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2010年高一下学期数学期末测试题及答案


高一下学期数学期末测试题
(时间:120 分钟,满分:150 分) 选择题( 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.: ) (1)下列说法中,正确的是( ) A.第二象限的角是钝角. B.第三象限的角必大于第二象限的角 C. ? 831° 是第二象限角 D. ? 95°20', °40', °40' 是终边相同的角 984 264

(2)下列四个等式中,①cos(360°+300°)=cos300°;②cos(180°-300°)=cos300°;③ cos(180°+300°)=-cos300°;④cos(360°-300°)=cos300°,其中正确的等式有( ) . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (3)已知 =(0,1) 、 =(0,3) ,把向量 绕点 A 逆时针旋转 90°得到向量 ,则向量 等于( ) . A. (-2,1) B. (-2,0) C. (3,4) D. (3,1) (4)对于函数 y = tan

x ,下列判断正确的是( ) . 2 π 的奇函数 2 D.周期为 2π 的偶函数
B.周期为

A.周期为 2π 的奇函数 C.周期为π 的偶函数 (5)若 sin(

π 3 ? x) = ? ,且 π < x < 2π ,则 x 等于( ) . 2 2
B. π D.

A. π

7 5 C. π 6 3 . (6)在 ?ABC 中,若 a = 2b cos C ,则 ?ABC 一定是( )
B.等腰三角形
2

4 3

11 π 6

A.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形 等于( ) .

(7)将函数 y = x ? x ? A. ( , ) (8)已知 A. ?

1 1 2 2

1 的图象按向量 4 1 1 B. ( , ) ? 2 2

平移后的图象的解析式为 y = x 2 ,则 C. (?

1 1 ,) 2 2

D. (?

1 1 , ) ? 2 2

=(-2,-3) 、ON=(1,1) ,点 P ( x, ) 在线段 MN 的中垂线上,则 x 等于( ) . B. ?

1 2

5 2

3 2


C. ? ,则 C. ( ±

7 2
的坐标为( ) .

D. ? 3

(9)已知|

|=3,b=(1,2) ,且

A. (

3 5 6 5 , ) 5 5

B. ( ?

3 5 6 5 , ? ) 5 5

3 5 6 5 , ± ) 5 5

D. (?

3 5 6 5 , ) 5 5

(10)在下列各区间中,函数 y = sin x + cos x 的单调递增区间是( ) . A. ? , ? π 2

?π ?

? ?

B. ?0, ?

? π? ? 4?
1

C. [? π , ] 0

D. ? , ? 4 2

?π π ? ? ?

(11)设 α 是第三象限角,且 cos A.第一象限

α
2

= ? cos

α
2

,则

α
2

所在象限是( ) . D.第四象限

B.第二象限

C.第三象限

. (12)函数 y = sin( π + 2 x ) 的图象的一条对称轴的方程是( ) A. x = ?

5 2

π 2

B. x = ?

π 4 1 ,则点 B 分 3

C. x = ?

π 8

D. x =

5 π 4

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 填空题( : (13)已知点 A 分 (14) 所成的比为 ? 所成的比为________.

1 + 4 cos 70° 的值是________. tan 70° π 时, f (x ) 取得最大值为 2,当 x = 0 3

(15)已知 f ( x ) = A sin(ωx + ? ) 在同一个周期内,当 x =

时, f (x ) 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f ( x ) 的一个表达式为_______. (16)已知| |=4,| 解答题: 三、解答题: |=2,| -2 |=2, 与 的夹角为 θ ,则 cosθ 等于________.

(17) (10 分)已知 tan(α +

π 1 1 π ) = 、 tan(α ? β ) = ,求 tan( β + ) 的值. 3 3 4 3

(18) (12 分)求与向量

=(3,-1)和

=(1,3)的夹角均相等,且模为-2 的向量的坐标.

(19) (12 分)已知 sin(α + β ) =1,求证: sin( 2α + β ) = sin β .

2

(20) (12 分)已知| (Ⅰ)求 · ;

|=1,|

|=2,



的夹角为

π . 3

(Ⅱ)向量

+λ

与向量 λ

-

的夹角为钝角,求实数 λ 的取值范围.

