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24.2.2直线和圆的位置关系(2)圆切线的判定1


24.2.2直线和圆的位置关系(2)

圆的切线判定

1

知识回顾

直线与圆的位置关系

一、用公共点的个数来区分
直线和圆有两个公共点,叫直线和圆相交。

.
A

.O

.
B l

直线和圆有唯一的公共点, 叫做直线和圆相切。
.O

这时的直线叫切线, 唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点, 叫做直线和圆相离。

.
切点A

l

.O

l
2

知识回顾 用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分

r



O ┐

d

r



d ┐

O

r



O

相交 ?d < r ?d = r ?d >r

相切 相离 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
3

d ┐

思考:判定直线与圆相切的两种方法
o
切线
O d l

l
只有一个公共点

A

当d=r ,那么直线l与 ⊙O相切
(2)
4

(1)

实践操作:在纸上画⊙0,根据所学知识, 画出这个圆的一条切线



O



O

·

5

切线的判定定理: 经过半径(直径)的外端,并且垂直于 这条半径(直径)的直线是圆的切线.
∵AB是⊙O的直径,直线CD经 过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是: d=r 直线和圆相切。 的另一种说法。
C

B



O D
6

A

例1:如图,△ABC内接于⊙0,AB 是⊙0的直径, ∠CAD=∠ABC.判断直线AD与⊙0的位置关系, 并说明理由。

A
D C



O

B

7

1、直线AB经过圆O上的C,并且 OA=OB,AC=BC
求证:直线AB是圆O 的切线

O

A C

B
8

2、 AB=AC,∠C=45°,

以AB为直径作⊙O , 求证:AC是⊙O的切线
B

O

C

A
9

3如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点 D,DE⊥BC于E.(连半径证垂直) 证明:DE是圆O的切线.

C

D

A

. O

E B
10

4.如图1,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为 圆 心的圆与AB相切于点D, 求证:AC是圆的切线 (作垂直证半径)

A

D
B

E

· O
(图1)

C

11

如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与 直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由. ?直径AB垂直于直线CD.
?
?

?
?

甲的理由是: ∵右图是轴对称图形,AB是对称轴, ∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因 此,∠BAC=∠BAD=90°. C

B



O

A

D

12

? 乙的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.

? 假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于 CD,垂足为M,
?

则OM<OA,即圆心到直线CD的距离 小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相 交.这与已知条件“直线与⊙O相 切”相矛盾.

B



?

所以AB与CD垂直.
C

O D

A

M
13

切线的性质定理:
? 定理
?

圆的切线垂直于过切点的半径.
B

如图 ∵CD是⊙O的切线,A是切点, OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA. 提示:



O D

C

A

切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常 用辅助线之一.
14

例3:如图,PA、PB是⊙0的切
线,切点分别为A、B,C是⊙0 P 上一点。若∠APB=40°。

A O C



求∠ACB的度数
B

15

1、如图所示,BC是⊙O的直径,P是CB延长线上的一点,PA切⊙O 于点A,若PA= , ) 3 ,PB=1,则∠APC为( A

P

.O
B

C

2、如图,AB是⊙O的弦,OC⊥OA, 交AB于点P,且PC=BC。直线 3 BC是 否与⊙O相切?为什么?

A



P

O

C

B
16


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