误是只考虑到斜率存在的情况,
将l1,l2方程化为斜截式方程后,利用斜率相等求解,而忽略了 直线斜率不存在的特殊情况,即忽略a=0的情况.

【规范解答】方法一:当直线斜率不存在,即a=0时,
有l1:3x-5=0,l2:-x-2=0,符合l1∥l2; 当直线斜率存在时,l1∥l2? ? 故使l1∥l2的a的值为0或 ? . 方法二:由l1∥l2?3·(-a)-(3a-1)·2a=0,得a=0或 a ? ? .
1 6 1 故使l1∥l2的a的值为0或 ? . 6 答案:0或 ? 1 6 1 6 1 6 3 3a ? 1 ?5 ?2 1 ? ? ?a?? . 且 2a a 2a ?a 6

又经检验知当a=0或a= ? 时两直线l1,l2不重合,

【思考点评】 1.解决与两直线平行相关问题的注意点 (1)对于直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,若利用l1∥l2?k1=k2, b1≠b2来求解问题,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在, 如果忽略判断k1,k2是否存在的情况就会导致漏解. (2)若利用l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0平行?A1B2A2B1=0,要注意在求出具体数值后代入检验,看看两条直线是 不是重合从而确定问题的答案.

2.解决与两直线垂直相关问题的注意点
(1)利用l1⊥l2?k1·k2=-1时,要注意其前提条件是k1与k2必 须同时存在. (2)利用直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要 条件是A1A2+B1B2=0,此法可避免讨论.

1.(2013·青岛模拟)直线l经过点(0,1)且倾斜角为60°,则 直线l的方程为( (A) 3 x+y-1=0 (C) 3 x-y- 3 =0 ) (B) 3 x-y+1=0 (D)x- 3 y+ 3 =0
3 ,?直线方程为y-1= 3 x,即

【解析】选B.≧k=tan 60°=
3 x-y+1=0.

2.(2013·厦门模拟)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的
倾斜角为 3? ,则y=(
4

) (C)0
4?2 2

(A)-1

(B)-3

(D)2

【解析】选B.由 2y ? 1 ? (?3) ? 2y ? 4 ? y ? 2, 得 y ? 2 ? tan 3? ? ?1,?y=-3.
4

3.(2013·湛江模拟)“m=2”是“直线2x+my=0与直线x+y=1平
行”的( )

(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】选A.m=2时,直线2x+my=0与直线x+y=1平行,故充分
性成立;反之,直线2x+my=0与直线x+y=1平行时,m=2,故必 要性成立.所以“m=2”是“直线2x+my=0与直线x+y=1平行”的 充要条件.

4.(2013·南昌模拟)设直线l的方程为x+ycos θ +3=0(θ ∈R),
则直线l的倾斜角α 的范围是(
(A) 0,?) [ ? 3? (C) , ] [ 4 4 ? ? (B) , ) [ 4 2 ? ? ? 3? (D) , ) ? ( , ] [ 4 2 2 4

)

【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为 ? ;
2

当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率 k ? ? 1 .
cos ?

≧cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0, ?k∈(-≦,-1]∪[1,+≦), ?tan α∈(-≦,-1]∪[1,+≦). 又α∈[0,π),?α∈ ? , ? ) ? ( ? , 3? ] [ .
2 4 综上知,倾斜角α的范围是[ ? , 3? ] . 4 4 4 2

5.(2013·南通模拟)过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于
A,B两点,求使PA·PB最小时l的方程.

【解析】设直线的方程为 x ? y ? 1(a>2,b>1),
a b

则A(a,0),B(0,b).又P(2,1),
??? ? ??? ? PA ? (a ? 2, ?1),PB ? (?2,b ?1). ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA? ?| PA |? PB| cos 180? ? ? | PA |? PB|, PB | | ??? ??? ? ? PA |? PB|? 2(a ? 2) ? (b ?1) ? 2a ? b ? 5. | |
2 1 又 ? ? 1, a b

??? ??? ? 2 1 ?| PA |? PB |? (2a ? b)( ? ) ? 5 | a b

?

2b 2a 2b 2a ? ?2 ? ? 4. a b a b
a b

当且仅当 2b ? 2a , 即a=b=3时,取得最小值.

此时直线l的方程为x+y-3=0.

1.若ab<0,则过点 P(0, 1 )与Q( 1 ,0) 的直线PQ的倾斜角的取值 ?
b a

范围是( (A)(0, ? )
2

) (B)( ? , π )

2 ? (C)(-π , ? ? ) (D)( ? , 0) 2 2 1 ? ?0 a 【解析】选B. k PQ ? b ? <0, 又倾斜角的取值范围为 1 b 0? a [0,π),故直线PQ的倾斜角的取值范围为 ( ? , ?). 2

2.如图所示,点A,B在函数 y ? tan( ? x ? ? ) 的图象上,
4 2

则直线AB的方程为_______.

【解析】当 tan( ? x ? ? ) ? 0 时,
由正切函数图象和性质得,? x ? ? ? 0,
4 2 4 2

得x=2,故A点坐标为(2,0).同理得B点坐标为(3,1),
? k AB ? 1? 0 ?1 , 3? 2

?直线AB的方程为y=x-2,即x-y-2=0. 答案:x-y-2=0


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