(21) (14 分)已知函数 y =

1 3 cos 2 x + sin x cos x + 1 , x ∈ R . 2 2

(Ⅰ)当函数 y 取得最小值时,求自变量 x 的集合.

(Ⅱ)该函数的图象可由 y = sin x( x ∈ R ) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

(22) (14 分)如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20° 方向上,从城 A 出发有一条公路,走向是南 偏东 40° ,在 C 处测得距离 C 处 31 千米的公路上的 B 处有一辆正沿着公路向城 A 驶去,行驶了 20 千 米后到达 D 处,测得 C、D 二处间距离为 21 千米,这时此车距城 A 多少千米?

3

参考答案 一、 (1)D. (2)C.①、③、④正确. (3)A.

= (0 ,) , 2

=(-2,0) ,





=(-2,1) .

(4)A. T = π ÷

1 x x = 2π . tan(? ) = ? tan . 2 2 2

(5)B. sin(

π 3 3 π 7 ? x) = cos x = ? , x ∈ (π , π ) , x = π + = π . 2 2 2 6 6

(6)B.∵

a = 2b ?
2

a 2 + b2 ? c2 a 2 + b2 ? c 2 = ,∴ 2ab a

a 2 = a 2 + b 2 ? c 2 ,∴

c2 = b2 .

(7) y = x ? x ? C. = (?

1 1 1 2 1 1 化为 y + = ( x ? ) , x ? = x' ,y + = y' , 令 ∴ 4 2 2 2 2

1 1 h = ? ,k = . 2 2

1 1 ,) . 2 2 1 , 1) . ? 2
,∴ =(1,1)-(-2,-3)=(3,4) ,

(8)A. M ( ?2 , 3) , N (1, ,中点为 Q ( ? ? 1)

1 1 1 3 = ( x , ) ? (? , 1) = ( x + , ) .∵ ? 2 2 2 2
(9)C.设



1 3 3 ? ( x + ) + 4 ? = 0 ,∴ 2 2

5 x=? . 2

= (3 cos θ , sin θ ) ,则 2 ? 3 cos θ ? 3 sin θ = 0 ,∴ 3

tan θ = 2,θ 为第一、三象限

角,求出 sin θ 、 cosθ ,也可用试值法,代入检验. (10)B. y = sin x + cos x = (11)B. α 是第三象限角,则

α

π 2 sin( x + ) ,作出图象加以判断. 4
2
是第二或第四象限角.由 cos

α

2

≤ 0 ,故

α
2

是第二象限角.

(12)A.把各选择题的直线方程代入函数解析式中,使得 y 取得最大值 1 或最小值-1 的直线为函 数图象的对称轴,化简函数解析式为 y = cos x ,逐一代入检验,选 A. 二、 (13)由已知得 B 是 的内分点,且 2| |=| |,故 B 分 的比为

1 . 2

4

(14)

1 cos 70° cos 70° + 4 sin 70° cos 70° + 4 cos 70° = + 4 cos 70° = tan 70° sin 70° sin 70° cos 70° + 2 sin 140° cos 70° + 2 sin 40° cos 70° + 2 sin(70° ? 30°) = = = sin 70° sin 70° sin 70° cos 70° + 2 sin 70° cos 30° ? 2 cos 70° ? sin 30° 2 sin 70° ? cos 30° = = 2 cos 30° = sin 70° sin 70°

= 3.
( 15 ) 由 已 知 易 得 A = 2 ,

π +? =

π π ,则 ? = ? ,∴ 2 2
-2
2

2 π π T π = ? 0 , T = π , ∴ ω = 3 , sin(3 ? + ? ) = 1 = sin , 令 2 3 3 3 2 π f ( x) = 2 sin(3 x ? ) (答案不唯一) . 2
=( -2
2

( 16 ) |



2



2

=(



2

-4

·

+4(



2



4 2 -4 × 4 × 2· cos θ + 4 × 2 = 32 ? 32 cosθ = 2 , cos θ = 三、 (17) tan( β +

7 . 8

π π ? ? ) = tan ?(a + ) ? (α ? β )? 3 3 ? ?

π ? ? tan ?(α + ) ? tan(α ? β )? 3 ? ? = π 1 + tan(α + ) ? tan(α ? β ) 3
1 1 ? 1 = 3 4 = . 1 1 13 1+ ? 3 4
(18)设所求向量的坐标为 ( x , y ) ,由已知得 x 2 + y 2 = 4 ,设 ( x , y ) 与 的夹角为 θ ,故

( x , ) ? (3, 1) = (3 x ? y ) = x 2 + y 2 y ? 3x ? y 2 10 y2 = ?
, 同理 cos θ =

?

(3) 2 + (?1) 2 ? cosθ = 2 10 ? cos θ , cos θ = x = 2y . 代入 x 2 + y 2 = 4 中, 解得 y1 = 2 5 , 5

x + 3y 3x ? y x + 3 y , 故 = . ∴ 2 10 2 10 2 10

2 5 .∴ 5

x1 =

4 5 4 5 4 5 2 5 4 5 2 5 , x2 = ? .∴ 所求向量为 ( , ) 或 (? , ? ). 5 5 5 5 5 5

(19)由 sin(α + β ) = 1 ,得 cos(α + β ) = 0 ,故 sin( 2α + β ) = sin[(a + β ) + α ] =

sin(α + β ) cos α + cos(α + β ) sin α = cos α .又由 sin(α + β ) = 1 ,得 α + β
= 2kπ +

π π π π (k ∈ N) ,所以 α = 2kπ + ? β ,则 cos α = cos(2kπ + ? β ) = cos( ? β ) 2 2 2 2

= sin β .于是 sin(2α + β ) = sin β .
5

(20) (Ⅰ) (Ⅱ) ( =λ
2

·

=1; 与λ )= λ ( ) +( λ
2 2

+λ

)( λ · +λ

-1)

·

-λ( +λ

) =λ +λ
2

2

-1-4 λ

-3 λ -1.因为

的夹角为钝角,所以(

)( λ ·

-

)<0,令

λ2 ? 3λ ? 1 < 0 ,得

3 ? 13 3 + 13 . <λ< 2 2 1 3 1 1 3 cos 2 x + sin x cos x + 1 = (2 cos 2 x ? 1) + + (2 sin x cos x) 2 2 4 4 4

(21) (Ⅰ) y =

1 3 5 1 π π 5 1 π + 1 = cos 2 x + sin 2 x + = (cos 2 x ? sin + sin 2 x ? cos ) + = sin(2 x + ) + 4 4 4 2 6 6 4 2 6

5 π 3π 2 + 2kπ ,即 x = kπ + π ,k ∈ Z ) .所以当函数 y 取得最小 ,取得最小值必须且只需 2 x + = 4 6 2 3 2 值时,自变量 x 的集合为 {x | x = kπ + π ,k ∈ Z} . 3 π (Ⅱ)将函数 y = sin x 依次进行如下变换:①把函数 y = sin x 的图象向左平移 ,得到函数 6 π 1 y = sin( x + ) 的图象,②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 6 2 π 1 y = sin(2 x + ) 的图象,③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 6 2 1 π 5 1 π 5 y = sin(2 x + ) 图象;④把所得的图象向上平移 个单位长度,得到函数 y = sin( 2 x + ) + 的 2 6 4 2 6 4
图象.即得到函数 y =

1 3 cos 2 x + sin x cos x + 1 的图象. 2 2

( 22 ) 在 ?BCD 中 , CD = 21 , BD = 20 , BC = 31 , 由 余 弦 定 理 得

cos ∠BDC =

212 + 20 2 ? 312 1 4 7 = ? , 所以 sin ∠BDC = 1 ? cos 2 ∠BDC = .在 ?ACD 中,CD 2 × 21× 20 7 7

sin =21, ∠CAD = 20° + 40° = 60°, ∠ACD = sin(∠BDC ? 60°) = sin ∠BDC ? cos 60° ? ∠BDC ? sin 60° = 21 ? 5 3 CD ? sin ∠ACD .由正弦定理得 AD = = 14 sin ∠CAD

5 3 14 = 15 (千米) .所以此车距城 A 有 15 千米. 3 2

6

7


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